Capítulo 1 parte 3 - Servidor web opsu

46
51.Un corredor inicia en el principio de una pista y corre a velocidad constante de 10
Km . Cinco minutos después, un segundo corredor comienza en el mismo punto, y
h
su velocidad es de 13 Km h , siguiendo por la misma pista.¿Cuánto tiempo tardará el
segundo corredor en alcanzar al primero?
52.DIOFANTO, matemático griego que vivió en Alejandría, Egipto, en el siglo III de
nuestra era, es considerado el padre del Álgebra ya que su trabajo fue de enorme
importancia en el desarrollo de la misma y además influyó enormemente sobre los
matemáticos europeos del siglo XVII. Escribió varios tratados, de los cuales el más
famoso es Aritmética, en él aparece principalmente el estudio con ecuaciones de una
sola incógnita llamadas ahora ecuaciones diofánticas o diofantinas.
En la lápida de la tumba de Diofantes aparece el siguiente epitafio:¡Caminante! Aquí
fueron sepultados los restos de Diofanto. Y los números pueden mostrar, ¡oh, milagro!,
cuán larga fue su vida, cuya sexta parte constituyó su hermosa infancia. Había
transcurrido además una doceava parte de su vida, cuando el vello cubriese su barbilla. Y
la séptima parte de su existencia transcurrió en un matrimonio estéril. Paso un quinquenio
más y le hizo dichoso el nacimiento de su precioso primogénito, que entregó su cuerpo, su
hermosa existencia a la tierra, duró tan sólo la mitad de la edad de su padre. Y con
profunda pena descendió a la sepultura habiendo sobrevivido 4 años al deceso de su hijo.
¿Cuántos años vivio Diofanto?
47
1.7 Problemas que se transforman en ecuaciones cuadráticas
Todos los problemas anteriores tenían su solución mediante una ecuación lineal y más
precisamente por medio de ecuaciones diofánticas. Existen problemas donde su
traducción algebraica conduce a ecuaciones cuadráticas, polinómicas o radicales. Aquí
estudiaremos los problemas verbales que conducen a ecuaciones cuadráticas.
Ejemplo 14
1)
Cuáles son los tres números enteros consecutivos tales que el producto del primero
por el tercero sea igual a 5 veces el segundo más 13.
Solución:
Sea x = El primer número entero entonces los consecutiv os son x + 1 y
traduciendo el problema tenemos,
El primero × el tercero = 5 × el segundo + 13, en lenguaje algebraico
x ( x + 2 ) = 5 ( x + 1) + 13 , resolviendo la ecuación tenemos que
x 2 + 2 x = 5 x + 5 + 13 → x 2 − 3 x − 18 = 0
cuyas posibles soluciones son x = −3 y x = 6
Así tendríamos a los números − 3 , − 2 y − 1 ó 6 , 7 y 8.
Comprobando las soluciones:
Para el caso 1: − 3(− 1) = 5(− 2 ) + 13 → 3 = −10 + 13 → 3 = 3
Para el caso 2: 6 × 8 = 5 × 7 + 13 → 48 = 35 + 13 → 48 = 48
¿Qué pasaría si nos hubiesen preguntado por enteros positivos?
x+2
48
2)
El área de un rectángulo es 138 cm 2 . Si la longitud es 5 cm más que 3 veces el
ancho, halle las dimensiones del rectángulo.
Solución:
a = El ancho del rectángulo
Sea
y sea 3a + 5 = la longitud del rectángulo , haciendo
un dibujo tenemos,
a
A = 138cm 2
3a + 5
Sabemos por fórmula que en un rectángulo su área es igual al ancho por el largo, así
a (3a + 5) = 138, entonces
3a2 + 5a −138 = 0 ,
a=−
23
3
resolviendo
la
ecuación
cuadrática
sus
soluciones
son
ó a = 6 . Como la longitud del rectángulo debe ser positiva (¿Por qué?),
tomamos el valor positivo. En consecuencia, las dimensiones del rectángulo son de ancho 6
cm y de largo 23 cm1 .
3)
Dos números enteros consecutivos satisfacen que la suma de los cubos es igual a 1 más
el doble del menor. Encuentra dichos números.
Solución:
Sea a = Un número entero
y a + 1 = El entero consecutiv o , traduciendo de verbal a
algebraico
a 3 + (a + 1)3 = 1 + 2 a , resolviendo algebráicamente
(
)
a 3 + a3 + 3a2 + 3a + 1 = 1 + 2a → 2a 3 + 3a 2 + a = 0 → a 2a 2 + 3a + 1 = 0
1
()
Evaluamos el ancho con a=6 cm entonces, largo = 3 6 + 5 = 23
49
Sus soluciones son a = 0; a = −
1
2
ó a = −1 .
¿Por qué el segundo no puede ser solución?
Los enteros consecutivos que satisfacen la expresión son 0 y 1 ó -1 y 0.
4)
Una caja con base cuadrada y sin tapa se construye a partir de una lámina cuadrada
de cartón, cortando un cuadrado de 10 cm de lado en cada esquina y doblando hacia
arriba los lados. Si la caja debe contener 2.250 cm 3 en volumen, ¿qué dimensiones
debe tener la lámina de cartón?
Solución:
Sea x = El lado del cuadrado de cartón , haciendo un dibujo tenemos,
10
Recortándole
x
los extremos
x
x − 20
10
x
En consecuencia la caja quedaría
10
x − 20
x − 20
50
El volumen de una caja está determinado por el producto del área de la base por la altura,
así V = ( x − 20 )2 × 10 , pero el volumen es equivalente a 2.250 cm 3 , sustituyendo y
resolviendo,
2.250 = ( x − 20
) 2 ×10
→ 225 = x2 − 40 x + 400 → x 2 − 40 x + 175 = 0
Cuyas soluciones son x = 35 ó
x = −5 . Descartamos el valor negativo y la dimensión
del cuadrado de cartón debe ser de 35 centímetros de lado.
51
EJERCICIOS 1.7
1. El producto de dos enteros consecutivos es 20.Determine los dos números consecutivos.
2. El largo de un rectángulo es 3 pies mayor que el ancho. Determine las dimensiones del
rectángulo si su área es de 28 pies cuadrados.
8
3. Un número menos su recíproco es igual a − . Encuentra los números.
3
9
4. El recíproco de un número más el doble del número es igual a
. Encuentra los
2
números.
5. La señora Ana desea un jardín rectangular en su casa ya que ella gusta mucho de la
vegetación. Un matemático le sugirió la razón dorada para que su jardín sea lo mas
atractivo posible, es decir el largo debe ser 1,62 veces el ancho. Determine las
dimensiones del rectángulo si éste debe tener un área de 25 metros cuadrados.
6. Explique con sus propias palabras por qué una ecuación cuadrática tendrá dos
soluciones reales cuando el discriminante sea mayor que cero, una solución real cuando
el discriminante sea igual a cero y no tendrá soluciones reales cuando el discriminante
sea menor que cero. Use la fórmula cuadrática para explicar su respuesta.
7. Al concluir la semana un padre de familia tiene 120.000 Bs. en su bolsillo y decide
repartirlos entre sus hijos en partes iguales. En el momento de repartir piensa: “si
tuviera dos hijos menos, le tocaría a cada uno 16 mil bolívares más”. ¿Cuántos hijos
tiene?¿Cuánto le tocó a cada uno?
8. Encuentra un número entero que satisfaga que su cuadrado más su mitad, más uno, sea
igual a 496.
9. Encuentra un número que satisfaga la siguiente condición, a la mitad del número réstale
8 unidades y multiplica el resultado por el número que se obtiene de dividir entre 4 el
número original y después súmale un medio. El producto obtenido debe ser igual a –10.
10. El lado de un cubo mide 2 cm .El volumen de ese cubo más el volumen de otro cubo es
igual a 12 por la suma del lado del primer cubo más el lado del segundo. Encuentra
cuántos centímetros mide el lado del segundo cubo.
11. Dos cubos son tales que el lado de uno de ellos es 6 unidades mayor que el otro. Si la
diferencia de las áreas de una de las caras de cada cubo es igual a 432, ¿cuál es la
diferencia de los volúmenes de los cubos?
12. Un cuadrado de lado L se deforma para obtener un rectángulo sumando 3 unidades a
uno de sus lados y restando 2 al otro. El rectángulo obtenido tiene área 6. Encuentra el
valor de L.
52
13. La suma de los cuadrados de dos números enteros consecutivos impares es 74.
Encuentra los números .
14. En un triángulo rectángulo, la hipotenusa mide dos unidades más que uno de los lados y
una unidad más que el otro. ¿Cuáles son las dimensiones del triángulo?
15. En un rectángulo, el ancho mide 2 cm menos que el largo. Si el área mide 48
centímetros cuadrados. ¿Cuáles son las dimensiones del rectángulo?. ¿Cuánto mide una
de las diagonales?
16. En un triángulo rectángulo, uno de los catetos mide 1 unidad menos que el otro. Si el
cuadrado de la hipotenusa es igual a 25. ¿Cuánto mide cada uno de los catetos?
17. El área de un rectángulo es de 15 metros cuadrados. La longitud del rectángulo es el
doble de su anchura menos un metro. ¿Qué dimensiones tiene el rectángulo?
m
18. Un proyectil es lanzado a 12,2
verticalmente hacia arriba. ¿En qué momento toca
seg
el suelo?
19. Una bomba grande puede vaciar un tanque de agua en 15 horas menos que una bomba
chica. Entre las dos pueden vaciarlos en 10 horas. ¿En cuá nto tiempo la vaciará la
bomba grande?
20.
Radio r
Un fabricante de latas de lámina desea fabricar una lata
cilíndrica recta de 20 cm de altura, como se muestra en la
figura, con capacidad de 3000 cm3 . Calcule el radio
Maíz
20 cm interior “r” de la lata.
Vzlano
21. Se debe fabricar una caja sin tapa, cortando cuadrados de 3 pulgadas de lado en las
esquinas de una lámina rectangular de estaño, cuya longitud sea el doble de su ancho.
¿Qué tamaño de lámina daría como resultado una caja que tenga un volumen de 60
pulgadas cúbicas?
22. Un terreno en forma rectangular de dimensiones 26 por 30 metros respectivamente,
está rodeada por una acera de ancho uniforme. El área de la acera es de 120 m2 . ¿Cuál
es el ancho de esa acera?
23. Un número menos su raíz cuadrada es igual a 30. Encuentra dicho número.
24. Encuentra dos números enteros consecutivos pares tales que la suma de sus recíprocos
7
es
.
24
53
25. Un terreno rectangular mide de largo el triple de ancho, ¿cuáles son sus dimensiones si
tiene un área de 2352 m2 ?
26. La sombra de un edificio de 8 metros de alto mide 15 metros. ¿Qué distancia hay del
extremo del edificio al punto final de la sombra?
3
27. Un terreno de forma rectangular tiene una superficie de 375 m2 . Si su ancho es de
5
su largo, ¿cuáles son las dimensiones del terreno?
28. ¿Cuál es el perímetro de un cuadrado inscrito en un círculo de 4 cm de radio si una
diagonal del cuadrado coincide con el diámetro del círculo?
54
1.8 Inecuaciones
Los enunciados que incluyen relaciones de orden
tales como x − 7 > 4 se llaman
inecuaciones2 . Una solución de una inecuación es cualquier número que hace el enunciado
verdadero. Por ejemplo x = 12 es solución ya que al sustituirlo en la inecuación su
enunciado es verdadero 12 − 7 > 4 → 5 > 4 .
Resolver una inecuación significa encontrar el conjunto de todos los números reales para
los cuales el enunciado es verdadero; para ello utilizaremos las propiedades de las
desigualdades con el fin de obtener el despeje de la variable.
1.8.1
Inecuaciones lineales
Cualquier inecuación que pueda escribirse de la forma ax + b > 0 con
a ≠ 0 , donde a y
b son números reales, se llama inecuación lineal en variable x. Es importante señalar que si
el
símbolo de relación de orden “ > ” se cambia por
“ < , ≤ o ≥ ” , la inecuación
resultante también se llama inecuación lineal.
Ejemplo 15
Resuelva 3x + 4 > 5
1)
Solución:
Sea la inecuación − 3x + 4 > 5 , restándole 4 a ambos lados
3x + 4 − 4 > 5 − 4
→ 3 x > 1 , despejando a la variable
x>
1
3
ó
1

 , ∞
3

Así, las soluciones son todos los números reales mayores que un tercio.
2
Una desigualdad en la que aparecen variables es llamada Inecuación, por eso una inecuación es una
desigualdad pero no toda desigualdad es una inecuación.
55
2)
Resuelva y +
1 4 y −1
≤
+2
2
3
Solución:
Sumando las fracciones y multiplicando en cruz,
2 y + 1 4y −1 + 6
≤
→ 3 (2 y + 1) ≤ 2 (4 y + 5) → 6 y + 3 ≤ 8 y + 10 , despejando la variable
2
3
3 − 10 ≤ 8 y − 6 y → − 7 ≤ 2 y → −
7
≤ y , lo que es equivalente a
2
y≤−
7
2
7

ó  −∞ , − 
2

Así, las soluciones son todos los números reales menores o iguales a −
3)
Resuelva 4 ≤
7
.
2
4 − 3x
<8
2
Solución:
Un número x es una solución de la inecuación si y solo si
4≤
Es posible trabajar
4 − 3x
2
y
4 − 3x
<8
2
con cada inecuación por separado, o resolver ambas en forma
simultánea, como sigue:
Sea la inecuación
4≤
4 − 3x
< 8 , multiplicando por 2 ambos lados
2
8 ≤ 4 − 3 x < 16 , restando 4
4 ≤ −3x < 12
, se divide entre –3 y cambian los sentidos de la desigualdad
4
− 3 x 12
≥
>
−3
−3
−3
→
−4
−4
≥ x > −4 → −4< x ≤
3
3
−4 
Las soluciones son todos aquellos valores entre  −4 ,
.
3 

56
4)
Resuelva 8 − 3 y ≤ 2 y − 7 < y − 13
Solución:
Trabajaremos con cada inecuación por separado, analizando luego las soluciones
8 − 3y ≤ 2 y − 7
Sus soluciones son: y ≥ 3
y
2 y − 7 < y − 13
y < −6
y
Ambas desigualdades deben ser satisfechas por “y”, pero es imposible, ya que no existe
ningún número real que sea mayor o igual a 3 y menor que – 6.
En consecuencia no existe solución.
5)
Si 7 veces un número se disminuye en 5, el resultado es menor que 47. ¿Qué puede
concluirse sobre el número?
Solución:
Traducimos el lenguaje verbal a algebraico, teniendo así la siguiente inecuación
7 x − 5 < 47
7 veces un número
disminuido en 5
menor que 47
Resolviendo la inecuación
7 x − 5 < 47 → 7 x < 42 → x <
42
→ x<6
7
Se puede concluir que todo número real menor que 6 es solución del problema.
¡Compruébalo!
6)
El fabricante de cierto artículo puede vender todo lo que produce a 6.000 Bs cada
artículo. Gasta 3.000 Bs en materia prima y mano de obra al producir cada artículo y
tiene costos adicionales fijos de 40.000 Bs a la semana en la operación de la planta.
Encuentre el número de unidades que debería producir para obtener una utilidad de al
menos 500.000 Bs a la semana.
57
Solución:
Sea x el número de artículos producidos y vendidos a la semana. Entonces el costo total de
producir x unidades es de 40.000 Bs fijos más 3.000 Bs por cada artículo lo cual es
( 3.000 x + 40.000 ) Bs
El ingreso obtenido por vender x unidades a 6.000 Bs cada una será de 6.000x Bs., por lo
tanto según la fórmula de utilidad,
Utilidad = Ingresos − Costos → U = I − C
U = 6000 x − ( 3000 x + 40000) = 3000 x − 40000
Puesto que se desea obtener una ganancia (utilidad) de al menos 500.000 Bs al mes,
tenemos la siguiente inecuación
Utilidad ≥ 500.000 , Sustituyendo la utilidad por su ecuación
3.000 x − 40.000 ≥ 500.000
→
3.000 x ≥ 460.000
En consecuencia el fabricante deberá producir
→ x ≥ 153,33
y vender al menos 154 artículos a la
semana.
7)
El administrador de una fábrica debe decidir si deberán producir sus propios empaques,
que la empresa ha estado adquiriendo de proveedores externos a 500 Bs cada uno. La
fabricación de los empaques incrementaría los costos generales de la empresa
en
350.000 Bs al mes y el costo de material y mano de obra será de 250 Bs por cada
empaque. ¿Cuántos empaques deberá usar la empresa al mes para justificar la decisión
de fabricar sus propios empaques?
Solución:
Sea x el número de empaques utilizados por la empresa al mes, entonces el costo de
adquirir x empaques es de 500 Bs por cada uno. El costo para producir x empaques es de
250 Bs por empaque más costos generales de 350.000 Bs al mes, de modo que el costo
total es
58
(
250 x + 350.000 ) Bs
Para justificar la fabricación de los empaques por la misma empresa, debe ser cierta la
siguiente desigualdad,
Costo de Adquisició n > Costo de Producción , sustituyendo
500 x > 250 x + 350.000 →
250x > 350.000 → x > 1.400
En consecuencia, la empresa debe usar al menos 1.401 empaque al mes para justificar
fabricar los empaques.
Interesante...
¿Cuál sería la decisión si fabrica exactamente 1.400?
59
EJERCICIOS 1.8.1
Resuelva las siguientes inecuaciones
1.
2.
3.
4.
5.
6.
5 + 3 x < 11
3− 2y ≥ 7
2 y − 11 ≤ 5 y + 6
5 p + 7 > 31 − 3 p
3(2 @− 1) > 4 + 5(@− 1)
y+
4 2y − 3
>
+1
3
4
7.
1
(2 x − 1) − x < x − 1
4
6 3
8.
3
(4 + y ) ≥ 2 − 1 (1 − 4 y )
2
5
9.
y +1 y
2 y −1
− > 1+
4
3
6
10. 5 < 2 x + 7 < 13
11. 4 ≥
1 − 3x
≥1
4
12. 2 x + 1 < 3 − x < 2 x + 5
13. − 2 y + 4 < y − 2 < 2 y − 4
14. 3x − 5 < 1 + x < 2 x − 3
15. 5 y − 7 ≥ 3 y + 1 ≥ 6 y − 11
16. Si 9 veces un número se aumenta en 3, el resultado es menor que 200. ¿Cuáles son los
números enteros positivos que cumplen esa condición?
17. Joanna tiene las siguientes notas en Matemática: 16,13 y 12. ¿Cuánto debe obtener en el
cuarto examen para que su promedio sea al menos de 13 puntos?. ¿Cómo mínimo de 14
puntos?. ¿Podrá obtener un promedio de 16 puntos?
18. Generalmente, se considera que una persona tiene fiebre si tiene una temperatura oral
mayor de 98,6 grados Farenheit. ¿Qué temperaturas en la escala de grados centígrados
indican fiebre?
19. Un fabricante puede vender todas las unidades que produce al precio de 21.000 Bs cada
una. Tiene costos fijos de 8.000.000 Bs al mes; y además le cuesta 15.400 Bs producir
cada artículo. ¿Cuántas unidades debe producir y vender al mes la compañía para
obtener utilidades?
20. Un fabricante de cocinas puede vender todas sus unidades producidas al precio de
105.000 Bs. Tiene costos fijos al mes de 10,5 millones de Bs y el costo de producción
por unidad es de 70 mil Bs en materia prima y mano de obra. Determine el número de
cocinas que debe fabricar y vender al mes con el propósito de obtener utilidades de al
menos 2 millones.
21. Una empresa automotriz desea saber si le conviene fabricar sus propias correas para el
ventilador, que ha estado adquiriendo de proveedores externos a 2.100 Bs cada una. La
fabricación de las correas por la empresa incrementará sus costos fijos en 1millón al
mes, pero sólo le costará 1.200 Bs fabricar cada correa . ¿Cuántas correas debe utilizar
la empresa cada mes para justificar la fabricación de sus propias correas?
60
1.8.2
Inecuaciones con valor absoluto
El valor absoluto de x
(
x
), representa la distancia a lo largo de la recta numérica desde x
hasta el origen. Así el x < b con b > 0 , significa que la distancia desde x hasta el origen
es menor que b, siendo el conjunto solución los x tales que − b < x < b
x <b
−b
b
0
Por otra parte, x > b con b ∈ R significa que la distancia desde x hasta el origen es
mayor que b, siendo el conjunto solución los x tales que x > b ó
x < −b .
x >b
−b
0
b
Podemos resumir estos dos casos como las propiedades del valor absoluto:
Sea b un número positivo,
1.
x < b si y solo sí − b < x < b
2.
x > b si y solo sí x > b ó x < −b .
Las propiedades anteriores también se aplican con las otras relaciones de orden.
61
Ejemplo 16
1)
Resuelva
3x + 4 < 5
Solución:
Utilizando la propiedad 1 tenemos que
3 x + 4 < 5 es equivalente a − 5 < 3 x + 4 < 5
Resolviendo esta inecuación tenemos
− 5 < 3 x + 4 < 5 , restándole a ambos lados 4
− 9 < 3x < 1 , dividiendo entre 3
−3< x<
1
3
1

Por tanto las soluciones son todos los números del intervalo abierto  − 3, 
3

Comprobando con algunos elementos tenemos, si x = −2 entonces
3(− 2 ) + 4 < 5
3(− 2 ) + 4 = − 6 + 4 = − 2 = 2 < 5 , si es solución de la inecuación y así ocurrirá con
todos los elementos del intervalo solución. ¿Compruébalo con dos elementos más?
2)
Resuelva
2y +3 > 9
Solución:
Utilizando la propiedad 2 tenemos que 2 y + 3 > 9 es equivalente a
2 y + 3 > 9 ó 2 y + 3 < −9
Resolviendo estas inecuaciones tenemos,
2 y > 6 ó 2 y < −12
y>3 ó
y < −6
Por tanto las soluciones son todos los números del intervalo abierto
intervalo ( − ∞, − 6 ) . ¿Compruébalo?
( 3 , ∞)
junto con el
62
3)
Resuelva
3x − 4 ≤ 0
Solución:
Por definición de valor absoluto de una expresión, se conoce que nunca puede ser negativa,
entonces los únicos valores que satisfacen la inecuación dada son aquellos para los cuales
3x − 4 = 0 osea 3x − 4 = 0 . Obsérvese que la inecuación es equivalente a la
ecuación 3x − 4 = 0 cuya solución es x =
4
. Esto es un caso especial.
3
¿Qué pasaría si no hubiese sido cero sino un número negativo?
1.8.3
Inecuaciones cuadráticas
Se conoce como inecuación cuadrática a toda aquella que pueda escribirse de la forma
ax 2 + bx + c < 0 , con a ≠ 0 ¿por qué?, donde a ,b y c son números reales. Es importante
señalar que si el símbolo de relación de orden “< ” se cambia por “> , ≤ o ≥ ” , la
inecuación resultante también se llama inecuación cuadrática.
Las siguientes inecuaciones son ejemplos de inecuaciones cuadráticas
3x 2 + 2 x < 6 y (x + 3)(4 x − 6) ≥ 0 ,
puesto que pueden escribirse como 3x 2 + 2 x − 6 < 0 y 4 x 2 + 6 x − 18 ≥ 0 .
Para resolver una inecuación cuadrática es importante tener presente la propiedad de los
signos en los números reales.
Propiedad de los signos en el producto
1. Sean a , b ∈ ¡ ,
 i) a ≥0 y b ≥0 ó
ab ≥ 0 ↔ 
ii ) a ≤ 0 y b ≤ 0
En otras palabras, si el producto de dos números reales es positivo, entonces
los dos números tienen los mismos signos.
63
2. Sean a , b ∈ ¡ ,
 i) a ≥0 y b ≤0 ó
ab ≤ 0 ↔ 
ii ) a ≤ 0 y b ≥ 0
En otras palabras, si el producto de dos números reales es negativo, entonces
los dos números tienen signos opuestos.
Estas propiedades también son aplicables en los cocientes.
En consecuencia para resolver una inecuación
como
( x + 3) (4x − 6) ≥ 0 ,
debemos
determinar cuando los dos factores son ambos positivos o ambos negativos, ya que allí sus
productos serán positivos. La manera más didáctica para ocuparse de estos casos es
utilizando la estrategia del diagrama de signos.
Ejemplo 17
1. Resuelva x 2 + 2 x − 15 ≥ 0
Solución:
Formalmente resolvemos la ecuación aplicando las propiedades señaladas anteriormente,
pero como primera tarea factorizamos la ecuación, así
x 2 + 2 x − 15 ≥ 0 → ( x + 5)( x − 3) ≥ 0 ,
 i) a ≥0 y b ≥0 ó
ahora como ab ≥ 0 ↔ 
ii ) a ≤ 0 y b ≤ 0
Luego,
 i ) ( x + 5) ≥ 0 y ( x − 3) ≥ 0 ó
( x + 5)( x − 3 )≥ 0 ↔ 
ii ) ( x + 5) ≤ 0 y ( x − 3) ≤ 0
Resolviendo i ) ,
x ≥ −5
−∞
−5



y



0
3
x≥3
+∞
64
El área doble rayada es el conjunto solución S1 = [3, +∞ )
Resolviendo ii ) ,
x ≤ −5



−∞
y
x≤3



−5
0
3
+∞
El conjunto solución es S2 = ( −∞, −5] . La solución final ( S f ) es la unión de las dos
soluciones parciales S1 y S2 , entonces
S f = S 1 ∪ S 2 lo que es equivalente por propiedad conmutativa a S f = S 2 ∪ S1 , donde
S f = ( −∞, −5] ∪ [ 3, +∞ )
Importante...
1. En la notación “ [ ” o “ ] ”el extremo es cerrado en el intervalo.
2. En la notación “ ( ” o “ ) ” el extremo es abierto en el intervalo.
Ahora, conocido los fundamentos para resolver una inecuación cuadrática podemos aplicar
la siguiente técnica llamada Diagrama de Signos, determinando el signo correspondiente a
cada intervalo, así:
Primero comenzaremos factorizando el polinomio para luego utilizar el diagrama de signos,
x 2 + 2 x − 15 ≥ 0 → (x − 3)( x + 5 ) ≥ 0
Analizando cada uno de los factores, se tiene
x −3 ≥ 0 → x ≥ 3
x + 5 ≥ 0 → x ≥ −5
Los números
3 y –5
los llamaremos números críticos, ya que allí cambia el
comportamiento de los signos de manara dramática, veamos:
65
x −3≥ 0 → x ≥ 3
--------------- +++++++++
3
x + 5 ≥ 0 → x ≥ −5
------++++++++++++++++
−5
Acomodando estos dos diagramas en uno solo tenemos:
x −3 ≥ 0
x +5 ≥ 0
------------++++++++
-----+++++++++++++
( x − 3 )( x + 5 )
++++------ ++++++++
−5
3
Así observamos que los intervalos donde el producto de ( x − 3)(x + 5) es mayor o igual a
cero son los intervalos (− ∞ , 5] y [3, ∞ ) . ¿Compruébalo?
2. Resuelva 3x 2 < − x + 10
Solución:
Resolvemos este ejercicio de dos formas al igual que el anterior.
Forma 1
Acomodando la ecuación y luego factorizando tenemos,
3x 2 + x − 10 < 0 → ( 3x − 5 )( x + 2) < 0 ,
 i) a > 0 y b < 0 ó
ahora como ab < 0 ↔ 
ii ) a < 0 y b > 0
Luego,
66
 i ) ( 3x − 5 ) > 0 y
( 3 x − 5)( x + 2 ) < 0 ↔ 
ii ) ( 3x − 5 ) < 0
( x + 2) < 0
( x + 2) > 0
y
ó
Resolviendo i ) ,
x>
5
3
y



−∞
−2
x < −2
5
3
0



+∞
Como no existe área doble rayada, entonces el conjunto solución es vacío S1 = ∅
Resolviendo ii ) ,
x<
5
3
y
x > −2



−∞
−2


5
3
0
+∞
5
El conjunto solución S2 =  −2,  . La solución final es:
3

5
5


S f = S 1 ∪ S2 → S f = ∅ ∪  −2,  → S f =  −2, 
3
3


Forma 2
Factorizando el polinomio
x ≥ −5
y
x ≥ 3 donde
( 3 x − 5)( x + 2) < 0 , luego sus soluciones son:
( 3 x − 5 )< 0 →
x<
3
y
5
( x + 2 ) < 0 → x < −2
Representándolo en un diagrama de signos,
5
3
x < −2
x<
( 3 x − 5)( x + 2 )
---------------+++++
-----++++++++++++
++++--------- +++++
−2
5
3
67
Observa que el intervalo donde el producto de (3x − 5)( x + 2) es menor a cero (negativo)
5

es  − 2 ,  , por tanto ese es su intervalo solución.
3

3. Resuelva x 2 − 5x ≤ 0
Solución:
Factorizando el polinomio,
x ( x − 5) ≤ 0
Representándolo en un diagrama de signos,
x≤0
x≤5
-----+++++++++++
------------++++++
x ( x − 5)
++++-------++++++
0
5
Observa que el intervalo donde el producto es menor o igual a cero es [ 0,5 ] , por tanto ese
es su intervalo solución.
1.8.4
Inecuaciones racionales
Una inecuación racional es aquélla que está constituida por el cociente de dos polinomios,
por ejemplo
3x − 3
<2
5x + 2
ó
x2 − 3x − 1
≥ 0.
x − 12
Al resolver este tipo de problemas debemos tener presente la prohibicion de dividir entre
cero y además las reglas de los signos con respecto al cociente.
68
Propiedad de los signos en el cociente
1. Sean a , b ∈ ¡ ,
a
 i) a ≥0 y b <0 ó
≤0↔ 
b
ii ) a ≤ 0 y b > 0
En otras palabras, si el cociente de dos números reales es positivo, entonces
los dos números tienen los mismos signos
2. Sean a , b ∈ ¡ ,
a
 i) a ≥0 y b <0 ó
≤0↔ 
b
ii ) a ≤ 0 y b > 0
En otras palabras, si el cociente de dos números reales es negativo, entonces
los dos números tienen signos opuestos.
Ejemplo 18
1.
Resuelva
x+3
< −1
x+1
Solución:
Comenzaremos ordenando la inecuación colocando todos los términos diferentes de cero a
un lado de la inecuación,
x+3
x + 3 + x +1
2x + 4
+ 1 < 0 , resolviendo
<0→
<0
x +1
x +1
x+1
ahora como
a
 i) a >0 y b <0 ó
<0↔ 
b
ii ) a < 0 y b > 0
Luego,
2x + 4
 i ) ( 2 x + 4 ) > 0 y
<0↔
x +1
ii ) ( 2 x + 4 ) < 0 y
( x + 1) < 0
( x + 1) > 0
ó
Resolviendo i ) ,
x > −2
−∞



−2
y
x < −1



−1
0
+∞
69
Conjunto solución S1 = ( −2, −1)
Resolviendo ii ) ,
x < −2
−∞



y
x > −1



−2
−1
+∞
0
El conjunto solución S2 = ∅ . La solución final es:
S f = S 1 ∪ S2 → S f = ( −2, −1) ∪ ∅ → S f = ( −2, −1)
Resolviendolo en un diagrama de signos,
2x + 4 < 0
x +1 < 0
-----+++++++++++
------------++++++
2x + 4
<0
x +1
++++-------++++++
−2
−1
Observa que el intervalo donde el cociente es estrictamente menor a cero es (− 2 , − 1) , por
tanto ese es su intervalo solución. ¡Compruébalo con al menos dos elementos! ¿Por qué el
intervalo solución es abierto?
2.
x2 − 2 x + 3
Resuelva
≥1
x +1
Solución:
Ordenando la inecuación colocando todos los términos diferentes de cero a un lado de la
inecuación,
x2 − 2x + 3
− 1 ≥ 0 , resolviendo
x +1
70
x2 − 2 x + 3 − ( x + 1)
x2 − 2x + 3 − x − 1
x2 − 3 x + 2
≥0 →
≥ 0→
≥0
x+1
x +1
x+1
( x −1)( x − 2 ) ≥ 0
Factorizando el numerador
x +1
En este problema aparecen combinaciones de productos y cocientes; representaremos
primero el numerador analizando los casos respectivos y luego el denominador en el
siguiente diagrama de signos.
x −1 ≥ 0
x−2≥0
--------+++++ +++++++
-------- ----- -- +++++++
( x − 1)( x − 2 )
++++++------- +++++++
1
2
Este resultado del numerador lo relacionaremos con el denominador, con lo cual tenemos
( x − 1)( x − 2 )
++++++++++++------- +++++++
x +1 ≥ 0
-------+++++++++++++++++++
( x −1)( x − 2 )
-------+++++++------- +++++++
x +1
−1
1
2
Observa que los intervalos donde el cociente es estrictamente mayor o igual a cero son
(− 1, 1]
y
[2, ∞)
por tanto esa es su solución, el extremo –1 es abierto ya que en el
denominador no puede tomar el valor cero la inecuación y ese es precisamente el número
que lo hace; por lo tanto, debemos extraerlo.
71
EJERCICIOS 1.8.2 AL 1.8.4
Resuelva las siguientes inecuaciones
1. x < 4
2.
21.
x+5
≥0
x
22.
x +1
+2>0
x −1
23.
x−2
≥1
x+3
24.
2x − 3
≤ −2
5x + 2
3x − 1
< −4
2x − 1
2
>0
x+3
x >6
3.
x+2 <8
4.
2x − 4 < 1
5.
x−3 ≥9
6.
4 x + 1 + 4 < 12
7.
3x − 2 > 5
25.
8.
2 − 3x
≥2
5
26.
9.
2x + 5
<1
3
27.
10.
3x − 1
<6
4
28.
2 − 5x
11.
≥5
3
29.
4
2
≤
3x − 2 x +1
12. x + 2 x − 15 > 0
30.
1
3
≥
x− 2 x+1
31.
x2 − 2 x + 3
≤1
x +1
2
13. 3x 2 − x − 2 ≤ 0
14. y 2 − 8 y + 12 < 0
15. 6 p + 14 p + 4 ≥ 0
2
16. y 2 − 5 y ≥ 0
17. 3 y 2 − 27 < 0
18. 4 x2 ≤ 5x
2
19. 9 x + 30 x < −25
20. 12 x 2 > 27 x + 27
− 3x
x2 − 9
1
x −1
2
>0
<0
x( x − 1)
≤0
32. x + 5