Una pequeña parte de la gráfica diferenciada es casi una línea

Una pequeña parte de la gráfica diferenciada es casi una línea
recta, llamada tangente.
Este concepto permite o sugiere la forma de estimar el cambio
en las salidas que produce una función cuando los valores en la
entrada varían muy poco.
El estimativo depende de la derivada e introduce el concepto
de diferencial.
La Diferencial: consideremos la grafica.
Consideremos el punto P = (a,f(a)) sobre la grafica de una
función diferenciable f (x).La recta tangente en P pasa por P (a,f(a))
y tiene pendiente f `(a). Luego la ecuación es:
y = f(a) + f´(a) (x – a)
y = p(a) + f´(a) (x – a)
Como f(a) y f´(a) son valores constantes, entonces la función
f(a) + f´(a)(x – a) es polinómica, la cual se anotara p(x)= f(a) +
f´(a)(x – a) (la letra p solamente está usada para identificar la
función como polinómica).
La grafica muestra las funciones y = p(x) e y = f(x).
Ejemplo:
Hallar la ecuación de la recta tangente a la curva f(x) = x³ en el
punto P (1,1) en este caso a = 1; Luego.
p(x) = f(1) + f´(1)·(x – a)
p(x) = 1 + 3 (x – a)
Como la tangente en P(a, f(a)) permanece “cerca” de la grafica
de y = f(x), para los puntos en cercanía de P puede “usarse” dicha
tangente como una aproximación de la grafica.
Para el entorno]1- ε, 1 + ε [los puntos de la función f(x)
tienden a “confundirse” con los puntos de p(x) .En otras palabras,
los puntos de la gráfica f(x) son “casi coincidentes” con los puntos
de la recta o sea, podemos decir que:
P’ (1- ε , f(1- ε)) ε f(x)
P’` (1- ε , f(1- ε)) ε p(x)
Del mismo modo:
P’(1+ ε , f(1+ ε)) ε f(x)
P’’(1+ ε , f(1+ ε)) ε p(x)
Ahora bien, consideremos un pequeño incremento Δx. Como
entrada al número “a + Δx” que está cercano al número “a” ,
entonces:
p(a + Δx) = f(a) [(a + Δx) – a ]
o bien
p(a + Δx) = f(a) + f’(a) Δx
Por otra parte, por definición Δf = f (a + Δx) – f(a) que
corresponde al cambio o incremento de la función, entonces:
f(a + Δx) = f(a) + Δf
En la figura se muestra p(a + Δx) y f(a + Δx)
Ejemplo: calcular f(a + Δx) y p(a + Δx) en el casi f(x) = x ³;
a =1 y Δx = 0.1
p(a + Δx) = f(a) + f’(a) Δx
como: f’(x) = 3x²
f’(1) = 3
p (1 + 0,1) = f(1) + 3 · 0,1
p (1,1) = 1 + 0,3
p (1,1) = 1,3
p(a + Δx) ≈ f(a + Δx) ≈ 1,331
Se observa que p(1,1) = 1,3 es una buena aproximación a f(1,1)
= 1,331.
En la expresión: p(a + Δx) = f(a) – f’(a)Δx, que expresa la
linealidad f(x), hay dos sumandos , uno de ellos es f(a) , el otro f’(a)
. Δx debe sumarse a f(a) para obtener una aproximación a f(a + Δx)
(ver figura anterior) ; entonces el segmento AC es una “buena
aproximación del segmento AB” , el cual representa el cambio de la
función f(x) , Δf = f(a + Δx) – f(a) en otras palabras.
f(a)Δx es un estimativo de Δf.
La expresión f(a)·Δx se llama DIFERENCIAL y es una
aproximación de la diferencia Δf.
Es decir “el producto de la derivada en un punto por un
incremento de ese punto, expresa el incremento de la función en ese
punto”.
Definición: sean y = f(x) una función diferenciable
(derivable) en
a , con a Є Dom f’(a)·Δx, se llama diferencial de f en a y se denota
por df o dy.
Nota:
1. Cuando Δx es “pequeño”, la diferencial es pequeña.
2. La diferencial f’(a)·Δx representa el cambio vertical a lo
largo de la recta tangente en la figura se muestra la
comparación entre df y Δf
Ejemplo:
Calcular df y Δf pasa f(x) =
Para a = 9 y Δx = 0,3
Solución: f(x) =
f’(a) =
; f’(x) =
=
df = f’(a) · Δx
df =
· 0,3
df = 0.05
Δf = f(a + Δx) – f(a)
Δf = (√9 + 0,3) - √9
Δf = 0,04959
Observe que df esta muy cerca a Δf como se esperaba. Es
frecuente usar en general
df = f’(x)· Δx como la diferencial de f(x) en cualquier punto de la
curva(continua en todo el dominio) ; entonces d(x³) = 3x² dx.
Si se conoce la derivada de una función, también se conoce su
diferencial. Por ejemplo:
d(sen x) = cos x · Δx
d(7x³) = 21x² · Δx
d(x) = 1 · Δx = Δx
Notese que d(x) = Δx . Por esta razón se acostumbra escribir Δx
como dx la diferencial de f , entonces también se escribe :
df = f’(x) dx
o bien
dy = f’(x) dx
ejemplo: d(tg x) = sec² x dx
d(2x³) = 6x² dx
Los símbolos dy y dx adquieren así un significado individual.
Tiene entonces sentido expresar el cociente entre ambos.
Del ejemplo : dy = f’(x) dx
/ : dx
dy = f’(x)
dx
Este es entonces el símbolo dy/dx para la derivada. Su uso. Se
remonta a la época de LEIBNIZ al final del siglo XVII, cuando dx
denotaba un número “infinitamente pequeño”.
Como se estableció que: p(a + Δx) = f(a) Δx es una buena
aproximación de f(a + Δx) cuando Δx es pequeño. Se tiene que:
F(a + Δx) ≈ f(a) + f’(a) · Δx
“La salida de f en (a + Δx)(la imagen) se aproxima por la
salida de f en a (f(a)) mas la diferencial f’(a) Δx”
Ejemplo: Utilizar la formula de aproximación para estimar
En este caso, hacemos: f(x) =
; Luego
F’(x) =
Entonces como sabemos el valor exacto de ³√27 es 3
usamos a = 27 y Δx = 2 entonces:
f(a + Δx) = f(a) + f’(a) · Δx
f(³√29) = f(27) + f’(27) · 2
f(³√29) = ³√27 +
f(³√29) = 3 +
= 3 + 0,0741
= 3,0741
Método para Aplicar la diferencial en la
estimación de valores de f(x)
1. se halla un numero a “cercano”
a b para el cual f(a) y f’(a) sean
una función.
felices de calcular.
2. Se halla Δx = b – a (Δx puede resultar positivo o negativo)
3. Se calcula f(a) + f’(a)· Δx ; este valor es un “estimativo” de
f(b).En resumen :
f(b) ≈ f(a) + (b – a) f’(a)
Ejemplo: utilizar la diferencial para hallar √50
Hacemos a = 49 y Δx = 1
Luego:
f(x) =
f’(x) =
f(49) = 7
f(49) =
=
f(50) = f(49) + 1 f’(49)
f(50) = 7 +
El siguiente ejemplo proporciona una aplicación del
calculo de un “error relativo” . Si se conoce un error E el estimar
una cantidad Q , el error relativo E/Q el cual a menudo se expresa
como porcentaje . En este caso no se tiene interés en el error E ; sino
en determinar que tan grande es , comparado con la cantidad que se
mide :
La diferencial dV es un estimativo del error que se comete al
calcular el volumen.
O sea
es el error estimativo en cuestión
Por lo tanto, el error relativo en el volumen es el triplo del error
relativo en la medición del lado, aproximadamente 3%.
La Aproximación Óptima
Como ya sabemos p(x) = f(a) + f´(a) (x-a) es la ecuación de la
tangente a la gráfica de
y = f (x) en el punto P(a, f(a))
Además, como la recta tangente se “parece” o aproxima a la
gráfica y = f(x) cuando x está cerca del valor de a.
De hecho las preimagenes a, las funciones p(x) y f(x) tienen
“casi” las mismas imágenes.
Es decir:
P(a) = f(a) + f(a) (a-a)
P(a) = f(a) + f(a) · 0
P(a) = f(a)
Luego si comparamos las derivadas de p(x) y f(x) en a
P`(x) = [f(a) + f `(a) · (x-a)
P´(x) = 0 + f´(a) ·1
P´(a) = f´(a)
Luego p(x) y f(x) tienen la misma primera derivada en a.
En resumen: P(a) = f(a) y p`(a) = f´(a) . Las ecuaciones dan
una descripción algebraica del polinomio p(x). es el único
polinomio de primer grado que tiene la misma imagen que f en
a a y cuya derivada produce la misma imagen que la derivada
de f en a. Lo que justifica el siguiente teorema:
TEOREMA: sea f diferenciable en a. Sean c y k constantes.
Supóngase que el polígono q(x) = c + f´(a) y q´(a) = F`(a)
Entonces: q(x) = f(a) + f`(a)·(x-a)
Demostración: Se desea encontrar c y k de modo que q(a) =
f(a) q`(a) = f`(a)
En primer lugar
q(a) = c + ka y q`(a) = k
c + ka = f (a)
k = f `(a)
Sustituyendo
C + f `(a) a =f(a)
C = f(a) – f `(a)· a
Como
luego:
q(a) = c+kn
Se concluye que:
q(x) c + kx
q(x) = f(a) – f `(a) a + f `(a)x
q(x) = f(a) + f `(a) (x-a)
Luego
q(x) = p(x)
Como un polinomio de primer grado se llama función lineal
(su gráfica es una recta); p(x) se llama linealización de f(x) en a.
En resumen, p(x) puede concebirse como el polinomio lineal
cuya gráfica se “aproxima mejor” a la gráfica del punto (a, f(a)).
Ejemplo: Hallar la linealización de f(x) = 2x² +3x en x= 2
Solución:
F`(x) = 4x + 3 como la linealización en es en 2, se calcula f(2) = 14
F`(2) = 11
Luego la linealización de f(x) = 2x² + 3x en x= 2 es:
p(x) = 14 + 11 (x-2)
Error al usar la diferencial
Sea f(x) continua con primera y segunda derivada también
continua sea a E dom f cuando x está en un entorno de “a” se usa
una aproximación lineal.
Esta aproximación agrega la diferencial f`(a)(x-a) al valor de la
función f(a)
¿Qué tan óptima es la aproximación en el entorno de a?
¿Qué tan rápidamente la diferencia entre f(x) y p(x) se aproxima
a 0?
Para responder esto se examina el error.
E(x) = f(x) – p(x)
E(x) = f(x) – [f(a) + f `(a) · (x-a)
Se desea saber con que rapidez se aproxima E(x) a cero cuando
x  a; planteado de otra manera, se desea saber como crece E(x)
cuando se incrementa x-a
Examinemos el comportamiento de E(x) y de sus derivadas
cerca de “a”, así:
E(x) = f(x) – f(a)-f `(a) (x-a)
E`(x)=f `(x)- 0-f `(a) ·1
E`(x) = f `(x)-f `(a)
E``(x)= f ``(x)
Luego E(a) y E`(a) son iguales a cero, se puede usar el teorema
del crecimiento para concluir algo acerca del tamaño de E(x)
Teorema del error en el uso de la aproximación diferencial
Sea f(x) una función como primera y segunda derivada en
algún entorno de a, esto
es
sea “m” el mínimo de f ``(x) en
M el máximo de f ``(x) en
y
Entonces,
x
; el error está dado por:
m(x-a)2 < E(x) < m(x-a)2
2
2
Demostración: se sabe que E(a)= 0 y E`(a) = 0, además E``(x)
= f``(x)
por consiguiente el teorema está
demostrado y esto implica la fórmula anterior.
Obs.: cuando e0 entonces xa
Luego E``(x) varía suavemente. De modo que, en un pequeño
intervalo alrededor de a, el mínimo m y el máximo M de E``(x)
están cerca de E ``(a), se puede esperar entonces que el error sea
aproximadamente E``(a) (x-a)2 esto significa que el error decrece
como
2
el cuadrado de (x-a) si f``(a) = 0
Finalmente en el tema de las derivadas es importante tratar dos
teoremas que por su importancia en el cálculo infinitesimal no se
pueden obviar.
Teorema de Rolle:
Sea f continua en {a,b} y diferenciable en {a,b}si f(a) = f(b)
entonces al menor existe un número CE {a,b} en que f(c) = 0
informalmente, en el teorema de Rolle asegura que si la gráfica de
una función diferenciable tiene una cuerda horizontal, entonces tiene
una recta tangente horizontal.
MN: Cuerda horizontal; f(x) continua en
a<c<b ; c
; f `(c) = 0
Teorema del valor medio
Sea f continua en
un número c
y diferenciable en
; al menos existe en
tal que :
f`(c) =
De manera informal, el teorema del valor medio asegura
que para cualquier cuerda de la gráfica de una función diferenciable
hay una recta tangente paralela a ella.
La conclusión del teorema del valor medio puede escribirse
así:
f(b) = f(a) + f `(c) (b-a)
En la recta tangente T // MN se tiene que
f `(c) = m
f`(c) =
O bien f(b) = f(a) + f(c)`(b-a)