(t)= I - Biblioteca Central de la Universidad Nacional del Santa

UNIVERSIDAD NACIONAL DEL SANTA
ESCUELA DE INGENIERIA EN ENERGIA
CURSO VIII CICLO
SISTEMAS ELECTRICOS DE POTENCIA
SEMANA 2
OBJETIVO
Representar y analizar un SEP monofásico
BIBLIOGRAFIA
 Duncan-Sarma.2003. SISTEMAS ELECTRICOS
Editorial Ciencias e Ingenieria.3° Edición.
DE
POTENCIA.
 Stephen J. Chapman. MAQUINAS ELECTRICAS 3° Edición Año 2000
20/09/2012
Ing. César Lopez Aguilar
CONTENIDO
1.
2.
3.
4.
5.
Representación de un SEP
La señal eléctrica de C.A.
Representación Fasorial.
Relación entre fasores V e I
Potencia instantánea en circuitos Monofásicos de ca
6. PRACTICA N° 02
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1. REPRESENTACION DE UN SEP
La siguiente figura representa un SEP que consta de un generador de
480 v 60 Hz que alimenta una carga Zcarga = 4+j3Ω a través de una línea
de transmisión de impedancia Zlinea= 0.18+j0.24.
Para analizar este circuito, requiere el estudio de fasores.
Se debe determinar la pérdida de potencia y energía,
El SEP cuenta con generador, línea y carga; falta el transformador
La conexión es monofásica y la corriente es alternada.
La tensión es normalizada y es una valor RMS?, la carga es resistiva o
inductiva?.
Figura 1 : Representación de una SEP circuito eléctrico
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2. La señal eléctrica
Una señal sinusoidal, a(t), tensión, v(t), o corriente, i(t), se puede expresar
matemáticamente según sus parámetros característicos, como una función
del tiempo por medio de la siguiente ecuación:
Donde : A0 es la amplitud en voltios o amperios (también llamado valor máximo o
ω la pulsación en radianes/segundo, t el tiempo en segundos, y β el
ángulo de fase inicial en radianes. ω = 2πf f = frecuencia = 60 Hz.
de pico),
Una tensión o corriente a frecuencia
constante se caracteriza por dos
parámetros: Un valor máximo y un
ángulo de fase. Así una tensión
v(t) = Vmax sen(wt+ β)
i(t) = Imax cos (wt + β)
Ejemplo :
v(t) = 300 sen(wt+30 ) voltios
Figura 2 : Parámetros característicos de una onda
senoidal
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I(t) = 100 sen(wt+45 ) Amperios
Ambos son valores instantáneos
Valor instantáneo (a(t)): Es el que toma la ordenada en un instante, t,
determinado.
Valor eficaz (A): su importancia se debe a que este valor es el que
produce el mismo efecto calorífico que su equivalente en corriente
continua. En la literatura inglesa este valor se conoce como R.M.S. (root
mean square, valor cuadrático medio), y de hecho en matemáticas a
veces es llamado valor cuadrático medio de una función. En el campo
industrial, el valor eficaz es de gran importancia ya que casi todas las
operaciones o ventas de energía se hacen con dicho valor.
Matemáticamente se demuestra que para una corriente alterna senoidal
el valor eficaz viene dado por la expresión:
Para la tensión el valor eficaz será V = Vmax/√2
Para la corriente el valor eficaz será V = Vmax/√2
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EJEMPLO 1 : Calcular el valor pico para una tensión de 220 V., 138 Kv,
500 Kv. 60 Hz. Representarlo en una señal eléctrica.
Calcular el valor instantáneo para un tiempo de 0.012 y 0.2 segundos.
Representarlo en una señal eléctrica
EJEMPLO 2
Si la frecuencia es de 50 Hz, lo que equivale a decir que cada ciclo de la
onda sinusoidal tarda 20 ms en repetirse. La tensión de pico positivo se
alcanza a los 5 ms de pasar la onda por cero (0 V) en su incremento, y 10
ms después se alcanza la tensión de pico negativo. Si se desea conocer,
por ejemplo, el valor a los 3 ms de pasar por cero en su incremento, se
empleará la función senoidal
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3. Representación fasorial
Una función senoidal puede ser representada por un vector giratorio
(figura 3), al que se denomina fasor o vector de Fresnel, que tendrá las
siguientes características:
Girará con una velocidad angular ω.
Su módulo será el valor máximo o el eficaz, según convenga.
Figura 3: Representación fasorial de una onda senoidal
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3. Representación fasorial
La razón de utilizar la representación fasorial está en la simplificación que
ello supone. Matemáticamente, un fasor puede ser definido fácilmente por
un número complejo, por lo que puede emplearse la teoría de cálculo de
estos números para el análisis de sistemas de corriente alterna.
EJEMPLO 3 Consideremos, a modo de ejemplo, una tensión de CA cuya
señal sea el siguiente
Esta señal se representa mediante un fasor como se muestra en la figura
4. Su valor medio será 2√2. Sus formas de representación será:
FORMA EXPONENCIAL Y POLAR
FORMA BINOMICA
Figura 4: Ejemplo de fasor tensión
(E. P.: eje polar).
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FORMA RECTANGULAR
V = 2√2Cos45° + 2√2Sen45°
4. Relacion entre los fasores V e I Representación fasorial
Fugura 5.
Diagrama fasorial
para convertir de la
forma polar a la
rectangular
Figura 6.
Resumen
de
las
relaciones entre los
fasores V e I, para
elementos constantes
R, L y C con excitación
sinusoidal de estado
estacionario.
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5. Potencia Instantánea en Circuitos Monofásicos de CA
La potencia es la razón de cambio de la energía con respecto al tiempo.
La unidad de potencia es el watt, que es igual a un joule por segundo. La
potencia instantánea en watt absorbida por una carga eléctrica es el
producto de la tensión instantánea entre los extremos de la carga en
voltios y la corriente instantánea hacia la carga en amperes.
Suponga que la tensión en la carga es: v(t)= Vmax cos(wt+ δ)
CARGA PURAMENTE RESISTIVA
Supongamos que la corriente de la carga resistiva, es:
i(t)= I Rmax cos(wt+ δ) En donde : I Rmax = Vmax / R
La potencia instantánea absorbida por el resistor es: PR(t) = v(t) iR(t)
PR(t) = Vmax cos(wt+ δ) IRmax cos(wt+ δ)
PR(t) = Vmax IRmax cos²(wt+ δ)
PR(t) = 1/2Vmax IRmax (1+cos(2(wt+ δ))
PR(t) = V IR (1+cos(2(wt+ δ))
watt
watt
Valores Promedio
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CARGA PURAMENTE INDUCTIVA
Supongamos una carga inductiva, la corriente va a tras de la tensión en 90°
IL (t)= ILmax cos(wt+ δ - 90) A. En donde : XL = wL Reactancia Inductiva
ILmax = Vmax / X L
Intensidad Máxima de Corriente
La potencia instantánea absorbida por el inductor es:
PL(t) = v(t) i L(t) = Vmax cos(wt+ δ) ILmax cos(wt+ δ - 90)
Aplicando porductos de los cosenos
PL(t) = V IL sin(2(wt+ δ)) Watt
Watt
cosA.cosB = ½ [cos (A-B)+cos(A+B)]
CARGA PURAMENTE CAPACITIVA
Supongamos una carga inductiva, la corriente de la carga va adelante de la
tensión en 90° IC (t)= ICmax cos(wt+ δ + 90) A.
En donde :
XC = 1/wC Reactancia Capacitiva
ICmax = Vmax / XC
Intensidad Máxima de Corriente.
La potencia instantánea absorbida por el CAPACITOR es: PC(t) = v(t) iC(t)
PC(t) = Vmax cos(wt+ δ) ICmax cos(wt+β + 90) = V IC sin(2(wt+ δ)) Watt
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CARGA RLC GENERAL
Supongamos una carga RLC, la corriente de la carga puede ir en adelanto
o en atrazo con la tensión, dependiendo de los valores de la reactancia
inductiva o capacitiva. i (t)= Imax cos(wt+ β) V (t)= Vmax cos(wt+ δ)
La potencia instantánea absorbida por la carga RLC es: P(t) = v(t) i (t)
P(t) = Imax cos(wt+ β) Vmax cos(wt+ δ)
aplicando producto de cosenos
P(t) = V I cos (δ - β) (1+cos(2(wt+ δ))+ VI sin (δ - β)sin(2(wt+ δ))
Watt
Haciendo IR = I cos(δ -β) IX = sin (δ - β)
P(t) = V I R(1+cos(2(wt+ δ))+ V IX sin(2(wt+ δ))
PR (t) componente resistiva
Watt
Px (t) componente reactiva
V (t)
I (t)
El ángulo (δ - β) , representa el
ángulo entre la tensión y la corriente
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Lopez Aguilar
Aguilar
δ
β
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POTENCIA COMPLEJA
Para los circuitos que operan en estado estacionario sinusoidal, las
potencias real y reactiva se calcula a partir de la potencia compleja, la cual
se define como : Sea V = V < β
I=I<δ
Entonces la potencia compleja es : S= V.I* = [V < β] [I < δ]* = VI < β – δ
S= V.I cos(β – δ) + j V.I sin(β – δ)
POTENCIA REAL
La potencia instantánea PR (t) absorbida por la componente resistiva de la
carga es una sinusoide doble con valor promedio P dado por:
P= VIR = VI cos (β – δ) Watt
POTENCIA REACTIVA
La potencia instantánea por la parte reactiva de la carga, dada por la
componente PX(t)
Q= V Ix = VI sin (β – δ) var
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FACTOR DE POTENCIA
Al término cos(β – δ) se le conoce como factor de potencia, el ángulo de
fase (β – δ) es el ángulo entre la tensión y la corriente. En un circuito
inductivo δ es menor que β y se dice que el factor de potencia es atrasado.
Para circuitos capacitivos β es menor que δ, se dice que el factor de
potencia es adelantado.
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EJEMPLO 4
Se aplica la tensión v(t)=141.4cos(ωt) a una carga que consta de un
resistor de10Ω en paralelo con una reactancia inductiva XL=ωL=3.77Ω.
Calcule la potencia instantánea absorbida por el resistor y por el inductor:
Asimismo, calcule la potencia real y la reactiva absorbida por la carga, así
como el factor de potencia.
Dibujando el circuito y el diagrama
fasorial, tenemos:
La tensión de la carga es: V= (141.4/√2)<0°
V = 100<0°
La corriente en el resistor es:
IR = V/R = 100<0°/10 = 10<0° A.
La corriente en el inductor es:
IL = V/XL = 100<0°/j3.77 = 26.53<-90° A.
La corriente total de la carga es :
IT = IR +IL = 10 – j26.53 = 28.35<-69.34 A.
La representación fasorial es :
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Calculando la potencia real absorbida por la carga utilizando el ángulo de
desfase
Potencia Real o Activa
P = V I cos(δ - β) = (100)(28.35) cos(0 +69.34) = 1000 Watt
Potencia Irreal o Reactiva
P = V I sen(δ - β) = (100)(28.35) sen(0 +69.34) = 2653 Watt
Factor de Potencia = cos(0 +69.34) = 0.3528
COMENTARIOS : El factor de potencia es muy bajo
La Potencia reactiva es más del doble de la potencia activa.
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EJEMPLO 5
Una fuente monofásica de tensión con V=100<30ºvoltios entrega una
corriente I=10<10ºA, que sale del terminal positiva. Calcule las potencias
real y reactiva de la fuente y diga si está entrega o absorbe de cada una
de ellas.
Puesto que I sale de la terminal positiva de la fuente, se asume la
convención del generador, la potencia compleja entregada es:
S = V I* = (100<30°) (10<10°)* =1000<120° = -500 + j866 V.A.
Potencia Real = -500 Watt
Potencia Reactiva = 866 var.
El ejemplo es el caso de un motor síncrono. Cuando un motor síncrono
funciona con un factor de potencia adelantado, absorbe potencia real y
entrega potencia reactiva.
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6.Una fuente monofásica entrega 100Kw a una carga que opera con un
factor de potencia de 0.8 atrasado. Calcule la potencia reactiva que debe
entregar un capacitor conectado en paralelo con la carga para elevar el
factor de potencia de la fuente hasta 0.95 atrasado. Dibuje también el
triangulo de potencias para la fuente y la carga. Suponga que la tensión
de la fuente es constante y desprecie la impedancia de la línea entre la
fuente y la carga.
Para la carga, el ángulo del factor
de potencia , la potencia reactiva
absorbida y la potencia aparente es:
ØL = cos-1 (0.8) = 36.87°
QL = P tan(36.87°) = 75 kvar
SL = P/cos (36.87°) = 125 KVA
Después que se conecta el capacitor
el ángulo del factor de potencia, la
potencia reactiva absorbida y la
potencia aparente es :
Øs = cos-1 (0.95) = 18.19°
Qs = 100 tan(18.19°) = 32.87 kvar
Ss = 100/0.95 = 105.3 KVA El capacitor entrega 75-32.87 = 42.13 kvar.
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PRACTICA N° 02
1. Dados los números complejos A1 = 5 ∟45° A2 = -3 – j 4
(5p)
a) Convierta A1 a la forma rectangular.
b) Convierta A2 a la forma polar y a la exponencial
c) Calcule A3=(A1+A2), dando su respuesta en forma polar
d) Calcule A4= A1. A2, dando su respuesta en forma rectangular
e) Calcule A5= A1/( A2*), dando su respuesta en forma exponencial .
2. Convierta las siguientes corrientes instantáneas a fasores, usando
cos(wt) como la referencia. De sus respuestas tanto en forma
rectangular como polar .
a) i(t) = 400√2cos (wt-30°)
b) i(t) = 5 sin (wt+15)
c) i(t) = 400 cos (wt-30°) + 5 √2sin (wt+15).
3. La tensión instantánea aplicada a un elemento de circuito es v(t)=678.8
sin (wt-15°) voltios y la corriente instantánea que entra por la terminal
positiva del mismo es i(t)=200cos(wt-5)Amperios. Tanto para la corriente
como para la tensión, determine:
a) El valor máximo
b) El valor rms
c) La expresión fasorial, usando el cos (wt) como la referencia.
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4. Un circuito formado por una bobina y un generador, tiene una
frecuencia de 50 Hz y una intensidad máxima de 1 A. Si la potencia
instantánea máxima es de 1 W:
a)¿Cuánto vale la inductancia?
b)¿Cuánto vale la potencia media consumida?
[Respuesta: a) 6.37 mH; b) 0]
5. Una resistencia y un condensador se conectan en paralelo a un
generador de corriente alterna. El generador eléctrico suministra una fem
de pico de 300 V con una frecuencia de 50 Hz, el condensador tiene una
capacidad de 50 mF y la resistencia es de 100 Ohm. Calcular:
a) La impedancia equivalente del circuito.
b) La corriente instantánea que circula por cada elemento del circuito.
c) La corriente eficaz a través de la resistencia y el condensador.
[Respuesta: a) Z = 28.84 – j 45.29Ohm; b) ig(t)=5.59 cos (100πt+57.51º)
A,
iR= 3 cos(100πt) A, iC= 4.71 cos(100πt + 90º)]
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6. A un circuito serie RLC se le aplica una tensión V=50 cos (100 p t)
medida en voltios. Si R=100 W, L=1.26 H y C=2mF, calcular:
a) Impedancia equivalente.
b) El factor de potencia.
c) La potencia media consumida.
[Respuesta: a) Z = 100 - j 1195.7 Ohm; b) fp=0.083; c) P=0.086 W]
7. Se tiene un circuito RCL serie, formado por un generador eléctrico de
f.e.m. de pico 300 V y 50 Hz de frecuencia, un condensador de
capacidad 50 mF, una bobina de coeficiente de autoinducción 0,01 H y
una resistencia de 70 Ohm. Calcular:
a) La impedancia equivalente.
b) La intensidad de corriente instantánea que recorre el circuito.
c) Las caídas de potencial instantáneas en cada elemento.
[Respuesta: a) Z = 70 j 60.5 Ohm; b) i(t)=3.24 cos (100pt+40.84º) A;
c) vR(t)=226.94 cos (100πt+40.84º) V, vL(t)=10.18 cos (100πt + 130.84º)
V,
vC(t)=206.25 cos (100πt -49.16º) V ]
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8. Se aplica una tensión v(t)= 678.8 cos(wt+45°) volts a una carga que
consta de un resistor de 10 Ω en paralelo con reactancia capacitiva
Xc= 25Ω. Calcule:
a) La potencia instantánea absorbida por el resistor.
b) b) La potencia instantánea absorbida por el capacitor.
c) La potencia real absorbida por el resistor.
d) La potencia reactiva entregada por el capacitor.
e) El factor de potencia de la carga.
9. Sea una fuente de tensión v(t)=4cos(wt+60°) conectada a una
impedancia Z =2<30 Ω.
a) Dado quela frecuencia de operación es de 60 Hz, determine las
expresiones para la corriente y potencia instantánea entregada por la
fuente, como funciones de tiempo.
b) b) Para fines de comparación, trace la graficas de estas funciones
junto con la v(t).
c) Encuentre el valor promedio de la potencia instantánea.
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