GUIA3. ECUACIONES DIFERENCIALES

UNIVERSIDAD FRANCISCO DE PAULA SANTANDER E.D HOMOGENEAS 1
FACULTAD DE CIENCIAS BASICAS
DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS Y ESTADISTICA
GUIA No. 3 DE CALCULO VECTORIAL
ECUACIONES DIFERENCIALES HOMOGÉNEAS.
FUNCIONES HOMOGENEAS.
Una función
f x1 , x2 ,... xn 
se dice que es homogénea de grado r,
R,
se
verifica
f x1 , x2 ,... xn   r f  x1 , x2 ,..., xn  .
si
para
todo
Por ejemplo: La función
f x, y   2 x 2  3 xy  4 y 2
que:
Evaluando:
f x, y   2x   3x y   4y 
2
2
 22 x 2  32 xy  42 y 2

 2 2 x 2  3xy  4 y 2
Luego la función

 2 f ( x, y )
f x, y   2 x 2  3 xy  4 y 2 , es una función
homogénea de grado 2.
Ejemplo:
Las
funciones
f  x, y   2 x 2  4 y 2  5
f  x, y   2 x 2  3 x  4 y 2
;
NO son funciones homogéneas. ¿ Por
qué?
Una manera rápida de identificar si una función es homogénea
consiste en analizar el grado de cada uno de los términos que forman
la función:
a) Si todos los términos tienen el mismo grado la función es
homogénea del grado que tengan los términos.
Esp. DANIEL SAENZ C
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E.D HOMOGENEAS 2
Ejemplo. Son funciones homogéneas
f x, y   2 x 2  4 y 2  xy
Todos los términos tienen grado 2.
f x, y   2 x 2 y  4 xy 2  x3
Todos los términos tienen grado
3.
2 x 3  4 xy 2
f  x, y  
2x2  y2
Todos los términos del numerador
tienen grado 3 y los del denominador tienen grado 2.
b) Si algún término tiene grado diferente, la función no es
homogénea.
NO son funciones homogéneas
f  x, y   2 x 2  4 y 2  y
demás grado 2.
El termino y tienen grado 1 y los
f x, y   2 x 2 y  4 xy 2  x 4
El termino x4 tienen grado 4 y
los demás grado 3.
2 x 3  4 xy 2
f  x, y  
2x2  y
Todos los términos del numerador
tienen grado 3 y los del denominador tienen grado diferente.
Una
ecuación
diferencial
M ( x, y)dx  N ( x, y)dy  0 se
cumple que M ( x, y) y N ( x, y )
de
la
forma
dice que es homogénea, si se
son funciones homogéneas del
mismo grado.
Esp. DANIEL SAENZ C
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E.D HOMOGENEAS 3
Ejemplo: son ecuaciones diferenciales homogéneas
x
2

y  3 y 3 dx  2 xy 2 dy  0
3x  2 x dx  2 x  y dy  0
x  y dx  xydy  0
2 xy  3 y dx  2 xy  x dy  0
2
2
2
2
NO son ecuaciones diferenciales homogéneas
x y  3 y dx  2 xydy  0
3x  2 x dx  2 x  y dy  0
x  y dx  xydy  0
2
3
2
2
2
2
M ( x, y)dx  N ( x, y)dy  0 ,es una ecuación
diferencial homogénea entonces la sustitución y  ux transforma la
Si la ecuación
ecuación en una ecuación den variables separables.
y  ux
Derivando,
se tiene,
la ecuación inicial se tiene:
Esp. DANIEL SAENZ C
dy  xdu  udx
, reemplazando en
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E.D HOMOGENEAS 4
M ( x, y )dx  N ( x, y )dy  0
M x, ux dx  N ( x, ux)( xdu  udx)  0
x r M (1, u )dx  x r N (1, u )( xdu  udx)  0
x r M (1, u )dx  N (1, u )( xdu  udx  0
M (1, u )dx  N (1, u )( xdu  udx)  0
M (1, u )dx  uN (1, u )dx  xN (1, u )du  0
M (1, u )  uN (1, u ) dx  xN (1, u )du  0
Esta última expresión corresponde a una ecuación diferencial de
separación de variables.
Por ejemplo. Encontrar la ecuación diferencial,
x
2

 3 y 2 dx  2 xydy  0
M ( x, y)  x 2  3 y 2


M x, y   x   3y   2 x 2  3 y 2  2 M x, y 
2
2
N ( x, y)  2 xy
y
N x, y   2x y   2 2 xy   2 N x, y 
son dos funciones homogéneas de grado dos. Luego haciendo el
cambio de
Esp. DANIEL SAENZ C
y  ux , se tiene : dy  udx  xdu
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E.D HOMOGENEAS 5
x
x

2
 3 y 2 dx  2 xydy  0
2
 3 u 2 x 2 dx  2 xux udx  xdu   0




x 2 1  3u 2 dx  2 x 2u udx  xdu   0
1  3u dx  2uudx  xdu   0
1  3u dx  2u dx  2uxdu  0
1  u dx  2uxdu  0
2uxdu  1  u dx
2
2
2
2
2
 2u
dx
du

1  u2
x
 2u
dx
du

 1  u2
x
Ln1  u 2  Ln x  C
1  u 2  Cx
y2
1  2  Cx
x
x 2  y 2  Cx 3
Esp. DANIEL SAENZ C
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Ejemplo. SOLUCIONAR LA ECUACION DIFERENCIAL.
2 x
De
2



 2 xy  y 2 dx  x 2  2 xy  y 2 dy  0
la
ecuación
diferencial
M ( x, y )  2 x  2 xy  y
tenemos
que:
y N ( x, y )  x  2 xy  y son
dos funciones homogéneas ya que todos sus términos tienen igual
2
2
2
y  ux
grado absoluto. Luego haciendo
2
tenemos:
2 x  2 x u  x u dx  x  2 x u  x u xdu  udx  0
2 x  2 x u  x u dx  x  2 x u  x u du  x u  2 x u
2 x  3x u  3x u  x u dx  x  2 x u  x u du  0
x 2  3u  3u  u dx  x 1  2u  u du  0
x 2  3u  3u  u dx   x 1  2u  u du
2
2
2 2
2
2
2 2
2
2
2 2
3
3
3 2
2
2
2 2
2
2
3
2
2
3
2 3
3
3
3
2
2 2
3 2
2
3
2
 x2
1  2u  u 2
dx 
du
3
2
3
x
2  3u  3u  u
 dx
1  2u  u 2
 x   2  3u  3u 2  u 3 du
W  2  3u  3u 2  u 3  dW  3  6u  3u 2  3 1  2u  u 2

Esp. DANIEL SAENZ C

 x 2u 3 dx  0

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E.D HOMOGENEAS 7
 dx 1 dW
 x  3 W
1
 Ln x  C  LnW
3
 3Ln x  Ln C  Ln 2  3u  3u 2  u 3
C
y
y 2 y3
Ln 3  Ln 2  3  3 2  3
x
x
x x
C
y
y 2 y3
 23 3 2  3
x3
x
x x
C 2 x 3  3x 2 y  3xy 2  y 3

3
x
x3
C  2 x 3  3x 2 y  3xy 2  y 3
ENCONTRAR LA SOLUCION DE LAS SIGUIENTES ECUACIONES
DIFERENCIALES
x  y dx  x  4 y dy  0
1)
xdy  ydx  x2  y 2 dx
3)
x
4)
3x  2 x dx  2 x  y dy  0
5)
x  y dx  xdy  0
6)
2 xy  3 y dx  2 xy  x dy  0
2
2)

 3 y 2 dx  2 xydy  0
2
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