el tensor de deformación

Elasticidad y resistencia de materiales. Curso 2008/2009
CAPÍTULO 3: EL TENSOR DE DEFORMACIÓN
CAPÍTULO
CAPÍTULO3:
3:
EL
ELTENSOR
TENSORDE
DEDEFORMACIÓN
DEFORMACIÓN
1. Concepto de desplazamiento y deformación.
2. Deformación en el entorno de un punto.
3. Significado físico del tensor deformación y de la matriz de giro.
4. El vector deformación. Componentes intrínsecas.
5. Correlación entre el tensor de tensiones y el tensor de deformaciones.
6. Tensor esférico y tensor desviador.
7. Ecuaciones de compatibilidad.
8. Obtención del vector desplazamiento a partir del tensor de deformación
9. Tensión plana
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CAPÍTULO 3: EL TENSOR DE DEFORMACIÓN
CAPÍTULO
CAPÍTULO3:
3:
EL
ELTENSOR
TENSORDE
DEDEFORMACIÓN
DEFORMACIÓN
1. Concepto de desplazamiento y deformación.
2. Deformación en el entorno de un punto.
3. Significado físico del tensor deformación y de la matriz de giro.
4. El vector deformación. Componentes intrínsecas.
5. Correlación entre el tensor de tensiones y el tensor de deformaciones.
6. Tensor esférico y tensor desviador.
7. Ecuaciones de compatibilidad.
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CAPÍTULO 3: EL TENSOR DE DEFORMACIÓN
Desplazamientos en el entorno de un punto: Deformación
Ya es sabido que los puntos de un sólido sometidos a unas
solicitaciones sufren una variación de posición en el espacio.
Q’
2D
El vector que una las posiciones inicial y final de un punto es
el vector desplazamiento.
Sus componentes son los desplazamientos o recorridos.
r
δ p = u , v, w
Q(x+dx,y+dy,z+dz)
δ + dδ
dδ
δ
dr '
La deformación puede ser de dos tipos:
LINEAL que representa el alargamiento lineal
unitario y
dr
ANGULAR que representa la variación angular.  dx 
 
 dy  = dr
 dz 
 
La deformación lineal es propiedad del punto y de la dirección
respecto de la que se está calculando el alargamiento.
La deformación angular es propiedad del punto y de las dos
direcciones que forman el ángulo considerado.
δ
P’
P(x,y,z)
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CAPÍTULO 3: EL TENSOR DE DEFORMACIÓN
Desplazamientos en el entorno de un punto: Deformación
P(x,y,z)
P’(x+u,y+v,z+w)
w
v
3D
Q(x+dx,y+dy,z+dz)
δ + dδ
u
 dx 
 
dr =  dy 
 dz 
 
dr
Q’
w+dw
v+dv
dr'
u+du
P’
δ
w
P(x,y,z)
v
Si dos puntos P y Q de un sólido elástico
están infinitamente próximos los
desplazamientos de ambos serán similares.
u
Luego pueden desarrollarse en serie de
Taylor las componentes del vector
desplazamiento del punto Q en torno a P.
(esto es similar a lo que se hizo con el
tensor de tensiones)
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CAPÍTULO 3: EL TENSOR DE DEFORMACIÓN
Desplazamientos en el entorno de un punto: Deformación
3D
Q
P(x,y,z)
P’(x+u,y+v,z+w)
w Q’
Los vectores
der P y rQ son:r
r
r desplazamiento
r
δ p = u p i + v p j + w p k ; δ Q = uQ i + vQ j + wQ k
Por tanto, el desplazamiento de Q será:
v
u
Que puede representarse matricialmente así:
donde esta matriz puede
notarse como M:
que, por ser una matriz cuadrada,
puede descomponerse en una matriz
simétrica y otra antisimétrica:
El primer sumando es el
tensor de deformaciones y
el segundo la matriz de
giro
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CAPÍTULO 3: EL TENSOR DE DEFORMACIÓN
TENSOR DE DEFORMACION
Análogamente se define la
matriz de giro, cuya
diagonal es cero
y
Significado físico del TENSOR DE DEFORMACION y
de la MATRIZ DE GIRO
dx
dy
x
secuencia de deformación de
un cuadrilátero elemental
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CAPÍTULO 3: EL TENSOR DE DEFORMACIÓN
significado físico
y
La secuencia anterior puede analizarse
descomponiéndola en tres fases:
1.- Desplazamiento según OX de todo el sólido (+deformación)
dx
2.- Desplazamiento según OY de todo el sólido (+deformación)
dy
3.- Giro
y
x
A
C
DESPLAZAMIENTO SEGÚN OX:
Si el desplazamiento de A y B es u, el de
C y D puede obtenerse desarrollando en
serie en torno al origen, y considerando
sólo la variación según X
B
D
x
Recordando la definición de
∆l
deformación lineal:
ε=
l
u
u+
∂u
dx
∂x
En la dirección del eje OX la deformación que se obtiene es:
δu
u + dx − u
∆(dx )
δu
δx
=
=
que es el término εxx del tensor de deformaciones.
dx
dx
δx
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significado físico
y
DESPLAZAMIENTO SEGÚN OY:
dx
Si el desplazamiento de B y D es v, el de
A y C puede obtenerse desarrollando en
serie en torno al origen, y considerando
sólo la variación según Y.
dy
x
y
v+
Recordando la definición de
∆l
deformación lineal:
ε=
∂v
dy
∂y
(lo mismo que en el caso anterior)
A
C
v
l
B
D
x
En la dirección del eje OY la deformación que se obtiene es:
∆(dy )
=
dy
v+
δv
dy − v
δy
dy
=
δv
δy que es el término εyy del tensor de deformaciones.
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significado físico
y
y
dx
dy
x
v+
∂v
∂u
(dx + dx ) =
∂x
∂x
D
A
C
v
∂v  ∂u 
= v + 1 + dx =
∂x  ∂x 
∂v
= v + dx
∂x
B
x
u
desp.
u+
GIRO:
Aquí se puede apreciar la variación del ángulo; de modo
que el ángulo inicial BAC de 90º se transforma a 90º+α-β
∂u 
∂v 
∂u  ∂v 
 dy + dy  = u + 1 + dy =
∂y 
∂y 
∂y  ∂y 
=u+
∂u
dy
∂y
desp.
(ahora ya no hay cambio de tamaño)
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significado físico
y
y
dx
dy
β
x
D
B
v+
∂v
dx
∂x
α
v
Puede apreciarse que α=δv//δx; como entre A y
B hay una variación de la coordenada x, si se
desarrolla en serie el desplazamiento en torno
al punto A, para hallar el desplazamiento de C
sólo influirá la variación con el eje x.
El desplazamiento, según el eje y, de C será
v+δv//δx, pues v es el desplazamiento de A, por
tanto:
tan α =
v+
δv
dx − v
δv
δx
=
≅α
dx
δx
A
C
x
u
u+
∂u
dy
∂y
el mismo razonamiento sirve
pata determinar que β=δu//δy
esto es así porque, como las deformaciones son
pequeñas, los ángulos serán pequeños, con lo que la
tangente se asimila al ángulo.
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De modo que la variación del ángulo de deformación es
α+β=δv//δx+δu//δy = γ
expresión que es el doble del término εxy o εyx (recuérdese que en el tensor de deformación
se ha definido la deformación tangencial εxy como la mitad del ángulo girado en la
deformación del sólido), de modo que se verifica esta identidad.
Por este motivo, en ocasiones el tensor de deformación se escribe así:  ε
 x
SIGNIFICADO FISICO DE LAS
COMPONENTES DE LA MATRIZ DE GIRO
1
 γ xy
2
1 γ
 2 xz
y
Para determinar el giro de una sección se
considerará el giro de la bisectriz del ángulo que,
antes de la deformación, era de 45º con la
horizontal.
La bisectriz, debido al efecto del ángulo α, girará
α/2, y debido a β, girará β/2, con lo que el giro total
de la sección será de ½—(δu/δy-δv/δx), expresión
que coincide con el término hyx de la matriz de giro.
Por tanto las componentes de la MATRIZ DE GIRO
representan el giro del prisma elemental en cada
plano coordenado. Este hecho justifica su
denominación.
 hxx
[H ] = hyx
 hzx

hxy
hyy
hzy
hxz 

hyz 
hzz 
β
ω
δ
1
γ xy
2
εy
1
γ yz
2
1 
γ xz
2 
1 
γ yz 
2 
ε z 

α+δ−ω= π 4
β+δ+ω= π 4
π/4
δ
π/4
α
x
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CAPÍTULO 3: EL TENSOR DE DEFORMACIÓN
CAPÍTULO
CAPÍTULO3:
3:
EL
ELTENSOR
TENSORDE
DEDEFORMACIÓN
DEFORMACIÓN
1. Concepto de desplazamiento y deformación.
2. Deformación en el entorno de un punto.
3. Significado físico del tensor deformación y de la matriz de giro.
4. El vector deformación. Componentes intrínsecas.
5. Correlación entre el tensor de tensiones y el tensor de deformaciones.
6. Tensor esférico y tensor desviador.
7. Ecuaciones de compatibilidad.
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CAPÍTULO 3: EL TENSOR DE DEFORMACIÓN
Del mismo modo que se definió un vector tensión puede definirse un
vector deformación, asociado a un punto y a una dirección.
SIGNIFICADO FISICO.
COMPONENTES INTRINSECAS
Este vector deformación puede obtenerse a partir del tensor de
deformación, asociado a un punto, y de la normal al plano a partir de
esta expresión:
Recordando la relación entre el
desplazamiento relativo de dos puntos
infinitamente cercanos con el tensor de
deformación y la matriz de giro,
ε = [ε ]⋅ n
r
r r
Q’
ξ
1
γ dr
2
el segundo término término, que consituye
la matriz de giro, representa el giro como
sólido rígido de un punto respecto a otro y
el término que depende de la deformación
será:
r r r
dδ = [ε ]⋅ dr
dδ
dδ
donde dr es el vector de posición.
Q
dr'
dr'
r
1 + ε n dr
dr
dr
Esa variación puede descomponerse en
una variación de longitud (componente
normal) y en una variación angular
(componente angular).
r r
δ
P’
P
Dividiendo por el módulo del vector de
posición se obtiene la expresión inicial del
vector deformación. De modo que el
vector deformación expresa la variación
de una dirección en el proceso de
deformación.
ε n = ε ⋅ n → normal
1
2
εt = ⋅γ =
(εr )2 − ε n2 → angular
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CAPÍTULO 3: EL TENSOR DE DEFORMACIÓN
CAPÍTULO
CAPÍTULO3:
3:
EL
ELTENSOR
TENSORDE
DEDEFORMACIÓN
DEFORMACIÓN
1. Concepto de desplazamiento y deformación.
2. Deformación en el entorno de un punto.
3. Significado físico del tensor deformación y de la matriz de giro.
4. El vector deformación. Componentes intrínsecas.
5. Correlación entre el tensor de tensiones y el tensor de deformaciones.
6. Tensor esférico y tensor desviador.
7. Ecuaciones de compatibilidad.
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•Tensor simétrico
•Componentes intrínsecas
•Tensor simétrico
•Componentes intrínsecas
σn , τ
εn , 21 γ
•Tensiones y direcciones principales
σI, σII, σIII
ηI, ηII, ηIII
2
2
x
y
z
+
+
=1
σI2 σII2 σIII2
N
Ó
I
S
TEN
•Circulos de Möhr
•Invariantes
I 2 = σI σII + σI σIII + σII σIII =
= σ x σ y + σ x σz + σ y σz − τ2xy − τ2xz − τ2yz
I3 = det(σ)
%
•Tensiones octaédricas
σ
= I1 3
τoct =
I − 32 I2
2 2
9 1
•Tensor esférico y desviador
σ =σ I
σ% D = σ −% σoct I
%
%
%
O
oct
•Tensión plana
•Elipsoide de Lamé
x 2 y2 z2
+
+
=1
εI2 εII2 εIII2
•Circulos de Möhr
•Invariantes
I1 = σ x + σ y + σz = σI + σII + σIII
oct
•Deformaciones y direcciones principales
εI, εII, εIII
η,I , η,II, η,III
•Elipsoide de Lamé
2
CAPÍTULO 3: EL TENSOR DE DEFORMACIÓN
DEF
N
Ó
I
C
A
M
OR
J1 = ε x + ε y + ε z = εI + εII + εIII
J2 = εIεII + εIεIII + εIIεIII =
= ε x ε y + ε x ε z + ε y ε z − ε2xy − ε 2xz − ε2yz
J3 = det(ε)
%
•Deformaciones octaédricas
εoct = J1 3
1
2
τoct =
2
9
J12 − 32 J2
•Tensor esférico y desviador
εO = ε oct I
ε% D = ε −% εoct I
%
%
%
•Deformación plana
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CAPÍTULO 3: EL TENSOR DE DEFORMACIÓN
CAPÍTULO
CAPÍTULO3:
3:
EL
ELTENSOR
TENSORDE
DEDEFORMACIÓN
DEFORMACIÓN
1. Concepto de desplazamiento y deformación.
2. Deformación en el entorno de un punto.
3. Significado físico del tensor deformación y de la matriz de giro.
4. El vector deformación. Componentes intrínsecas.
5. Correlación entre el tensor de tensiones y el tensor de deformaciones.
6. Tensor esférico y tensor desviador.
7. Ecuaciones de compatibilidad.
8. Obtención del vector desplazamiento a partir del tensor de deformación
9. Tensión plana
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CAPÍTULO 3: EL TENSOR DE DEFORMACIÓN
CAPÍTULO
CAPÍTULO3:
3:
EL
ELTENSOR
TENSORDE
DEDEFORMACIÓN
DEFORMACIÓN
1. Concepto de desplazamiento y deformación.
2. Deformación en el entorno de un punto.
3. Significado físico del tensor deformación y de la matriz de giro.
4. El vector deformación. Componentes intrínsecas.
5. Correlación entre el tensor de tensiones y el tensor de deformaciones.
6. Tensor esférico y tensor desviador.
7. Ecuaciones de compatibilidad.
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Un invariante de un
tensor es un valor del
mismo que permanece
inalterable si cambia el
sistema de referencia.
z
CAPÍTULO 3: EL TENSOR DE DEFORMACIÓN
El alargamiento que sufren las tres
direcciones en el espacio será:
Supóngase que el
prisma de la figura se ha
deformado alargándose
o acortándose en cada
dirección del espacio.
∆(dx) = ε x ⋅ dx ; ∆(dy) = ε y ⋅ dy ; ∆(dz) = ε z ⋅ dz
Consecuentemente, el incremento de
volumen del sólido será:
∆V = V final − Vinicial = (...) =
Incremento unitario de volumen
= (ε x + ε y + ε z + ε x ⋅ ε y + ε x ⋅ ε z +
+ ε y ⋅ ε z + ε x ⋅ ε y ⋅ ε x )dx ⋅ dy ⋅ dz
Pero los dobles y triples productos de
infinitésimos son despreciables, por lo que
la expresión queda reducida a:
dz (1 + εz )
∆V = (ε x + ε y + ε z )dx ⋅ dy ⋅ dz
dz
dy
y
dx
dx (1 + ε x )
x
dy (1 + ε y )
En el caso de que el incremento de volumen
fuese unitario el producto dx—dy—dz=1, por lo que
su valor sería igual al primer invariante del tensor
de deformaciones.
Por otra parte se ha enunciado que el tensor esférico dependía
únicamente del primer invariante; y se acaba de ver que el primer
invariante del tensor de deformaciones representa un cambio
unitario de volumen, luego se demuestra que el tensor esférico se
relaciona, únicamente, con un cambio de volumen del sólido.
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CAPÍTULO 3: EL TENSOR DE DEFORMACIÓN
CAPÍTULO
CAPÍTULO3:
3:
EL
ELTENSOR
TENSORDE
DEDEFORMACIÓN
DEFORMACIÓN
1. Concepto de desplazamiento y deformación.
2. Deformación en el entorno de un punto.
3. Significado físico del tensor deformación y de la matriz de giro.
4. El vector deformación. Componentes intrínsecas.
5. Correlación entre el tensor de tensiones y el tensor de deformaciones.
6. Tensor esférico y tensor desviador.
7. Ecuaciones de compatibilidad.
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Hasta ahora se ha demostrado la
existencia de un tensor de
deformaciones que, a partir del campo
de desplazamientos, permite conocer
un campo de deformaciones mediante
la aplicación de las expresiones del
mismo (a la derecha del todo)

 εx
1
 γ xy
2
1 γ
 2 xz
CAPÍTULO 3: EL TENSOR DE DEFORMACIÓN
1
γ xy
2
εy
1
γ yz
2
Por tanto, el conocimiento de un campo de
desplazamientos que en cada punto tome un sólo valor
y continuo conduce a la determinación de un campo de
deformaciones, mediante la aplicación de las
expresiones anteriores; pero,… ¿cualquier tensor de
deformaciones lleva asociado un campo de
desplazamientos, o es necesario que se verifiquen
algunas condiciones adicionales?
Matemáticamente, todo campo de deformaciones debe
mantener la continuidad del sólido. Y para que un
sólido deformado sea continuo, ha de verificar una
serie de condiciones derivadas de las expresiones
escritas arriba a la derecha.
De modo que,
haciendo las
derivadas
parciales
segundas de las
deformaciones:
1 
γ xz
δu
δv
δw
2  εx =
εy =
εz =
δz
δx
δy
1 
γ yz 
2  γ xy = δu + δv γ yz = δv + δw γ xz = δu + δw
δy δx
δz δy
δz δx
ε z 

Puede enfocarse esta cuestión suponiendo que cada punto del
sólido es un paralelepípedo elemental al que se asocia un
tensor de deformaciones.
Si el sólido se deforma se deformarán cada uno de esos infinitos
paralelepípedos; las deformaciones serán compatibles si,
después de haberse efectuado, esos infinitos paralelepípedos
se pueden montar como un inmenso rompecabezas, y no lo
serán si tras la deformación no pueden montarse.
Se observa que:
Que es la ECUACION DE COMPATIBILIDAD en el plano XY
Considerando los tres ejes se obtienen otras dos ecuaciones
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El proceso de determinación del resto de
ecuaciones continúa del siguiente modo:
CAPÍTULO 3: EL TENSOR DE DEFORMACIÓN
De estas tres expresiones se
suma la primera con la
segunda, se le resta la tercera
y se divide el resultado entre
dos. El segundo término de la
expresión obtenida se obtiene
derivando εx respecto de y y
de z, con lo que se obtiene la
CUARTA ECUACION DE
COMPATIBILIDAD:
Y de modo similar se obtienen la QUINTA Y LA XEXTA:
RESUMIENDO:
Por tanto se ha demostrado, no sin
cierta pericia matemática, que si las
deformaciones llevan asociados unos
desplazamientos univaluados (que en
cada punto toman un solo valor) y
continuos, existen unas condiciones
adicionales (estas seis ecuaciones de
compatibilidad) que han de verificarse
necesariamente.
Del mismo modo puede demostrarse
que si las deformaciones cumplen las
ecuaciones de compatibilidad, éstas
son suficientes para obtener un campo
de desplazamientos univaluado y
continuo.
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CAPÍTULO 3: EL TENSOR DE DEFORMACIÓN
CAPÍTULO
CAPÍTULO3:
3:
EL
ELTENSOR
TENSORDE
DEDEFORMACIÓN
DEFORMACIÓN
1. Concepto de desplazamiento y deformación.
2. Deformación en el entorno de un punto.
3. Significado físico del tensor deformación y de la matriz de giro.
4. El vector deformación. Componentes intrínsecas.
5. Correlación entre el tensor de tensiones y el tensor de deformaciones.
6. Tensor esférico y tensor desviador.
7. Ecuaciones de compatibilidad.
8. Obtención del vector desplazamiento a partir del tensor de deformación
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Elasticidad y resistencia de materiales. Curso 2008/2009
El procedimiento deductivo es
similar a los anteriores; deducir lo
que ocurre en un punto
infinitamente próximo a otro
considerado, desarrollando en
serie las expresiones de partida.
CAPÍTULO 3: EL TENSOR DE DEFORMACIÓN
En concreto, para este caso, se supondrá que se conoce el tensor de
deformaciones compatible y se desean conocer las componentes del
desplazamiento de un punto; se sabe que las componentes del
desplazamiento de un punto infinitamente cercano, separado de éste un
vector (dx,dy,dz), al punto (x0,y0,z0) son (se escribe sólo la primera):
u ( x, y, z ) = u ( x0 , y0 , z0 ) + ε x dx + (ε xy + hxy )dy + (ε xz + hxz )dz
Para conocer las componentes
del vector desplazamiento de un
punto cualquiera, de coordenadas
(x1,y1,z1), hay que integrar la
expresión anterior:
δu
δu
δu
u (x1 , y1 , z1 ) = u (x0 , y0 , z0 ) + ∫ dx + ∫ dy + ∫ dz =
δx
δy
δz
P
P
P
P1
P1
P1
0
0
0
P1
P1
P1
P0
P0
P0
= u (x0 , y0 , z0 ) + ∫ ε x dx + ∫ (ε xy + hxy )dy + ∫ (ε xz + hxz )dz
El desarrollo de la expresión exige la
integración por partes de las
componentes de la matriz de giro; se
desprecian los infinitésimos de segundo
orden, se agrupan términos, se simplifica
y, finalmente, resulta la componente des
desplazamiento según la coordenada x a
partir del tensor de deformaciones:
Análogo procedimiento permite obtener el resultado
para las otras dos componentes en el espacio (v y w)
P1
P1
P1
P0
P0
P0
u = u0 + ∫ ε x dx + ∫ ε xy dy + ∫ ε xz dz + hxy ]P0 ⋅ (z0 + z1 ) +
1
δε 
 δε x δε xy 
 δε
 ⋅ ( y − y1 )dx + ∫  − y + xy  ⋅ ( y − y1 )dy +
+ ∫ 
−
δy
δx 
δx
δy 
P0 
P0 
P1
P
1
 δε xz δε xy 
 δε δε 
 ⋅ ( y − y1 )dz + ∫  x − xz  ⋅ (z − z1 )dx +
+ ∫ 
+
δy
δx 
δz
δx 
P0 
P0 
P1
P
1
 δε xy δε yz 
δε
 δε
 ⋅ (z − z1 )dy + ∫  xz − z
+ ∫ 
−
δz
δx 
δz
δx
P0 
P0 
P1
P

 ⋅ (z − z1 )dz

De modo que se habrán determinado tres expresiones que permiten conocer el desplazamiento de un punto cualquiera conocidos el
desplazamiento en otro punto cualquiera, la matriz de giro y el tensor de deformaciones en todo el dominio.
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CAPÍTULO 3: EL TENSOR DE DEFORMACIÓN
CAPÍTULO
CAPÍTULO3:
3:
EL
ELTENSOR
TENSORDE
DEDEFORMACIÓN
DEFORMACIÓN
1. Concepto de desplazamiento y deformación.
2. Deformación en el entorno de un punto.
3. Significado físico del tensor deformación y de la matriz de giro.
4. El vector deformación. Componentes intrínsecas.
5. Correlación entre el tensor de tensiones y el tensor de deformaciones.
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Área: mecánica de medios continuos y teoría de estructuras / Universidad de Málaga
Elasticidad y resistencia de materiales. Curso 2008/2009
CAPÍTULO 3: EL TENSOR DE DEFORMACIÓN
Existen determinados problemas que se pueden
representar por un tensor de deformaciones de
segundo orden; son los problemas de
DEFORMACION PLANA.
Físicamente estos problemas responden a sólidos
en los que una dimensión es mucho mayor que las
otras dos y las fuerzas se encuentran aplicadas
según esas dos dimensiones menores.
En este tipo de situaciones la deformación según la
dimensión mayor es nula: suponiendo que en esa
dirección se establezca el eje OZ serían nulos los
términos εx, γxz y γyz, luego el tensor de
deformación se puede reducir a:

r  εx
[ε ] =  1
 γ
xy
2
1 
γ xy 
2 
ε y 

Área: mecánica de medios continuos y teoría de estructuras / Universidad de Málaga