C´ALCULO Continuidad, derivabilidad y diferenciabilidad en R2. 1

Dpto. Matemática Aplicada. E.T.S.A.M.
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CÁLCULO
Continuidad, derivabilidad y diferenciabilidad en R2.
1
Continuidad
Definición 1.1 Dada una f : R2 → R, se considera un punto (x0 , y0 ) ∈ R2 de su dominio. f (x, y) es continua en (x0 , y0 ) si
lim
(x,y)→(x0 ,y0 )
f (x, y) = f (x0 , y0 )
.
Cuando el punto en el que se quiere estudiar la continuidad es el (0,0) se recomienda hacer
un cambio a coordenadas polares:
x = r cos θ
y = r sin θ
El lı́mite quedarı́a
lim f (r cos θ, s sin θ)
r→0
.
Si el lı́mite depende de la dirección θ, no existe ya que el lı́mite, si existe, es único.
NOTA: Cuando, al pasar a polares, no se pueda calcular el lı́mite, se “sospecha” que no
va a existir. En ese caso se pueden estudiar los lı́mites iterados o buscar una dirección
con el objeto de encontrar valores distintos para el lı́mite y ası́ concluir que no existe.
Los lı́mites iterados se calculan como:
lim (lim f (x, y))
y→0 x→0
lim (lim f (x, y))
x→0 y→0
Para calcular los lı́mites direccionales en (0,0) (según alguna dirección), por ejemplo según
las rectas y = mx, se evalúa
lim f (x, mx)
x→0
Si depende de m no existe el lı́mite.
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Derivadas direccionales y derivadas parciales
Definición 2.1 Dada una f : R2 → R, se considera un punto (x0 , y0 ) ∈ R2 de su dominio
y vector v̄ = (v1 , v2 ) ∈ R2 con kv̄k = 1. La derivada direccional de f , en la dirección v̄,
en el punto (x0 , y0 ), denotada por Dv̄ f ((x0 , y0 )), se define por
f (x0 + hv1 , y0 + hv2 ) − f (x0 , y0 )
f ((x0 , y0 ) + h(v1 , v2 )) − f (x0 , y0 )
= lim
.
h→0
h→0
h
h
Dv̄ f (x0 , y0 ) = lim
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Definición 2.2 Dada una f : R2 → R, se considera un punto (x0 , y0 ) ∈ R2 de su dominio. Se define la derivada parcial de f respecto de la variable x en el punto (x0 , y0 ) y
∂f
se denota por
(x0 , y0 ) o fx0 (x0 , y0 ) como sigue:
∂x
∂f
f (x0 + h, y0 ) − f (x0 , y0 )
(x0 , y0 ) = lim
.
h→0
∂x
h
Se define la derivada parcial de f respecto de la variable y en el punto (x0 , y0 ) y se denota
∂f
por
(x0 , y0 ) o fy0 (x0 , y0 ) como sigue:
∂y
∂f
f (x0 , y0 + h) − f (x0 , y0 )
(x0 , y0 ) = lim
.
h→0
∂y
h
Definición 2.3 Dada una f : R2 → R con derivadas parciales en un punto (x0 , y0 ) ∈ R2
de su dominio, se denomina vector gradiente de f en (x0 , y0 ) y se denota por ∇f (x0 , y0 )
al vector de derivadas parciales de f en (x0 , y0 ), es decir
Gradiente de f en (x0 , y0 ):
∇f (x0 , y0 ) =
∂f
∂x
(x0 , y0 ) , ∂f
(x
,
y
)
.
0 0
∂y
Definición 2.4 Se define la derivada parcial segunda respecto de las variables xi y xj de
∂ 2f
una función f , y se denota por
o Dxi xj f o fx00i xj a la derivada parcial de la función
∂xj ∂xi
∂f
respecto xj .
∂xi
(Aclaración: i, j = 1, 2.
x1 = x, x2 = y.)
Teorema 2.5 (de Schwarz, igualdad de derivadas cruzadas). Sea f : R2 → R,
ā = (x0 , y0 ) ∈ R2 un punto de su dominio. Si se verifica que
1. existen
2. existe
∂f ∂f
y
en un entorno de (x0 , y0 ),
∂x ∂y
∂ 2f
en un entorno de (x0 , y0 ) y es continua en (x0 , y0 );
∂x∂y
entonces existe
∂ 2f
∂2f
∂2f
(x0 , y0 ) y además
(x0 , y0 ) =
(x0 , y0 ).
∂y∂x
∂x∂y
∂y∂x
(Observación: el teorema es válido para funciones de n variables (con n > 2) y para
ordenes mayores de derivación.)
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Función Diferenciable
Definición 3.1 Sea f : R2 → R, (x0 , y0 ) ∈ R2 un punto de su dominio. Se dice que f es
diferenciable en (x0 , y0 ) si y sólo si
f (x0 + h, y0 + k) − f (x0 , y0 ) − ∂f
(x0 , y0 ) h −
∂x
√
lim
(h,k)→(0,0)
h2 + k 2
∂f
∂y
(x0 , y0 ) k
= 0.
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Proposición 3.2
f diferenciable en (x0 , y0 ) =⇒ f es continua en (x0 , y0 ).
Proposición 3.3
f diferenciable en (x0 , y0 ) =⇒ ∃ Dv̄ f (x0 , y0 ) para todo v̄ ∈ R2 .
En particular, de la Proposición anterior y de la definición de derivadas parciales, se tiene
que
Corolario 3.4
f diferenciable en (x0 , y0 ) =⇒ existen
∂f
∂f
(x0 , y0 ),
(x0 , y0 )
∂x
∂y
Proposición 3.5 (Condición suficiente de diferenciabilidad). Sea f : R2 → R,
(x0 , y0 ) ∈ R2 un punto de su dominio. Supongamos f continua en (x0 , y0 ) y con derivadas
∂f
∂f
(x0 , y0 ) ,
(x0 , y0 ) continuas en (x0 , y0 ). Entonces, f es diferenciable en
parciales
∂x
∂y
(x0 , y0 ).
Proposición 3.6 Si f es diferenciable en (x0 , y0 ) entonces D~v f (x0 , y0 ) = ∇f (x0 , y0 ) · ~v .
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El vector gradiente.
geométricas.
Propiedades y aplicaciones
• Sea f : R2 → R una función diferenciable en un punto (x0 , y0 ) y consideremos el
vector gradiente en dicho punto. Entonces el gradiente representa la dirección de
máxima pendiente, es decir, el vector gradiente define la dirección en la cual la
derivada direccional en dicho punto es máxima.
El valor de la derivada direccional máxima es Dmax f (x0 , y0 ) = k∇f (x0 , y0 )k.
• Para una función f : R2 → R el ∇f es perpendicular a las curvas de nivel f (x, y) =
C.
• Si f : R2 → R es una función diferenciable en un punto a = (x0 , y0 ) del dominio de
f y se considera la superficie de R3 , z = f (x, y) , entonces la ecuación del plano
tangente a la superficie en el punto de coordenadas (x0 , y0 , f (x0 , y0 )) es
z − f (x0 , y0 ) = fx0 (x0 , y0 ) (x − x0 ) + fy0 (x0 , y0 ) (y − y0 )
Ejemplo: Hallar el plano tangente a la superficie z = f (x, y) siendo f (x, y) =
x2 + xy 2 − 2 en el punto a = (1, −1).
Solución: Punto de tangencia (1, −1, f (1, −1)) = (1, −1, 0) , fx0 (x, y) = 2x +
y 2 ⇒ fx0 (1, −1) = 3, fy0 (x, y) = 2xy ⇒ fy0 (1, −1) = −2. Por tanto la ecuación
del plano tangente en dicho punto a la superficie tiene por ecuación:
z = 3 (x − 1) − 2 (y − (−1))
5 = 3x − 2y − z
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• La recta tangente en el punto (x0 , y0 ) según la dirección ~v = (v1 , v2 ) tiene por
ecuaciones paramétricas:

 x = x0 + t · v 1
y = y 0 + t · v2

z = f (x0 , y0 ) + t · D~v f (x0 , y0 )
t∈R
• La recta normal a la superficie z = f (x, y) en el punto (x0 , y0 ) tiene por ecuaciones
paramétricas:

 x = x0 + t · fx0 (x0 , y0 )
y = y0 + t · fy0 (x0 , y0 )

z = f (x0 , y0 ) − t
t∈R