MATE 3171

MATE 3171
Dr. Pedro Vásquez
UPRM
P. Vásquez (UPRM)
Conferencia
1 / 23
MATE 3171
Transformaciones de funciones
Traslación vertical
Si se suma una constante c a una función, su grá…ca se desplaza
verticalmente hacia arriba si c > 0 y se desplaza verticalmente hacia abajo
si c < 0.
Suponga c > 0 :
La grá…ca de y = f (x ) + c, se obtiene al mover c unidades hacia arriba la
grá…ca de y = f (x ) .
La grá…ca de y = f (x ) c, se obtiene al mover c unidades hacia abajo la
grá…ca de y = f (x ) .
P. Vásquez (UPRM)
Conferencia
2 / 23
MATE 3171
Ejemplos
2.5.1 Trace la grá…ca de una función, sin tabular, gra…cando la función
conocida y luego aplique la transformación.
f (x ) = x 2 + 3
y
y
4
8
x^2
x^2+3
3
7
2
6
1
5
x
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
4
5
3
−1
2
−2
1
−3
x
−4
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
5
−1
P. Vásquez (UPRM)
Conferencia
3 / 23
MATE 3171
Traslación horizontal
Si se suma una constante c a x, su grá…ca se desplaza horizontalmente
hacia la derecha si c > 0 y se desplaza horizontalmente hacia la izquierda
si c < 0.
Si se conoce la grá…ca de y = f (x ), lo anterior se obtiene de la grá…ca de
y = f (x c ) .
Suponga c > 0 :
La grá…ca de y = f (x c ), se obtiene al mover c unidades hacia la
derecha la grá…ca de y = f (x ) .
La grá…ca de y = f (x + c ), se obtiene al mover c unidades hacia la
izquierda la grá…ca de y = f (x ) .
P. Vásquez (UPRM)
Conferencia
4 / 23
MATE 3171
Ejemplos
2.5.2 Trace la grá…ca de una función, sin tabular, gra…cando la función
conocida y luego aplique la transformación.
f (x ) = (x + 3)2
y
y
4
4
x^2
3
3
2
2
1
1
x
x
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
5
−7
−6
−5
−4
−3
−2
−1
1
−1
−1
−2
−2
−3
−3
−4
−4
P. Vásquez (UPRM)
Conferencia
2
5 / 23
MATE 3171
Ejemplos
2.5.2 Trace la grá…ca de una función, sin tabular, gra…cando la función
conocida y luego aplique la transformación.
f (x ) = (x + 3)2
y
y
4
4
x^2
3
3
2
2
1
1
x
x
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
5
−7
−6
−5
−4
−3
−2
−1
1
−1
−1
−2
−2
−3
−3
−4
−4
P. Vásquez (UPRM)
Conferencia
2
6 / 23
MATE 3171
2.5.3. Trace la grá…ca de una función, sin tabular, gra…cando la función
conocida y luego aplique la transformación.
p
f (x ) = x 2
y
y
4
4
3
3
x^.5
2
2
1
1
x
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
5
−2
−1
−1
1
2
3
4
5
6
−1
−2
−2
−3
−3
−4
−4
−5
P. Vásquez (UPRM)
Conferencia
7 / 23
MATE 3171
Re‡exiones
Dada la grá…ca de y = f (x ), se desea conocer que sucede al gra…car
y = f (x ) o y = f ( x ) .
La grá…ca de y = f (x ), es el re‡ejo de la grá…ca de y = f (x ) sobre el
eje X .
La grá…ca de y = f ( x ), es el re‡ejo de la grá…ca de y = f (x ) sobre el
eje Y .
P. Vásquez (UPRM)
Conferencia
8 / 23
MATE 3171
2.5.4 Trace la grá…ca de una función, sin tabular, gra…cando la función
conocida y luego aplique la transformación.
p
p
x
g (x ) =
x
f (x ) =
y
y
4
4
3
3
(-x)^.5
x^.5
2
2
1
1
x
x
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
5
−4
−3
−2
−1
1
−1
−1
−2
−2
−3
2
3
4
-x^.5
−3
−4
−4
−5
P. Vásquez (UPRM)
Conferencia
9 / 23
MATE 3171
Estirarse y encogerse verticalmente
Dada la grá…ca de y = f (x ), se desea conocer que sucede al gra…car
y = cf (x ).
Si c > 1 a grá…ca de y = cf (x ), la grá…ca de y = f (x ) se estira
verticalmente por un factor de c.
Si 0 < c < 1 a grá…ca de y = cf (x ), la grá…ca de y = f (x ) se achica
verticalmente por un factor de c
P. Vásquez (UPRM)
Conferencia
10 / 23
MATE 3171
2.5.5 Trace la grá…ca de una función, sin tabular, gra…cando la función
conocida y luego aplique la transformación.
f (x ) = 3 jx + 2j
y
y
4
4
3|x|
3
3
|x|
3|x+2|
2
2
1
1
x
x
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
5
−4
−3
−2
−1
1
−1
−1
−2
−2
−3
−3
−4
−4
−5
−5
P. Vásquez (UPRM)
Conferencia
2
3
4
5
11 / 23
MATE 3171
Estirarse y encogerse horizontalmente
Dada la grá…ca de y = f (x ), se desea conocer que sucede al gra…car
y = f (cx ).
Si c > 1 a grá…ca de y = f (cx ), la grá…ca de y = f (x ) se achica
horizontalmente por un factor de c.
Si 0 < c < 1 a grá…ca de y = f (cx ), la grá…ca de y = f (x ) se estira
horizontalmente por un factor de c.
P. Vásquez (UPRM)
Conferencia
12 / 23
MATE 3171
2.5.6 Las grá…cas de g es dada, trace la grá…ca de las siguientes funciones..
y = g (2x ) ,
y =g
P. Vásquez (UPRM)
1
2x
,
Conferencia
13 / 23
MATE 3171
Funciones pares e impares
Sea f una función:.
f es par si f ( x ) = f (x ) para todo x en el dominio de f .
f es impar si f ( x ) = f (x ) para todo x en el dominio de f .
P. Vásquez (UPRM)
Conferencia
14 / 23
MATE 3171
Ejemplos
2.5.7 Suponga que la grá…ca de una función f es dada. Describa el tipo de
transformación que se hizo con respecto a f .
a. y = f (x ) 3 : la grá…ca de f se desplazó verticalmente 3 unidades
hacia abajo.
b. y = f (x + 2) : la grá…ca de f se desplazó horizontalmente 2 unidades
hacia la izquierda.
c. y = f ( x ) : la grá…ca de f se se re‡eja sobre el eje Y .
d. y = f (x ) + 1 : la grá…ca de f se re‡eja sobre el eje X y luego se
desplazó verticalmente 1 unidad hacia arriba.
e. y = 2f (x 4) : la grá…ca de f se estira verticalmente por un factor
de 2 y luego se despalza 2 unidades hacia la derecha.
f. y = f 31 x + 5 : la grá…ca de f se estira horizontalmente por un
factor de 3 y luego se desplazó verticalmente 5 unidades hacia arriba.
P. Vásquez (UPRM)
Conferencia
15 / 23
MATE 3171
2.5.8 Explique como la grá…ca de la función g es es obtenida de la grá…ca
de f .
a. f (x ) = x 2 , g (x ) = (x 2)2 : la grá…ca de f se desplazó
horizontalmente
2 unidades
p hacia la derecha.
p
b. f (x ) = x, g (x ) = 12 x 3 : la grá…ca de f achica por un factor de
2 y se desplazó verticalmente 3 unidades hacia abajo.
c. f (x ) = x 3 , g (x ) = ( 2x )3 + 2 : la grá…ca de f se re‡eja sobre el eje
Y, luego se achica horizontalmente por un factor de 2 y se desplazó
verticalmente 2 unidades hacia arriba.
d. f (x ) = jx j , : g (x ) = 2 jx + 3j la grá…ca de f se re‡eja sobre el eje
X , se estira verticalmente por un factor de 2 y luego se desplazó
horizontalmente 3 unidades hacia la izquierda.
P. Vásquez (UPRM)
Conferencia
16 / 23
MATE 3171
2.5.9 Paree las grá…cas con las funciones:
a.y = jx + 1j b.y = jx
P. Vásquez (UPRM)
1j c.y = jx j
Conferencia
1 d.y =
jx j
17 / 23
MATE 3171
2.5.10 Trace la grá…ca de una función, sin tabular, gra…cando la función
conocida y luego aplique la transformación.
f (x ) =
2
x +1
1
y
y
4
2/x
1/x
4
3
3
2
2
1
1
2/(x+1)
2/(x+1)-1
x
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
5
−4
−3
−2
−1
−1
−1
−2
−2
−3
−3
−4
−4
−5
−5
P. Vásquez (UPRM)
Conferencia
x
1
2
3
4
5
18 / 23
MATE 3171
2.5.11 Trace la grá…ca de una función, sin tabular, gra…cando la función
conocida y luego aplique la transformación.
p
p
f (x ) = 3
2 x =3
(x 2)
y
y
4
4
3
3
-(-x+2)^.5+3
2
2
(-x)^.5
x^.5
1
1
x
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
x
5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
5
-(-x)^.5
−1
−1
−2
−2
−3
−3
−4
−4
−5
−5
P. Vásquez (UPRM)
Conferencia
-(-x+2)^.5
19 / 23
MATE 3171
2.5.12 Las grá…cas de f y g son dadas, halle una fórmula para la función g ..
P. Vásquez (UPRM)
Conferencia
20 / 23
MATE 3171
2.5.13 La grá…ca de y = f (x ) es dada, paree cada función con su grá…ca..
a. y = 13 f (x ) , b. y =
P. Vásquez (UPRM)
f (x + 4) , c. y = f (x
Conferencia
4) + 3, d. y = f ( x )
21 / 23
MATE 3171
2.5.14 Las grá…cas de g es dada, trace la grá…ca de las siguientes funciones..
y = g (x + 1) , y = g ( x ) , y = g (3x ) , y = 31 g (x )
P. Vásquez (UPRM)
Conferencia
22 / 23
MATE 3171
2.5.15 Determine si la función f es par o impar:
a. f (x ) = x 2 4x 4
b. f (x ) = x x 3
c. f (x ) = 3x 3 + x 2
P. Vásquez (UPRM)
4x + 1
Conferencia
23 / 23