MODELOS DE PROCESOS DE DESARROLLO DE SOFTWARE

Análisis Numérico
PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA. Un modelo teórico matemático para la velocidad de un
paracaidista es (ecuación 1.10):
V(t)
=
g*m
c
(1–
e (-c/m)t )
Donde V = velocidad (m/s), g = constante gravitacional (9.8 m / s 2), m = masa del paracaidista
igual a 68.1 kg y c = coeficiente de arrastre de 12.5 kg/s. Este modelo predice la velocidad del
paracaidista en función del tiempo.
Un modelo empírico alternativo para la velocidad del paracaidista está dado por (ecuación
17.3.1):
V(t)
=
g*m
c
(
t
3.75 + t
)
Suponga que usted quiere probar y comparar la veracidad de esos dos modelos
matemáticos. Esto se podría hacer al medir la velocidad real del paracaidista con valores
conocidos de tiempo y al comparar estos resultados con las velocidades predichas de acuerdo con
cada modelo.
Tabla 17.2. Velocidades medidas y calculadas para la caída del paracaidista.
Tiempo
(seg)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
V medida
(m / s)
10.0
16.3
23.0
27.5
31.0
35.6
39.0
41.5
42.9
45.0
46.0
45.5
46.0
49.0
50.0
V calc modelo 1
(m / s)
8.953
16.405
22.607
27.769
32.065
35.641
38.617
41.095
43.156
44.872
46.301
47.49
48.479
49.303
49.988
V calc modelo 2
(m / s)
11.24
18.57
23.729
27.556
30.509
32.855
34.766
36.351
37.687
38.829
39.816
40.678
41.437
42.11
42.712
Solución. La veracidad de los modelos se prueba al graficar la velocidad calculada por cada
modelo contra la velocidad medida. Se puede usar la regresión lineal para calcular la pendiente y
la intersección con el eje “y” de la gráfica.
La mejor recta de regresión tendrá una pendiente de 1, una intersección de 0 y r2 = 1. Y una
recta así es la que concuerda perfectamente con los datos.
Una desviación significativa de estos valores sirve como una indicación de lo inadecuado del
modelo.
Para el primer modelo tomamos los valores de la velocidad medida como los valores del eje X y
los valores de la velocidad calculada con el modelo 1 como los valores del eje Y. Utilizando
nuestro programa de regresión lineal nos da la siguiente recta de regresión:
Universidad del Cauca
1
Análisis Numérico
Y = -0.858716 + 1.031591 X
o con 3 dígitos: Y = -0.859 + 1.032 X
Que se puede re-escribir:
Vmodelo = -0.859 + 1.032 Vmedida
(Recta de Regresión 1) Pendiente: 1.032
El programa arroja también los siguientes datos:
Error estándar de aproximación (Sy/x) = 0.8634
Coeficiente de determinación (r2) = 0.99578
Para el segundo modelo tomamos los valores de la velocidad medida como los valores del eje X y
los valores de la velocidad calculada con el modelo 2 como los valores del eje Y. Utilizando
nuestro programa de regresión lineal nos da la siguiente recta de regresión:
Y = 5.775860 + 0.751791 X
o con 3 dígitos: Y = 5.776 + 0.752 X
Que se puede re-escribir:
Vmodelo = 5.776 + 0.752 Vmedida
(Recta de Regresión 2)
Pendiente: 0.752
El programa arroja también los siguientes datos:
Error estándar de aproximación (Sy/x) = 0.9667
Coeficiente de determinación (r2) = 0.99009
Las rectas de regresión que hemos obtenido, presentan los siguientes valores:
V medida
(m / s)
10,0
16,3
23,0
27,5
31,0
35,6
39,0
41,5
42,9
45,0
46,0
45,5
46,0
49,0
50,0
recta regresion 1
recta regresion 2
9,461
15,9626
22,877
27,521
31,133
35,8802
39,389
41,969
43,4138
45,581
46,613
46,097
46,613
49,709
50,741
13,296
18,0336
23,072
26,456
29,088
32,5472
35,104
36,984
38,0368
39,616
40,368
39,992
40,368
42,624
43,376
Las gráficas que se presentan a continuación indican que la regresión lineal entre los datos y cada
uno de los modelos es altamente significativa. Ambos modelos ajustan los datos con un
coeficiente de correlación ( r ) superior a 0.99.
Universidad del Cauca
2
Análisis Numérico
60
50
40
V medida (X) / V calculada modelo 1
30
Recta de regresión 1
20
10
0
0,0
10,0
20,0
30,0
40,0
50,0
60,0
50
45
40
35
30
V medida (X) / V calculada modelo 2
25
Recta de Regresión 2
20
15
10
5
0
0,0
10,0
20,0
30,0
40,0
50,0
60,0
Sin embargo, el modelo descrito por la ecuación 1.10 se ajusta mejor al criterio de prueba de
hipótesis que el descrito por la ecuación 17.3.1, ya que la pendiente y la intersección con el eje
“y” son más cercanos a 1 y 0. Así, aunque cada gráfica queda bien descrita por una línea recta, la
ecuación 1.10 parece ser un mejor modelo que la ecuación 17.3.1. Además puede observarse
que el error estándar de aproximación de la recta de regresión 1 es de 0.8634 mientras que el de
la segunda es de 0.9667 (claramente mayor).
Conclusión: Puede que haya más de una regresión que ajuste los datos con un coeficiente de
correlación muy alto, en ese caso, para evaluar cuál es la mejor debemos observar cuál de ellos
tiene un menor error estándar de aproximación y que la recta que obtenemos tenga una
pendiente cercana a 1 y la intersección en “y” cercana a cero.
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