2. LEYES FINANCIERAS.

TEMA 1: CONCEPTOS PREVIOS
1. INTRODUCCIÓN.
Se van a analizar los intercambios financieros considerando un ambiente de certidumbre.
El intercambio financiero supone que un agente entrega a otro un capital (o capitales) quedando obligado el
que lo recibe a devolver, en el plazo acordado, el capital prestado más una cuantía -denominada
interés- que representará el precio por haber dispuesto del mismo durante dicho plazo.
El interés puede definirse como: la cuantía, expresada en unidades monetarias, que será necesario
pagar por disponer de capitales ajenos durante un determinado período de tiempo. El interés
dependerá del importe del capital dispuesto y del intervalo de tiempo durante el cual se dispone de dicho
capital.
Capital financiero es: “La medida de un bien económico referida al momento de su disponibilidad,
vencimiento o entrega”. Es una magnitud bidimensional (C, t) donde C representa la cuantía de dicho
capital que se suele expresar en unidades monetarias (euros, dólares, etc.) y t el momento del tiempo en el que
es disponible, con C ∈ R+ y t ∈ R.
Formas de representar los capitales financieros.
2. LEYES FINANCIERAS.
Dado un capital (C, t), la ley financiera es la expresión matemática que permite obtener, en un momento
tn, la cuantía equivalente (C+I) del capital al que se renuncia.
En la práctica se utilizan fundamentalmente tres leyes, la ley de capitalización simple, la ley de
capitalización compuesta y la ley de descuento simple comercial.
2.1.) Ley de capitalización simple.
En este criterio, el interés I que se pagará por disponer de un capital de cuantía C por un período de tiempo
dado, n=tn-t, se determina de forma proporcional al capital dispuesto y a la amplitud del período. Esto es:
I = C · i · n = C · i · (tn - t)
[1.]
Siendo i el “tipo de interés” o precio a pagar al final del período por unidad de capital y unidad de tiempo
expresado en la misma unidad en que venga medido el tiempo.
Ejemplo 1. ¿Cuál sería el interés, calculado en capitalización simple, correspondiente a la disposición de un
capital de 6.000€ durante dos años y utilizando un tipo de interés anual del 4,00%?
De esta forma, la cuantía que se recibirá al final de período, Cn, tendrá la siguiente expresión:
Cn = C + I = C + C · i · n = C (1 + i · n)
[2.]
A partir de [2] la expresión de la ley de capitalización simple será:
L(t; tn)= (1+ i·n), de forma que Cn = C (1+ i·n) = C · L(t; tn)
Representación gráfica.
1
[3.]
En la práctica, el parámetro i suele expresarse en términos anuales por lo que el tiempo, n, se expresará en
años o fracción de años. Esto es,
k
k

[4.]
L( t; t n ) = (1 + i ⋅ n ) = 1 + i ⋅  , con n=
m
m

donde:
m = fraccionamiento, es decir, el número natural que representa los subperiodos de igual amplitud en que se
ha divido el año (m=12 meses, m=4 trimestres, m=365 días, etc.)
k = número de subperíodos comprendidos entre t y tn.
Ejemplo 2. ¿Cuál sería el capital, calculado con capitalización simple, que se recibiría al final del periodo si se
prestara un capital de 5.000€ durante 180 días a un tipo de interés anual del 4,00%? ¿y si el período fuera de 3
meses?
2.2.) Ley de capitalización compuesta.
Si se aplica la expresión anterior, la cuantía que se obtendría por posponer la disposición del capital n
períodos sería:
C n = C ⋅ L( t; t n ) = C ⋅ (1 + i ⋅ n )
[5.]
Sin embargo, podría plantearse una alternativa a esta situación dividiendo la duración total del período en n
subperiodos y planteando la misma operativa para cada uno de ellos, pero reinvirtiendo los capitales
obtenidos al final de cada periodo por un periodo más. Así,
1º período (amplitud 1)
→ C1 = C ⋅ (1 + i ⋅ 1)
2º período (amplitud 1) → C 2 = C1 ⋅ (1 + i ⋅ 1) = C ⋅ (1 + i ⋅ 1) (1 + i ⋅ 1) = C ⋅ (1 + i )2
...........................................................................................................................
período n (amplitud 1) → C n = C n −1 ⋅ (1 + i ⋅ 1) = C ⋅ (1 + i ⋅ 1) (1 + i ⋅ 1).......(1 + i ⋅ 1) = C ⋅ (1 + i )n
[6.]
siendo i el “tipo de interés”, expresado en la misma unidad en que venga medido el tiempo.
A la ley resultante se le denomina capitalización compuesta y su expresión es:
L( t; t n ) = (1 + i )
n
y, por tanto, C n = C ⋅ (1 + i ) n = C ⋅ L( t; t n )
[7.]
En la práctica, el parámetro i suele expresarse en términos anuales por lo que el tiempo, n, se expresará en
años o fracción de años:
L( t; t n ) = (1 + i ) = (1 + i )
n
k/m
, con n=
k
m
[8.]
donde:
m = fraccionamiento
k = número de subperiodos comprendidos entre t y tn.
Ejemplo 3: ¿Cuál sería el capital, calculado con capitalización compuesta, que se recibiría al final del periodo
si se prestara un capital de 5.000€ durante 180 días a un tipo de interés anual del 4,00%? ¿y si el período fuera
de 3 meses?
Por otra parte, los intereses se obtendrían de la expresión:
[
]
I = C n − C = C ⋅ (1 + i )k / m − 1 y si k / m = 1 → I = C ⋅ i
2
[9.]
Ejemplo 4: ¿Cuál sería el interés, calculado en capitalización compuesta, correspondiente a la disposición de
un capital de 5.000€ durante 3 años utilizando un tipo de interés anual del 4,00%? ¿Y en el caso de un periodo
de tres meses utilizando un tipo de interés trimestral del 1%?
Como puede observarse, la idea fundamental de la capitalización compuesta es la de que los intereses
generen, a su vez, intereses. La utilización de este criterio supondría el mismo resultado que la aplicación
de la ley de capitalización simple de forma sucesiva, reinvirtiendo cada vez los capitales generados en el
periodo anterior.
2.3) Comparación de las leyes de capitalización simple y capitalización compuesta.
Representación gráfica.
Ejemplo 5: Obténgase los intereses por periodo y acumulados, con una ley de capitalización simple y con
una ley de capitalización compuesta, considerando un capital de 1.000€ y un tipo de interés anual del 6%.
2.4) Ley de descuento simple.
En ocasiones, la operación financiera se concibe como el abono en el momento actual de una cantidad
conocida que debería recibirse en un momento futuro. El precio o recompensa se denomina
“descuento” (en lugar de interés) y la ley financiera más utilizada es la conocida como ley de descuento
simple comercial.
[10.]
D = C⋅d⋅n
siendo d el “tipo de descuento” o precio a pagar al inicio del período por unidad de capital y unidad de
tiempo, expresado en la misma unidad en que venga medido el tiempo.
Ejemplo 6: ¿Cuál sería el descuento que se produciría, utilizando la ley de descuento simple comercial, si se
adelantase dos meses la disponibilidad de la paga extra de Navidad, sabiendo que su importe es de 2.500 € y
que el tipo de descuento es del 0,50% mensual?
Por tanto, la cuantía C0 que se recibiría al inicio del período, se obtendría de la siguiente expresión:
C0 = C − D = C − C ⋅ d ⋅ n = C[1 − d ⋅ n ]
La expresión de la ley de descuento simple comercial es:
A( t 0 ; t ) = 1 − d ⋅ n con n = t − t 0 y, por tanto: C 0 = C ⋅ A( t 0 ; t )
[11.]
[12.]
Representación gráfica.
En la práctica el parámetro d suele expresase en términos anuales por lo que el tiempo, n, se expresará en
años o fracción de años. Esto es:
A( t 0 ; t ) = 1 − d ⋅
donde:
m= fraccionamiento,
k = Número de subperiodos comprendidos entre t0 y t.
k
k
, con n=
m
m
[13.]
Ejemplo 7: ¿Cuál sería el capital, calculado con descuento simple comercial, que se recibiría al inicio del
período si se procede a descontar un capital de 6.000€ durante tres meses a un tipo de descuento anual del
6% durante 90 días? ¿y si el período fuera de 6 meses?
3
3. EQUIVALENCIA FINANCIERA.
Si al comparar dos capitales financieros (C1, t1) y (C2, t2) una o ambas variables son iguales, el criterio de
elección es sencillo y totalmente intuitivo:
Si t 1 = t 2 y C1 < C 2 ⇒ ( C1 , t 1 ) p ( C 2 , t 2 ) , el 2º capital es preferible al 1º.
Si t 1 < t 2 y C = C 2 ⇒ ( C , t 1 ) f ( C 2 , t 2 ) , el 1º es preferible al 2º.
1
1
Si t 1 < t 2 y C > C 2 ⇒ ( C , t 1 ) f ( C 2 , t 2 ) , el 1º es preferible al 2º.
1
1
Si t 1 = t 2 y C1 = C 2 ⇒ ( C1 , t 1 ) ~ ( C 2 , t 2 ) , son indiferentes
Pero, si t 1 < t 2 y C1 < C2 ⇒ ?
El principio de preferencia por la liquidez, también llamado “principio de la subestimación de las
necesidades futuras”, recoge el hecho de que los agentes económicos prefieran consumir un bien económico
hoy que diferir su consumo en el tiempo o, en otras palabras, que una unidad monetaria disponible hoy
será más valiosa, esto es, será preferida a una unidad monetaria disponible en el futuro.
Dos capitales financieros con distinto vencimiento serán financieramente equivalentes (o indiferentes
desde el punto de vista financiero) siempre y cuando el de vencimiento más alejado en el tiempo sea de mayor
cuantía, y, como se ha visto en los epígrafes anteriores, la diferencia entre ambos capitales coincida con
lo que se ha denominado interés, obtenido, a su vez, mediante la aplicación de la ley financiera.
Matemáticamente:
sabiendo que:
(C1, t1) ~ (C2, t2) ⇔ C2 – C1 = I, con t1 < t2
[14.]
C2 = C1 · L(t1; t2)
[15.]
* Línea de indiferencia financiera.
La equivalencia financiera de capitales es un concepto relativo, que dependerá de la ley utilizada.
Ejemplo 8: Utilizando la ley de capitalización compuesta y la ley de capitalización simple, ambas con un tipo
de interés del 3,75% anual, obténgase el capital equivalente el 15/05/03 de los siguientes capitales financieros:
(47.500, 15/12/2001), (48.013, 15/03/2003).
4. SUMA FINANCIERA.
El capital suma financiera se define como el capital financiero (S,τ), cuya cuantía S es suma
aritmética de las cuantías equivalentes en τ a las cuantías de los capitales sumandos.
Dados los capitales financieros (C1, t1) y (C2, t2) y suponiendo que τ > t2 > t1, el capital financiero se
determina:
Sτ = C1 L(t1; τ) + C2 L(t2; τ)
[16.]
Representación gráfica.
En el supuesto de que existan m capitales sumandos, (C1, t1), (C2, t2),..., (Cm, tm) y suponiendo que
τ > tm >… >t2 >t1, el capital financiero se determina:
Sτ = C1 L (t 1 ; τ ) + C 2 L (t 2 ; τ ) + ............ + C m L (t m ; τ )
Todo ello en el caso de una ley de capitalización.
4
[17.]
La definición del capital suma financiera permite extender el concepto de equivalencia financiera entre
capitales a equivalencia financiera entre conjuntos de capitales y así, se dice que dos conjuntos de
capitales son equivalentes, en base a una Ley financiera, cuando en un mismo momento tienen el mismo
capital suma financiera.
Ejemplo 9:
A) Dado el siguiente conjunto de capitales: {(5.000, t1 )( 2.000, t 3 )} , obténgase su suma financiera en t4 con la
ley financiera: L( t; t n ) = (1 + 0,05) t n − t .
B)Determínese cuánto debe valer X para que el conjunto de capitales del apartado A sea equivalente al
conjunto: {(1.000, t 2 ) (3.500, t 3 ) ( X, t 4 )} , con la ley L( t; t n ) = (1 + 0,05) t n − t .
¿Cómo se pueden sumar capitales si en el caso de una ley de capitalización el vencimiento del capital suma τ
no cumple que τ > tm >… >t2 >t1? Hay dos formas de resolver este problema:
• Utilizando el factor financiero, que se estudiará en el tema 2.
• Se plantea la ecuación en el momento donde venza el último capital y a continuación se despeja la cuantía
del capital suma.
Representación gráfica.
Ejemplo 10:
A) Dado el siguiente conjunto de capitales: {(5.000, t1 )( 2.000, t 3 )}, obténgase su suma financiera en t2 con la
ley financiera: L( t; t n ) = (1 + 0,05) t n − t
B) Determínese cuánto debe valer X para que el conjunto de capitales del apartado A sea equivalente al
conjunto: {(1.000, t 1 ) ( X , t 2 ) ( 3.500, t 3 ) } , con la ley, L( t; t n ) = (1 + 0,05) t n − t .
5. OPERACIÓN FINANCIERA
A partir de los conceptos anteriores, se puede definir operación financiera como el intercambio no
simultáneo de capitales financieros pactado ente dos agentes económicos de forma que se verifique
la equivalencia en base a una ley financiera entre los capitales entregados por uno y otro.
La parte que entrega el primer capital de la operación se denomina prestamista y la parte que lo recibe
prestatario. Asimismo, el conjunto de capitales que entrega el prestamista se llama prestación y el que
entrega el prestatario contraprestación.
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