Febrero 2013 Ejercicios Resueltos del Tema 2.2.6

UAM–CSIC
Grupo 911 – Febrero 2013
Ejercicios Resueltos del Tema 2.2.6
– Asignatura de Matemáticas –
Grado en Química
Lista de ejercicios en estas páginas: 1–7 y 9–12.
Nota: Los ejercicios pueden contener errores, agradecemos que se comuniquen a los
profesores para su corrección. Escribir a [email protected]
1. Determinar el trabajo realizado por el campo vectorial
F (x, y, z) = (xy, 2, 4z),
a lo largo de la hélice circular H: r(t) = (cos(t), sin(t), t) para 0 ≤ t ≤ 2π.
El trabajo realizado por una fuerza F a lo largo de r(t) es la integral de la componente de la fuerza en la dirección de r(t). La dirección de una curva en un punto
dado es precisamente la derivada r0 (t). Dado un punto r(t), la componente de F
es el producto escalar F (r(t)) · r0 (t)). El trabajo es la adición de todas estas contribuciones infinitesimales de la fuerza a lo largo de la curva. Luego, el resultado
es
Z 2π
Z
F (r(t)) · r0 (t)dt
F · dl =
W =
H
0
0
Tenemos r (t) = (− sin(t), cos(t), 1) y F (r(t)) = (cos(t) sin(t), 2, 4t), así
F (r(t)) · r0 (t) = (2 − sin2 (t)) cos(t) + 4t.
El trabajo de F a lo largo de H es
W =
Z 2π
[(2 − sin2 (t)) cos(t) + 4t]dt = 8π 2
0
2. Integrar el campo vectorial h(x, y, z) = (xy, yz, xz), sobre la curva C descrita por
r(t) = (t, t2 , t3 ) entre los puntos (−1, 1, −1) y (1, 1, 1).
Notemos en primer lugar que el punto (−1, 1, −1) corresponde a r(−1) y r(1) =
(1, 1, 1). Luego t = −1 da el punto inicial y t = 1 el punto final, por lo tanto
−1 ≤ t ≤ 1. Como en el ejercicio anterior, es necesario integrar h a lo largo de la
curva. Esto quiere decir integrar la densidad obtenida al hacer el producto escalar
h(r(t)) · r0 (t). Siendo h(r(t)) = (t3 , t5 , t4 ) y r0 (t) = (1, 2t, 3t2 ):
Z
C
h · dl =
Z 1
h(r(t)) · r0 (t)dt =
−1
3. Calcular la integral
Z 1
−1
Z
(t3 + 2t6 + 3t6 )dt =
Z 1
−1
t3 + 5t6 dt =
10
7
h(r)dr si h(x, y) = (ey , − sin(πx)) y C el triángulo de vértices
C
(1, 0),(0, 1) y (−1, 0).
Esta vez la curva C, esto es la unión de los lados del triángulo, tiene tres partes
C1 , C2 y C3 , una por lado. Empezemos con el lado horizontal C1 que une el punto
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(−1, 0) con (1, 0), este se describe por r1 (t) = (t, 0) con −1 ≤ t ≤ 1. El segmento
que une (1, 0) con (0, 1) pertenece a la recta y = −x + 1, luego1 es r2 (t) = (t, −t + 1)
empezando con t = 1 y terminando en t = 0. El segmento que une (0, 1) con (−1, 0)
pertenece a la recta y = x + 1, luego se describe por r3 (t) = (t, t + 1) con punto de
inicio en t = 0 y final t = −1.
La integral a lo largo de cada uno de estos segmentos se calcula como en los dos
ejercicios anteriores: evaluando h a lo largo de r y haciendo el producto escalar del
vector resultante con r0 (t). Tenemos:
r10 (t) = (1, 0),
r20 (t) = (1, −1),
r30 (t) = (1, 1)
h(r2 (t)) = (e−t+1 , − sin(πt)),
h(r1 (t)) = (1, − sin(πt)),
h(r3 (t)) = (et+1 , − sin(πt))
Las tres integrales son:
Z
C1
r10 (t)dt
h(r1 (t)) ·
=
Z 1
1dt = 2
−1
2
π
1
C2
Z
Z −1
2
h(r3 (t)) · r30 (t)dt =
(et+1 − sin(πt))dt = 1 − e −
π
C3
0
La integral total es la suma de la integral en los tres lados
Z
I=
r20 (t)dt
h(r2 (t)) ·
Z
h · dl =
Z
=
h · dl +
C1
C
Z 0
(e−t+1 + sin(πt))dt = 1 − e −
Z
h · dl +
Z
C2
h · dl = −2(e − 2) −
C3
4
π
Alternativamente podemos calcular la integral en el contorno C de un dominio Ω
usando el teorema de Green:
Z
P (x, y)dx + Q(x, y)dy =
C
ZZ
Ω
(Qx − Py ) · dxdy,
donde P es la fuerza del campo en la dirección x y Q la fuerza en la dirección y, i.e.
la primera y la segunda componente del campo. En nuestro caso Ω es el interior
del triángulo, cuyos límites de integración son −1 ≤ x ≤ 0 y 0 ≤ y ≤ x + 1 para
el sector del segundo cuadrante y 0 ≤ x ≤ 1 y 0 ≤ y ≤ −x + 1 para el sector del
primer cuadrante. En nuestro caso la fuerza en la dirección x de h es P (x, y) = ey
mientras que Q(x, y) = − sin(πx). Luego
Qx = −π cos(πx),
Py = ey .
Según la teoría, la integral I también se puede calcular integrando Qx − Py en el
interior del triángulo:
Z
I = (Qx − Py ) · dxdy =
Ω
=
Z 0 Z x+1
−1
(−π cos(πx) − ey ) · dxdy +
0
Z −1 Z −x+1
0
= −2(e − 2) −
1
(−π cos(πx) − ey ) · dxdy =
0
4
π
Para describir una recta y = nx + m podemos coger t = x y usar r(t) = (t, nt + m).
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Z
4. Calcular la integral
encia unidad.
h(r) · dr, si h(x, y) = (y 2 + y, 2xy − e2y ) y C es la circunfer-
C
Podemos calcular la integral de línea directamente o integrar la densidad adecuada
en el interior del dominio Ω con frontera C. En este caso Ω = D2 el disco unidad
centrado en el origen (x, y) = (0, 0).
Método 1: Integral de línea a lo largo de C
Describimos la curva C mediante r(θ) = (cos θ, sin θ). Tenemos r0 (θ) = (− sin θ, cos θ).
La densidad a lo largo de la circunferencia es
h(r(θ)) = h(cos θ, sin θ) = (sin2 θ + sin θ, 2 sin θ cos θ − e2 sin θ )
Luego la integral de línea es
I=
Z
(sin2 θ + sin θ, 2 sin θ cos θ − e2 sin θ ) · (− sin θ, cos θ)dθ =
C
=
Z 2π
− sin θ(sin2 θ + sin θ) + cos θ(2 sin θ cos θ − e2 sin θ )dθ = −π
0
Método 2: Integral en el dominio Ω con ∂Ω = C
En h(x, y) = (y 2 + y, 2xy − e2y ) tenemos P (x, y) = y 2 + y y Q(x, y) = 2xy − e2y .
Luego la densidad Qx − Py a integrar es
Py = 2y + 1,
Qx = 2y =⇒ Qx − Py = −1
y obtenemos de nuevo
I=
Z
C
h · dl =
Z
Ω
(Qx − Py ) · dxdy = −Area(Ω) = −π.
5. Un planeta se mueve en el campo gravitatorio del sol:
F (~r) = −ρm
~r
,
r3
ρ, m constantes
Demostrar que el campo de fuerzas es conservativo, hallar una función de energía
potencial y determinar la energía gravitatoria del planeta.
Recordemos que r2 = x2 + y 2 + z 2 y ~r = (x, y, z). Luego el campo gravitatorio en
el 3–espacio R3 es
F (x, y, z) =
(x2
−ρm
· (x, y, z)
+ y 2 + z 2 )3/2
Un campo de fuerzas en R3 es conservativo si ocurre alguna de las tres siguientes
propiedades equivalentes:
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(C1) La fuerza proviene de una potencial, es decir existe una función
ϕ : R3 −→ R
tal que integra al campo, esto es, cumple la ecuación −∇ϕ = F .
(C2) El trabajo de F a lo largo de trayectorias cerradas es 0:
Z
F · dl = 0,
C
siendo C una curva cerrada cualquiera.
(C3) El producto vectorial del gradiente con la fuerza es nulo, i.e. ∇ × F = 0.
Comprobemos que se satisface (C1) hallando el potencial. Necesitamos una función
ϕ(x, y, z) de modo que
−∇ϕ = −(∂x ϕ, ∂y ϕ, ∂z ϕ) = F.
Luego tenemos que resolver las ecuaciones
∂x ϕ =
(x2
ρm · x
+ y 2 + z 2 )3/2
ρm · y
+ y 2 + z 2 )3/2
ρm · z
∂z ϕ = 2
(x + y 2 + z 2 )3/2
∂y ϕ =
(x2
Integrando respecto a x, y y z la primera, segunda y tercera ecuación obtenemos:
ϕ(x, y, z) = −
ρm
(x2 + y 2 + z 2 )1/2
Podemos comprobar que efectivamente ϕ es el potencial gravitatorio, por ejemplo
−∂x
ρm
− 2
(x + y 2 + z 2 )1/2
!
= ρm · ∂x (x2 + y 2 + z 2 )−1/2 =
1
x
= ρm · − (x2 + y 2 + z 2 )−3/2 · 2x = −ρm
2
(x2 + y 2 + z 2 )3/2
!
que efectivamente corresponde a la primera componente de F .
La energía potencial gravitatoria del planeta es el trabajo de la fuerza gravitatoria
del origen de potencial a la posición del planeta. Esto es precisamente ϕ evaluado
en la posición del planeta por ser ϕ una primitiva de F y centrar el origen de
potencial en el Sol. La energía total del planeta será su energía cinética sumada a
esta energía potencial.
6. Considera la rampa espiral S dada por
r(u, v) = (u cos(ωv), u sin(ωv), bv)
donde l, b, ω ∈ R son constantes y (u, v) ∈ Ω = [0, l] × [0, 2π/ω].
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1. Calcula el módulo del vector normal a la superficie.
2. Calcula el área de la superficie.
3. Calcula
Z q
x2 + y 2 dσ.
S
Calculemos el módulo del vector normal a la superficie correspondiendo a esta
parametrización r(u, v). En primer lugar calculemos el vector normal. Recordemos que el producto vectorial de dos vectores en el 3–espacio R3 es perpendicular
a ambos, si encontramos dos vectores tangentes linealmente independientes a la
superfície y hacemos su producto vectorial obtendremos un tercer vector, perpendicular a ambos vector tangentes, es decir, normal a la superficie. Los dos vectores
tangentes que usamos son ∂u r(u, v) y ∂v r(u, v).
Para la parametrización dada los vectores son
∂u r(u, v) = (cos(ωv), sin(ωv), 0),
∂v r(u, v) = (−uω sin(ωv), uω cos(ωv), b)
Su producto vectorial es
n = (cos(ωv), sin(ωv), 0) × (−uω sin(ωv), uω cos(ωv), b) =
cos(ωv) −uω sin(ωv) i = sin(ωv) uω cos(ωv) j = (b sin(ωv), −b cos(ωv), uω)
0
b
k El módulo del vector normal n es
|(b sin(ωv), −b cos(ωv), uω)| =
√
b2 + u2 ω 2
Calculemos el área de la superficie S, esto es, la integral a lo largo del dominio Ω
del módulo del vector normal n:
Z √
Z
Z 2π/ω Z l √
Área(S) = 1 · dA =
b2 + u2 ω 2 dudv =
b2 + u2 ω 2 dudv =
S
Ω
0
=
Finalmente calculemos
de la superfície S es
0
Z l√
2π
ω
b2 + u2 ω 2 du
0
Z q
x2 + y 2 dσ. La densidad f (x, y, z) =
√ 2
x + y 2 a lo largo
S
f (r(u, v)) = |u|.
Luego la integral de superfície es
Z q
x2 + y 2 dσ =
S
Z l Z 2π/ω
0
=
|u| ·
0
√
2π Z l √ 2
b2 + u2 ω 2 dvdu =
u b + u2 ω 2 du =
ω 0
2π 2
2π[(b2 + l2 ω 2 )3/2 − b3 ]
2 2 3/2 l
(b
+
u
ω
)
=
0
3ω 3
3ω 3
7. Evaluar las integrales de línea
I1 =
Z
xdx,
C
I2 =
Z
ydy
C
a lo largo de las siguientes curvas orientas positivamente:
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(a) C = {x2 + y 2 = ρ2 } ⊂ R2 , con el radio ρ constante
(b) C =
n
x2
a2
+
y2
b2
o
= 1 ⊂ R2
Empezemos por la curva C de (a), la circunferencia de radio ρ centrada en el origen (0, 0) ∈ R2 . Podemos integrar el campo P (x, y)dx + Q(x, y) en el contorno o la
densidad Qx −Py en el interior, en este caso el disco de radio ρ centrado en el origen.
Usando la integral en el contorno, una posible parametrización es r(t) = (ρ cos(t), ρ sin(t))
con 0 ≤ t ≤ 2π. El primer campo a integrar es F1 (x, y) = (x, 0), luego
F (r(t)) = (ρ cos(t), 0),
r0 (t) = (−ρ sin(t), ρ cos(t)),
F (r(t))·r0 (t) = −ρ2 sin(t) cos(t)
Entonces la primera integral da
I1 =
Z
F · dl =
C
Z 2π
−ρ2 sin(t) cos(t)dt = 0
0
dado que la primitiva es inmediata o usando sin(2t) = 2 sin(t) cos(t). El resultado se
podría haber deducido del hecho que el campo F es conservativo ya que la función
φ(x, y) = −x2 /2 cumple
−∇φ = (−∂x φ, −∂y φ) = (x, 0) = F (x, y)
Deducimos que el campo F integrado a lo largo de la curva C en (b), una elipse de
semiejes a y b, tiene trabajo neto cero.
Para la integral I2 a lo largo de las curvas C en (a) y (b) procedemos análogamente.
Dado que τ (x, y) = (0, −y 2 /2) es un potencial para el campo G(x, y) = (0, y) tenemos I2 = 0 por ser ambas curvas C cerradas.
A modo de ejemplo, calculemos la integral I2 usando el teorema de Green. Como
F (x, y) = (x, 0), la fuerza a integrar es xdx: luego P (x, y) = x y Q(x, y) = 0. Por
lo tanto la densidad a integrar es Qx − Py = 0, y el trabajo neto producido por la
fuerza a lo largo de C es 0.
En conclusión, las cuatro integrales se anulan.
9. Determinar el trabajo realizado por la fuerza
x y 1
F (x, y, z) = − , − ,
2 2 4
al desplazarnos en la hélice r(t) = (cos(t), sin(t), t) desde el punto p = (1, 0, 0) al
punto q = (1, 0, 3π).
Los puntos p y q corresponden a los valores t = 0 y t = 3π respectivamente,
luego integraremos en 0 ≤ t ≤ 3π. La densidad a integrar es el producto escalar
F (r(t)) · r0 (t), como
!
cos(t) sin(t) 1
F (r(t)) = −
,−
,
,
2
2
4
r0 (t) = (− sin(t), cos(t), 1) =⇒ F (r(t))·r0 (t) =
6
1
4
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El trabajo realizado es entonces
W =
Z
F · dr =
C
Z 3π
0
1
3π
· dt =
4
4
10. Calcular el trabajo realizado por la fuerza F (x, y, z) = (x2 y, x − z, xyz) al desplazarnos en la curva C descrita por r(t) = (t, t2 , 2) con 0 ≤ t ≤ 1.
La densidad a integrar es F (r(t)) · r0 (t), esto es
r0 (t) = (1, 2t, 0) =⇒ F (r(t)) · r0 (t) = t4 + 2t(t − 2)
F (r(t)) = (t4 , t − 2, 2t3 ),
El trabajo se calcula integrando la densidad a lo largo de la curva C:
W =
Z
F · dl =
Z 1
C
t4 + 2t(t − 2)dt = −
0
17
15
11. Calcular el trabajo realizado por la fuerza F (x, y) = (x3 − 2x2 , x − y/2) al movernos
en la curva C descrita por r(t) = (t, t2 ). Comprobar que el trabajo es nulo cuando
el vector tangente es perpendicular a la fuerza.
Primero calculemos la integral sistemáticamente. La densidad es F (r(t)) · r0 (t), en
nuestro caso
F (r(t)) = (t3 −2t2 , t−t2 /2),
r0 (t) = (1, 2t) =⇒ F (r(t))·r0 (t) = t3 −2t2 +2t2 −t3 = 0
Luego el trabajo realizado por la fuerza F entre cualquier par de puntos de la
parabola C es 0, por ser la integral de la densidad 0.
Es claro que en general si la fuerza F (r(t)) es perpendicular al vector tangente r0 (t),
i.e. F (r(t))·r0 (t) = 0. Por lo tanto, el trabajo realizado es nulo dado que integramos
la densidad 0.
12. Dada la fuerza F (x, y) = (y, x2 ), calcular su integral de línea, i.e. el trabajo realizado, en la curva r(t) = (4 − t, 4t − t2 ) con 0 ≤ t ≤ 3, y razonar el resultado que
se obtendría recorriendo la curva en sentido inverso.
La densidad es la fuerza evaluada en los puntos de la curva producto escalar con el
vector tangente, que captura la componente de la fuerza en la dirección de la curva:
F (r(t)) = (4t−t2 , (4−t)2 ),
r0 (t) = (−1, 4−2t),
F (r(t))·r0 (t) = t2 −4t+(4−2t)(4−t)2
La integral es
Z
C
F · dl =
Z 3
t2 − 4t + (4 − 2t)(4 − t)2 dt =
0
69
2
En el sentido inverso el resultado cambia de signo. Esto se sigue de la interpretación
física o directamente usando la parametrización de t = 3 a t = 0 junto con
Z b
a
=−
Z a
b
7