El Método Gráfico

Investigación de Operaciones
El Método Gráfico
El método gráfico asocia una variable a cada eje coordenado, por esta razón solo se
emplea en problemas de dos y tres variables. Los pasos básicos del método son:
1. Representación geométrica de las restricciones estructurales y las
condiciones técnicas
2. Representación geométrica de la función objetivo.
3. Identificación geométrica de la solución óptima.
Ejemplo:
Supóngase que se desean fabricar dos tipos diferentes de artículos los cuales
necesitan de tres procesos. El tiempo que se lleva cada proceso en cada producto,
la capacidad productiva con la que se cuenta y la utilidad unitaria de cada artículo
se resumen en la siguiente tabla:
Departamento
(Operación)
Cortado
Troquelado
Esmaltado
Utilidad ($/u)
Índice de producción (hrs/u)
Artículo 1
Artículo 2
10
5
4
10
20
5
2
15
Capacidad productiva
hrs/período
4,000
1,500
800
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Solución:
1.-Para resolver este problema lo primero que se tiene que hacer es plantearlo
correctamente.
Sean X1 = Unidades a fabricar del artículo 1 por período.
X2 = Unidades a fabricar del artículo 2 por período.
Entonces el problema puede formularse como:
maximizar X0 = 10 X1 + 15 X2
sujeta a:
10 X1 + 20 X2
5 X1 + 5 X2
4 X1 + 2 X2
X1, X2
4000
1500
800
(1)
(2)
(3)
0
(4)
2. Una vez planteado matemáticamente el problema, se grafican cada una de las
restricciones junto con las condiciones de no negatividad.
Para graficar las restricciones es necesario primero considerar sólo el signo de
igualdad y posteriormente la desigualdad estricta, para así encontrar la
región que represente la restricción.
Así por ejemplo:
10 X1 + 20 X2
4000
X1 + 2 X2
X1 + 2 X2 = 400
X1
400
0
400
X1 = 400 - 2 X2
X2
0
200
Los puntos encontrados son las intersecciones de la recta con los ejes coordenados.
Así, uniéndolos se tiene la recta buscada.
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Para encontrar la región correspondiente al signo de desigualdad absoluta, se
sustituye el (0,0) en la desigualdad, y si la satisface, entonces la región solución
será aquella que contenga al (0,0). En caso contrario, será la región que no lo
contenga.
X2 (unidades)
500
400
300
10x1 + 20x2 ≤ 4,000
200
100
X1 (unidades)
0
500
400
300
200
100
100
-200
-100
1
-200
Representación geométrica de la primera restricción del problema
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X2 (unidades)
500
400
300
5X1 + 5X2 ≤ 1,500
200
100
X1 (unidades)
0
500
400
300
200
100
100
-200
-100
2
-200
Representación geométrica de la segunda restricción
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Representación geométrica de la tercera restricción del problema
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Conjunto de soluciones factibles para el problema
3.- Evaluar la función objetivo en cada uno de los vértices de la región factible
para encontrar el punto en el que ésta sea óptima.
Los vértices de la región factible son: A (0,0) ; B (200,0) ;
C ( ? , ? ); D (0, 200)
Es decir, se desconocen las coordenadas del punto C, pero éstas se pueden
encontrar resolviendo el sistema de ecuaciones formado por las rectas (1) y (3).
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10 X1 + 20 X2
4000 (1)
X1 + 2 X2 = 400
-2 X1 - 4 X2 = - 800
+
4 X1 + 2 X2
800 (3)
2X1 + X2 = 400
2X1 + X2 = 400
-3 X2 = - 400
X2 =
400
3
Por otra parte de la ecuación (1) se tiene:
X1 = 400 - 2 X2
X1 = 400 - 2
X1 =
400 400 
,
Luego entonces las coordenadas del punto C son 

 3
3 
400
3
y evaluando la
función objetivo en todos los puntos:
X0 = 10 X1 + 15 X2
X0 (0, 0)
= 10 (0)
+ 15 (0)
X0 (200, 0)
= 10 (200) + 15 (0)
X0(0, 200)
= 10 (0)
=
0
= 2 000
+ 15 (200) = 3 000
400 400 
10000
 400 
 400 
,
X0 
 = 10 
 + 15 
 =
 3
3 
 3 
 3 
3
3 333.33 *
Así, la solución óptima es X0 = 3 333.33 en el punto
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