1.9 Sustituciones diversas En ocasiones tenemos ecuaciones

1.9 Sustituciones diversas
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1.9 Sustituciones diversas
En ocasiones tenemos ecuaciones diferenciales que no corresponden a ninguna forma de
ecuación conocida, donde, para resolverlas fácilmente recurrimos a una sustitución para
adecuarla a una forma conocida. Es decir, se transforma una ecuación dada en otra ecuación
diferencial mediante una sustitución.
Definición 1.9.1 Ecuación Homogénea
Cuando una ecuación f tiene la propiedad f (tx, ty ) = t α ( x, y )
(1)
Para cualquier número real α , se dice que f es una función homogénea de grado α ,
donde este concepto de homogeneidad es diferente, al mencionado con anterioridad. [13]
Ejemplo 1.9.1 Siendo f ( x, y ) = x 2 − y 2 obtener f (tx, ty )
Es una ecuación homogénea de grado 2 , ya que al sustituir x y y por tx , y ty tenemos
f (tx, ty ) = (tx) 2 − ( ty )
2
(2)
Desarrollando
f (tx, ty ) = t 2 x 2 − t 2 y 2
(3)
Factorizando f (tx, ty ) = t 2 ( x 2 − y 2 ) quedando de la forma (1)
Ejemplo 1.9.2 Siendo f ( x, y ) = x 2 − y 2 + 5 obtener f (tx, ty )
Sustituyendo x y y por tx , y ty obtenemos
f (tx, ty ) = (tx) 2 − ( ty ) + 5
2
(4)
Desarrollando el lado derecho del igual de (4), f (tx, ty ) = t 2 x 2 − t 2 y 2 + 5
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Factorizando t 2 , f (tx, ty ) = t 2 ( x 2 − y 2 ) + 5 , donde podemos observar que no se cumple la
propiedad de (1), f (tx, ty ) = t α ( x, y )
Definición 1.9.2 Ecuación Diferencial Homogénea
Una ecuación diferencial de primer orden
M ( x, y )dx + N ( x, y )dy = 0
(5)
Es homogénea si los coeficientes M y N a su vez son homogéneos y del mismo grado.
En otras palabras sí
•
M (tx, ty ) = t α M ( x, y )
(6)
•
N (tx, ty ) = t α N ( x, y )
(7)
Además de ser homogéneas son de grado α , también es posible utilizar una sustitución de
•
y = ux
(8)
•
x = vy
(9)
Donde sus derivada serían dy = udx + xdu y dx = vdy + ydv respectivamente, u y v son
nuevas variables dependientes, de tal manera que podamos reducir una ecuación
homogénea a una ecuación separable de primer orden.
Ejemplo 1.9.3 Resolver la siguiente ecuación ( x 2 + y 2 )dx + ( x 2 − xy )dy = 0
Identificamos M = x 2 + y 2 y N = x 2 − xy
Sustituyendo x por tx y y por ty , tenemos que
•
M = (tx) 2 + (ty ) 2
(10)
•
N = (tx) 2 − ( tx )( ty )
(11)
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Factorizando t 2 de (10) y (11), resulta M = t 2 ( x 2 + y 2 ) y N = t 2 ( x 2 − xy ) como en (1)
Observamos que ambas funciones son homogéneas, por lo que es una ecuación diferencial
homogénea como (5).
Podemos utilizar una sustitución tal como (8), y = ux donde dy = udx + xdu , y 2 = u 2 x 2
Sustituyendo en la ecuación diferencial, ( x 2 + u 2 x 2 )dx + ( x 2 − xux)(udx + xdu ) = 0
Desarrollando, x 2 dx + u 2 x 2 dx + x 2 udx − x 2 u 2 dx + x3 du − x3 udu = 0
Simplificando x 2 dx + x 2 udx + x3 du − x 3 udu = 0 , factorizando x 2 (1 + u )dx + x 3 (1 − u )du = 0
Despejando
1
1− u 
dx = 
 du , realizando la división del cociente del lado derecho del
x
1+ u 
igual
1
2
dx = 1 −
du
1+ u
x
(12)
Integrando (12), ln ( x ) = u − 2ln(1 + u ) + ln ( c )
O bien ln ( x ) − u + 2ln(1 + u ) = ln ( c )
Sustituyendo restituyendo (8), u =
−
y
, nos queda
x
y
y
+ 2ln(1 + ) + ln ( x ) = ln ( c )
x
x
Despejando
y
x
O bien e =
(13)
( x + y)2 
 x + y  2 x 
y
y
= ln 
,
simplificando
=
ln


 
x
x
 cx

 x  c 
( x + y)
2
cx
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Reacomodando obtenemos como resultado
( x + y)
2
y
= cxe x
¿La incógnita sería cual sustitución se realizaría?, y la respuesta sería observando a M y
N , tomamos la que sea mas simple.
Ejemplo 1.9.4 Resolver la siguiente ecuación ( x − y )dx + xdy = 0
Observamos que N es más simple, entonces usamos
y = ux
(14)
Por lo que dy = udx + xdu
Sustituyendo en la ecuación ( x − ux)dx + x(udx + xdu ) = 0
Desarrollando xdx − uxdx + uxdx + x 2 du = 0 , simplificando
xdx + x 2 du = 0
(15)
Separando variables de (15), xdx = − x 2 du , y reacomodando los términos tenemos que
1
dx = −du
x
(16)
Integrando ambos lados del igual de (16), resulta ln ( x ) = −u + c , aplicando el antilogaritmo
e
ln ( x )
= e−u +c
y
− +c
y
Restituyendo el valor de (14), u = , nos quedaría x = e x , o bien reacomodando
x
La solución sería x =
c
e
y
x
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Ejemplo 1.9.5 Resolviendo un problema de valor inicial xy 2
dy
= y 3 − x 3 para y (1) = 2
dx
Acomodando la ecuación para observar los coeficientes de los diferenciales
xy 2 dy = ( y 3 − x 3 ) dx , nos quedaría
(y
3
− x 3 ) dx − xy 2 dy = 0
De (17), identificamos M = y 3 − x 3
(17)
y N = xy 2
Donde podemos utilizar N como referencia, entonces hacemos una sustitución tal como
(9), x = vy , por lo que
x3 = v3 y 3
(18)
dx = vdy + ydv
(19)
Sustituyendo (18) y (19) en la ecuación diferencial tenemos
(y
3
− v 3 y 3 ) (vdy + ydv) − vyy 2 dy = 0
(20)
Desarrollando las operaciones
y 3 vdy − v 3 y 3 vdy + y 3 ydv − v3 y 3 ydv − vyy 2 dy = 0
(21)
y 3 vdy − v 4 y 3 dy + y 4 dv − v3 y 4 dv − vy 3 dy = 0 , simplificando − v 4 y 3 dy + y 4 dv − v3 y 4 dv = 0
Reacomodando − v 4 y 3 dy = y 4 ( v3 − 1) dv , dividiendo entre − v 4 y 4 ambos lados del igual
Separando variables
dy (1 − v 3 )
dv , reacomodando
=
y
v4
dy  −4 1 
=  v −  dv
y 
v
Expresando la integral de ambos lados
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(22)
∫
dy
dv
= ∫ v −4 dv − ∫
y
v
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1
1
Integrando obtenemos ln ( y ) = − v −3 − ln ( v ) + ln ( c ) , o bien ln ( vy ) + v −3 = ( c )
3
3
Restituyendo el valor x = vy o bien v =
1
x
de (9), tenemos ln ( vy ) + 3 = c , resultando
y
3v
1 y3
ln ( x ) +
=c
3 x3
(23)
Multiplicando por 3x 3 obtenemos 3 x 3ln ( x ) + y 3 = 3 x 3c
1  23 
Sustituyendo condiciones iniciales x = 1 y = 2 en (23), tenemos ln(1) +  3  = c
3 1 
1 y3 8
8
Por lo que c = , de tal manera que la solución sería ln ( x ) +
=
3
3 x3 3
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