Capacitores y capacitancia

Digitally signed by Adrian Dario
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Date: 2000.09.17 02:18:36 -03'00'
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Buenos Aires
ANALISIS DE CIRCUITOS ELECTRICOS
Capacitancia y capacitores
Supongamos tener dos láminas conductoras, separadas una distancia "d", como lo indica la fig. 1.
Si entre dichas láminas aplicamos una diferencia de potencial proveniente de una batería, sobre cada una de
las placas aparecerá cierta carga eléctrica.
Se define a la capacitancia como la relación entre la carga eléctrica aparecida sobre las placas y el potencial
aplicado. Es decir:
Q
Ec.1 C =
V
La unidad de la capacitancia en el Sistema internacional o MKS es el Farad o Faradio.
[C ] = Coulomb/ Volt = F
por ser un valor muy grande para los fines prácticos, se usan sus submúltiplos, "microfarad, nanofarad y
picofarad".
1µ F =10-6 F
1nF =10-9 F
1pF =10-12 F
Conceptualmente la capacitancia, mide la aptitud que posee un cuerpo metálico para almacenar carga eléctrica.
2
De la ec.1, surge que Q = C . V , es evidente que a mayor capacitancia, será también mayor la carga almacenada, para un mismo valor de V.
El componente circuital capaz de almacenar carga eléctrica es el capacitor. Puede entenderse al capacitor
como un tanque que en vez de almacenar agua, almacena carga eléctrica. cuanto mayor sea la capacidad del
tanque, mayor cantidad de agua podrá guardarse en él; cuanto mayor sea la capacitancia del capacitor, mayor
será la cantidad de carga eléctrica que podrá almacenar. El símbolo de un capacitor es:
C
Capacitores y dieléctricos
Supongamos el sig. experimento: Poseemos dos capacitores idénticos en lo que respecta a sus dimensiones
físicas. Uno de ellos con sus placas separadas por "aire " y el otro con un material aislante entre sus placas.
Dicho aislante se denomina dieléctrico. Conectemos en paralelo los dos capacitores con una fuente de tensión continua, de manera que el potencial de ambos capacitores sea el mismo.
Separamos luego los capacitores y medimos por separado la carga eléctrica acumulada en cada uno de ellos.
Se observará que el capacitor con dielectrico ha adquirido mayor carga que el que no lo tiene. Esto significa
que la capacitancia del capacitor con dieléctrico es mayor que la del otro que no lo tienen. Este interesante
fenómeno fue observado por Michael Faraday en 1837.
La relación entre capacitancia del capacitor con dieléctrico y sin él es un valor inherente al material aislante
en cuestión y recibe el nombre de constante dieléctrica o permitividad relativa del material. Simbólicamente podemos escribir:
C2
= εr
C1
Algunos de los valores de la permitividad relativa son:
Material
Cte. dieléctrica
Vacío
Aire
Agua
Papel
Mica
Vidrio Pirex
Polietileno
Poliestireno
Aceite piranol
Bióxido de titanio
1.000000
1.00054
7.8
3.5
5.4
4.5
2.3
2.6
4.5
100
2
3
La utilización de dieléctrico es de gran importancia práctica, ya que a igual tamaño aumenta la capacitancia,
es decir que permite reducir el volumen de los capacitores.
Capacitor plano
Un ejemplo de capacitor es el dibujado en la fig.1.
Por ser sus placas planas y paralelas se lo denomina capacitor plano. Es el más sencillo de los capacitores, ya
que éstos pueden tener diversas formas, cilíndrica, esférica, etc.
+q
+
+
de la pla
+ Area
+
E
d
- -q -
-
-
Las flechitas dentro del capacitor indican las líneas de campo eléctrico, que en este caso simple coinciden en
dirección y sentido con el vector campo eléctrico.
Para poder calcular la capacitancia de un capacitor, en este caso el plano, debemos recurrir a la "LEY DE
GAUSS", que es una de las cuatro ecuaciones fundamentales del Electromagnetismo.
Para entender la ley de Gauss, es necesario previamente tener claro el concepto de "flujo del campo eléctrico
a través de una superficie".
Supongamos una superficie ficticia en una región del espacio donde existe un campo eléctrico. Encontremos
la componente del campo normal a esa superficie. El producto de esa componente normal del campo, multiplicada por el área de esa superficie, es lo que se llama flujo del campo eléctrico a través de la superficie
"S".
Componente normal ( En )
Vector superfici
Componente tangenc
Superficie
La expresión matemática será:
Φ = En . S
3
4
Cabe destacar que el flujo es una magnitud característica de cualquier campo vectorial, como veremos más
adelante cuando estudiemos el campo magnético.
Ley de Gauss.
Supongamos ahora una superficie cerrada que guarda en su interior una carga eléctrica. Si a esa superficie la
dividimos en pequeñitas porciones "∆
∆S" y calculamos el flujo del campo eléctrico a través de cada elemento
de superficie y luego los sumamos, resulta que esa suma de flujo es proporcional a la carga encerrada por
esa superficie.
∆Φj = Enj . ∆Sj es el elemento de flujo del campo eléctrico a través de una superficie elemental. El flujo
total será:
Φ =
∑
n
j =1
∆Φj = ∑ j =1 Enj . ∆Sj
n
En realidad tendremos mayor precisión en el cálculo cuanto más pequeño sea ∆Sj, en el límite cuando ∆Sj
tiende a cero, es decir: ∆Sj → 0 , tendremos infinitos elementos de área y estaremos contemplando toda la
superficie. De manera tal que la ley de Gauss, la podemos escribir simbólicamente del sig. modo:
ΦE = ∑ j=1 Enj . ∆Sj =
∞
Q
Donde la sumatoria es a través de toda la superficie cerrada.
ε0
En palabras y resumiendo podemos decir que el flujo del campo eléctrico a través de una superficie cerrada,
es proporcional a la carga eléctrica que hay en su interior. La constante de proporcionalidad vale: k = 1/εε0,
donde ε0 es la cte. dieléctrica del vacío o permitividad absoluta del vacío, siendo su valor:
ε0 = 8.85 10-12F/m.
Cálculo de la capacitancia del capacitor plano..
Veamos nuevamente la fig. que representa al capacitor plano
Superficie gaussiana
Carga +
Superficie Gaus
S1
S2
S4
E
S3
Carga -
La superficie gaussiana (cerrada) está constituida por los elementos de área o áreas parciales S1, S2, S3 y S4.
Por lo tanto, la aplicación de la ley de Gauss deberá hacerse del sig. modo:
ΦE = En1. S1+ En2. S2+ En3.S3+En4. S4
Sin embargo observemos que el único campo es el que está presente entre placas del capacitor, y además que
dicho campo es normal a la superficie S3. Por lo que queda, en la expresión anterior:
4
5
En1=En2=En4=0. En consecuencia laley de Gauss queda: ΦE = E . S3 = q / ε0 .
Pero según la fig., el área S3, no es otra cosa que el área de las placas del capacitor, de manera que:
E . A = q/εε0.
En otro orden de cosas, al ver la introducción al curso, hemos definido la diferencia de potencial del sig.
modo:
VAB = WAB/ q, como WAB es el trabajo realizado por el agente externo, puede expresarse como:
WAB= F.d, donde d es la distancia entre placas del capacitor, de donde puede escribirse:
WAB =
F. d
q
Pero según la definición de campo eléctrico E = F/ q, que reemplazado en la ecuación del potencial da:
VAB = E . d, es decir que la d.d.p. entre las placas del capacitor, es igual al producto del campo eléctrico por
la distancia que separa ambas placas. Recordando que C = q / V, podemos de la expresión "A", despejar el
valor de q, es decir: q= ε0.Ε.Α y despejando E de la ec."B", queda: E = VAB / d la cual reemplazada en la
ec. de la capacitancia, resulta:
q = ε0
V AB . A
ε 0 .V AB . A
;C =
d
V AB . d
Finalmente queda: C = ε 0. A , Válida para capacitores planos con dieléctrico de aire.. Si el dieléctrico fuera
d
de un material de permitividad relativa εr, la capacitancia será:
ε 0 . εr . A
En la última fórmula se destaca que la capacitancia depende del material, de la geometría del
d
capacitor (forma) y de ninguna otra cosa Para otras formas geométricas tendremos otras expresiones, pero
todas ellas del tipo:
C=
C = ε 0 . εr . f ( dimensiones )
Clasificación de los capacitores
Los podemos clasificar en virtud de la forma (geometría) en planos, cilíndricos, esféricos y fundamentalmente por el dieléctrico empleado. Desde este punto de vista podemos hablar de capacitores de cerámica,
mica, papel, poliester, polietileno, poliestireno, electrolíticos, de tantalio, etc.
Conexión de capacitores
5
6
Como todo elemento de circuito podrá conectarse en serie o en paralelo.
a) Conexión en serie
La idea consiste en encontrar una capacitancia equivalente de manera que ante la aplicación de una misma
tensión, el circuito original y su equivalente presenten la misma carga eléctrica almacenada.
La fuente de tensión pondrá en la placa del capacitor C1, una carga q. Sin embargo esa carga no podrá pasar
a la otra placa del capacitor C1 , ya que no existe unión eléctrica o conductora alguna, de manera que la
carga sobre la placa enfrentada es inducida. Por lo tanto como inicialmente, es decir antes de conectar la
fuente, la carga neta encerrada dentro de las líneas punteadas, es nula, deberá serla también una vez conectada
la fuente, en virtud del principio de conservación de la carga eléctrica. Por lo tanto la carga en todas las placas
serán iguales en valor, de manera que en un agrupamiento serie, las cargas de todas las placas tienen el
mismo valor. Lo anterior permite escribir lo sig.
V1 = q/C1 ; V2 = q/C2 ; V3 = q/C3
Como en el circuito serie, la suma de todas las tensiones deberá ser igual a la de la fuente, quedará:
V = V1 + V 2 + V 3 =
q
q
q
+
+
C1 C 2 C 3
Si pretendemos encontrar una capacitancia equivalente, deberá cumplirse :V =
lando a la anterior, resulta:
q
, de manera que iguaCeqs
q
1
1
1
1
1
1
1
= q( +
)→
+
+
=
+
Ceqs
C1 C 2 C 3
Ceqs C1 C 2 C 3
1
Vemos que el agrupamiento en serie de capacitores presenta una
1
1
1
+
+
C1 C2 C3
capacitancia equivalente semejante a la resistencia de un agrupamiento en paralelo.
Finalizando queda:Ceqs =
aq
-q q
C1
-q
C2
q
-q
C3
V
b) Conexión paralelo
6
7
En este caso, la tensión aplicada es la misma para todos los capacitores
Q1
V
Q2
C1
C2
V
Ceq/
Deberá cumplirse:q = q1 + q 2 + q 3; q1 = C1 V 1, q 2 = C2 V 2, q 3 = C 3 V 3 Por lo tanto:
q = C1 V + C2 V + C3 V , porqueV1 = V 2 = V 3 = V Finalmente,
Ceq / / V = V ( C1 + C2 + C3 ) ⇒ Ceq / / = C1 + C2 + C3 Los capacitores en paralelo tienen una capacitancia
equivalente análoga a la resistencia equivalente de un arreglo en serie.
El capacitor como elemento que almacena energía.
Si poseemos dos cargas de signo opuesto, para separarlas habrá que realizar cierto trabajo que quedará almacenado en forma de energía potencial en el sistema y que será liberada o recuperada, si se deja que las
cargas se reúnan nuevamente.
De manera semejante, para "cargar" un capacitor hay que separar las cargas que se encuentran en las placas.
Para ello es necesario tomar energía de la fuente de alimentación del circuito. Ese trabajo realizado para
cargar al capacitor, quedará almacenado como energía potencial dentro de él.
Si el capacitor es descargado, se recupera la energía almacenada. Como en el capacitor se crea un campo
eléctrico, podemos afirmar que esa energía almacenada reside en el campo eléctrico
Intentemos determinar la expresión de la energía almacenada en función de la tensión aplicada y de la capacitancia. Analicemos para ello un gráfico de la carga almacenada en función de la tensión aplicada.
Q
Qmáx
qj
∆ Vj
Vmáx
V
Sabemos que la energía potencial la podemos escribir como:W = qV , de manera que un pequeño elemento
de energía lo podemos expresar como:∆
∆ Wj = qj . ∆ Vj , donde ∆Fj es el elemento de energía almacenada por
el capacitor, qj la carga eléctrica promedio correspondiente al elemento de tensión ∆Vj.
7
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En la fig., pude observarse que el elemento de energía no es otra cosa que el área rayada, de manera que
podremos obtener la energía total conociendo el valor del área total debajo de la recta que representa a la
n
carga en función de la tensión.W = ∑ qj . ∆Vj = Area q = f ( V )
j= 1
Como el área del triángulo es Area∆ =
base. altura
, de manera que podremos escribir:
2
1
W = Vf2.Qf ⇒ W = C. V 2 Resulta pues que la energía almacenada por el capacitor es proporcional a la
2
capacitancia y al cuadrado de la tensión
Carga y descarga de capacitores
Analicemos un circuito como el sig., en el cual en el instante previo al cierre de la llave, el capacitor se encuentra descargado totalmente. En el instante "to" se cierra la llave y, consecuentemente se establece una
corriente en el circuito que permite que el capacitor adquiera carga, elevando así la tensión sobre él.
LL
R
E
C
LL
R
En el instante t =0 se cie
i(t)
E
C
.
8
9
La resolución de este circuito, para hallar su comportamiento en función del tiempo, implica la solución de
una ecuación diferencial de primer orden. Como ello, para el nivel del presente curso es dificultoso por no
conocer aún la herramienta matemática de la integración, estableceremos la ecuación diferencial de malla,
postularemos una solución y verificaremos si dicha hipótesis es correcta.
q
Recorriendo la malla en el sentido de la corriente y, recordando que C = , resulta:
v
q( t )
E = i ( t ). R +
.La ecuación anterior es la ecuación diferencial de malla del circuito dibujado. Además
C
dq
sabemos que:
dq = i . dt ⇒ i =
, resulta la ecuación diferencial en términos de la carga eléctrica:
dt
q
dq
E=
R + . La solución de esta ecuación nos permite obtener la función "q(t)", es decir la carga eléctrica
dt
C
en función del tiempo. Postulemos una solución del sig. tipo:
q( t ) = CE( 1 − e − t / CR ) . Veamos si dicha solución verifica la ecuación del circuito.
dq d
1 − t / CR 

=
CE(1 − e − t / CR ) = CE(1 − e − t / CR ) = CE0 − ( −
)e
 . Operando resulta:
dt dt
CR


CE − t / CR
dq E − t / CR
⇒i=
= e
Reemplazando en la ec. diferencial del circuito, queda:
e
CR
dt R
ER − t / RC CE CE − t / CR
E=
e
+
−
e
Simplificando:
R
C
C
E = Ee − t / CR + E − Ee − t / CR = E , verificando, la solución propuesta a la ecuación diferencial del circuito.
Por lo tanto podemos afirmar que la intensidad de la corriente en función del tiempo para el circuito RC, es:
[
]
E − t / CR
q( t )
e
y la tensión sobre el capacitor, por su parte será:v ( t ) =
= E( 1 − e − t / RC ) .
R
C
El valor τ=CR,
recibe el nombre de constante de tiempo del circuito, valor de gran importancia en los cirτ=
cuitos de esta índole, y cuyo significado lo analizaremos a continuación.
Si por ejemplo en la ecuación de la tensión, reemplazamos para el tiempo t=ττ= CR, resultará lo sig.
vc ( t ) = E( 1 − e − CR / CR ) = E( 1 − e −1 ) = E( 1 − 0. 367) ≈ 0. 63E ,lo que permite afirmar que la constante de tiempo
representa el tiempo para el que ha transcurrido los dos tercios del transitorio, aproximadamente.
Veamos lo que resulta gráficamente :
i( t ) =
9
10
Transitorio de carga en un circuito R-C
10
9
8
7
6
vc(t)
5
vr(t)
4
3
2
1
0
t(ms)
La intensidad de corriente variará del siguiente modo:
Transitorio de carga en un circuito R -C
1
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
cte. de tiempo
i(t)
t(s)
Descarga de capacitores
Supongamos ahora tener un circuito R-C, pero con el capacitor cargado a cierto valor de tensión, al que
llamaremos Vo . Al cerrar la llave en el instante t=0, el capacitor comenzará a descargarse, según una expoq( t )
dq q( t )
nencial que será solución de la siguiente ecuación diferencial:0 = i ( t ). R +
⇒0=
+
C
dt
C
Proponemos entonces la solución siguiente, cuya verificación la dejamos como ejercicio para los alumnos:
10
11
q( t ) = C. E.e − t / CR mientras que la corriente, por ser la derivada de la carga,
dq
E
queda:i ( t ) =
= − e − t / CR ,donde el signo menos, indica que la corriente se establece en sentido contrario
dt
R
al caso anterior (corriente de descarga), ya que ahora el capacitor entrega su energía almacenada al resistor,
q
donde se convierte en calor. Por su parte, la tensión tendrá la siguiente expresión:v = = E.e − t / CR
C
,observándose en este caso que la tensión decae a medida que transcurre el tiempo, contrariamente a lo que
ocurría en el caso de la carga
Resumiendo, diremos que durante la carga, la tensión sobre el capacitor crece, mientras que la corriente
disminuye, mientras que en la descarga, tanto la tensión como la corriente disminuyen en valor absoluto al
transcurrir el tiempo.
En todos los casos, cuanto mayor sea τ=CR (cte. de tiempo),el transitorio se hace más lento, empleándose
más tiempo en la carga o descarga.
Transitorio de descarga en un circuito R-C
10
8
6
4
2
vc(t)
0
vr(t)
-2
-4
-6
-8
-10
t(s)
11
12
LL
R
C
Vo
LL
LL R
+
i(t)
C
Vo
El gráfico de la corriente es:
Transitorio de descarga en un circuito R -C
0
-0.2
-0.4
i(t)
-0.6
-0.8
-1
t(ms)
:
12