Formulación de un Modelo de Programación Lineal

Investigación de Operaciones
Formulación de un Modelo de Programación Lineal
Para facilitar el planteamiento del modelo matemático general de la PL considere
el siguiente problema:
La planta HBB fabrica 4 productos que requieren para su elaboración: materia
prima de la cual hay una disponibilidad diaria de 180 libras, espacio de
almacenamiento del cual se dispone de 230 pies cúbicos y un tiempo de
producción de 8 horas/día. Para elaborar una unidad de cada uno de los productos
se necesitan los siguientes insumos:
Producto
1
2
3
4
Materia
prima
lbs/unidad
2
2
1.5
1
Espacio
pies3/unidad
Tasa producción
unidades/hora
Utilidades
$/unidad.
2
2.5
2
1.5
15
30
10
15
5
6.5
5
5.5
La gerencia desea determinar cuántas unidades de cada producto deben fabricarse
para maximizar el beneficio.
Solución
A partir de esta descripción cualitativa del problema se va a convertir en una forma
matemática que se pueda resolver, este proceso se llama formulación del
problema y tiene los siguientes pasos con sus características claves.
I) Identificación de las variables de decisión.
Identificar las variables de decisión y obtener sus valores proporciona la solución
del problema. Como los valores de estos elementos son desconocidos se les da un
símbolo. La elección de estas variables no es única y no existen reglas fijas, sin
embargo se pueden formular algunas preguntas que son útiles en la identificación
de un conjunto adecuado de variables de decisión.
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Diana Cobos
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CARACTERÍSTICAS CLAVES
 ¿Qué elementos afectan los costos y/o ganancias como objetivo global?
 ¿Qué elementos se pueden elegir y/o controlar?
 ¿Qué decisiones se tienen que tomar?
 ¿Qué valores posibles constituyen una solución para el problema?
La respuesta a estas preguntas es fabricar cuatro tipos de productos simbolizados
por:
X1 = cantidad de unidades a producir del producto 1
X2 = cantidad de unidades a producir del producto 2
X3 = cantidad de unidades a producir del producto 3
X4 = cantidad de unidades a producir del producto 4
II) Identificación de los datos del problema
La finalidad de resolver un problema es proporcionar los valores reales para las
variables de decisión. Para esto se requiere determinar los recursos disponibles.
Para nuestro ejemplo:
Cantidad de materia prima disponible (180 lbs/día)
Cantidad de espacio disponible (230 pies3)
Tiempo de producción disponible (8 hrs/día).
CARACTERÍSTICA CLAVE.
La necesidad de determinar los datos del problema para lograr el objetivo al
desarrollar el problema y verificar si se necesita información adicional para
determinar las variables de decisión.
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Diana Cobos
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III) Identificación de la función objetivo
En esta parte se pretende expresar el objetivo organizacional en forma matemática
usando las variables de decisión y los datos conocidos. Se puede considerar que
cada una de las variables de decisión tiene una función especifica dentro del
contexto del objetivo general (optimizar), con el fin de obtener un único valor. Para
el caso:
Maximizar las utilidades a partir de los aportes o beneficios de cada unidad
fabricada ( por ejemplo, $5 el producto 1 (X1)), y totalizar todos los aportes para
las respuestas de las variables de decisión.
La función objetivo será entonces:
Maximizar Z = 5X1 + 6.5X2 + 5X3 + 5.5X4
CARACTERÍSTICA CLAVE
La función objetivo depende de:
 El enunciado del objetivo de manera verbal.
 Descomponer el objetivo en una suma, diferencia y/o producto de términos
individuales (combinación lineal)
 Expresar los términos individuales usando las variables decisorias y los
datos.
IV) Identificación de las restricciones.
Las restricciones son condiciones que las variables de decisión deben satisfacer
para constituir una solución aceptable de un problema.
Estas pueden ser de limitaciones físicas (horas de trabajo de una planta),
restricciones administrativas (satisfacer una demanda de un cliente especial),
restricciones externas que las puede dar el mercado, restricciones lógicas sobre las
variables (respuestas enteras).
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Considerando nuestro ejercicio se pueden dar restricciones por los recursos
disponibles como son, por ejemplo, la materia prima, ya que se disponen
únicamente 180 libras para los cuatro productos, de modo que:
2X1 + 2X2 + 1.5X3 +X4  180,
Además se dispone de 230 pies3 de espacio de almacenamiento, lo que puede
traducirse como:
2X1 +2.5X2 + 2X3 + 1.5X4  230
y la tasa de producción que está expresadas en unidades por hora, por lo que
tenemos que convertirla primero en horas por cada unidad, por ejemplo, si 15
unidades del producto 1 se producen en una hora, ¿una unidad en cuánto tiempo se
producirá?. Entonces se tiene que las horas/ unidad de cada producto son: 1/15 =
.067 para el producto 1, 1/30 = 0.033 para el producto 2, 1/10 = 0.1 para el
producto 3 y 1/15 = 0.066 para el producto 4.
De este modo la restricción del tiempo de producción se puede expresar como:
1/15 X1 + 1/30 X2 +1/10 X3 + 1/15 X4  8
Las limitaciones son lógicas cuando la respuesta de las variables de decisión debe
ser positiva o sea la restricción de no negatividad.
X1  0, X2  0, X3  0, X4  0.
CARACTERÍSTICA CLAVE.
 Es importante tener en cuenta las variables de decisión y los datos del
problema para definir cada una de las restricciones.
 Expresarlas como una suma, diferencia o producto de cantidades
individuales.
 Establecer la magnitud de la dirección, teniendo en cuenta las limitaciones
formuladas.
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Una vez reunidos todos estos elementos descritos se hace una formulación
matemática del problema de acuerdo a :
Maximizar: 5X1 +6.5X2 + 5X3 + 5.5X4
(ganancia)
Sujeta a:
2X1 + 2X2 + 1.5X3 + X4  180 (materia prima)
2X1 + 2.5X2 +2X3 + 1.5X4  230 (espacio)
1/15 X1 + 1/30 X2 +1/10 X3 + 1/15 X4  8 (tasa de producción)
Xi  0
i = 1,2,3,4
Donde Xi representa el número de unidades a fabricar del
i=1,2,3,4
producto i para
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Modelo general de la PL
Del ejemplo anterior, puede inducirse el siguiente modelo matemático general de
la PL
Optimizar:
Sujeta a
X0 = C1X1 + C2X2 + . . . + CnXn
a11X1 + a12X2 + . . . a1nXn (  , =  ) b1
a21X1 + a22X2 + . . . a2nXn (  , =  ) b2
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
am11X1 + am2X2 + . . . amnXn (  , =  ) bm
X1, X2, … Xn

0
(0)
(1)
(2)
(m)
(*)
Donde:
X0 = función objetivo, la cual pude maximizarse o minimizarse
Xj = variable de decisión (actividad) j = 1, 2, . . . , n
Cj = coeficiente de la variable Xj en la función objetivo, o más brevemente,
coeficiente objetivo de Xj
aij = consumo del recurso i por la actividad j, o alternativamente, coeficiente
tecnológico de Xj en la restricción i
bi = constante del lado derecho (generalmente recurso disponible) en la
restricción i llamada también coeficiente de recurso
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El modelo matemático general de la PL suele dividirse en: el objetivo (0), las
restricciones tecnológicas o estructurales [de (1) a (m)] y las condiciones técnicas
o de no-negatividad (*)
EJEMPLO 1
Una fábrica de juguetes fabrica dos tipos de juguetes de madera: soldados y trenes.
Se vende un soldado a 27 dólares y se usan 10 de dólares de materia prima. Cada
soldado que se produce aumenta los costos variables de mano de obra y los costos
generales en 14 dólares. Se vende un tren a 21 dólares y se usan 9 dólares de
materia prima. Cada tren producido aumenta los costos variables de mano de obra
y los costos generales en 10 dólares. La producción de soldados y trenes de madera
necesita dos tipos de trabajo especializado: carpintería y acabado. Un soldado
requiere 2 horas de acabado y 1 hora de carpintería. Un tren requiere 1 hora de
acabado y 1 hora de carpintería. Cada semana, la fábrica puede conseguir toda la
materia prima que se necesita, pero solamente dispone de 100 horas de acabado y
80 horas de carpintería. La demanda de los trenes no tiene límite, pero se pueden
vender a lo más 40 soldados semanalmente. La fábrica quiere maximizar su
ganancia semanal (ingresos–costos). Formule un modelo matemático que se pueda
utilizar para maximizar las ganancias de la fábrica.
Tomado de: Investigación de Operaciones, Aplicaciones y algoritmos
Wayne L. Winston
Grupo Editorial Iberoamérica
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Solución
(1) Resumen de datos
Precio de Materia
Otros Carpintería Acabado Demanda
venta ($) prima ($) costos ($)
(hr)
(hr)
27
10
14
1
2
a lo más 40
21
9
10
1
1
ilimitada
ilimitada
80
100
Soldados
Trenes
Disponibilidad
de recurso
(2) Variables de decisión
X1 = el número de soldados producidos cada semana
X2 = el número de trenes producidos cada semana
(3) Función objetivo
Se deben expresar las ganancias y los costos semanales de la fábrica en función de
las variables de decisión X1 y X2. Entonces
Ingresos semanales = 27X1 + 21X2
Costos semanales de materia prima = 10X1 + 9X2
Costos semanales variables = 14X1 + 10X2
Entonces la fábrica quiere maximizar:
(27X1 + 21X2) – (10X1 + 9X2) – (14X1 + 10X2) = 3X1 + 2X2
De modo que el objetivo de la fábrica es elegir X1 y X2 para maximizar
3X1 + 2X2. Si representamos el valor de la función objetivo por X0 la función
objetivo de la fábrica es:
Maximizar
X0 = 3X1 + 2X2
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(4) Restricciones
Restricción 1. No se pueden usar más de 100 horas de acabado por semana
Restricción 2. No se pueden usar más de 80 horas de carpintería por semana.
Restricción 3. No se deben producir más de 40 soldados por semana
La restricción 1 se puede expresar como:
2X1 + X2  100
La restricción 2 es:
X1 + X2  80
La restricción 3 debe expresarse como:
X1  40
Así el modelo completo es:
Maximizar
Sujeto a
X0 = 3X1 + 2X2
2X1 + X2  100
X1 + X2  80
X1
 40
X1, X2  0
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EJEMPLO 2
Una compañía que fabrica automóviles de lujo y camiones lanzó una campaña
ambiciosa de publicidad por televisión y decidió comprar comerciales de 1 minuto
en dos tipos de programas: series cómicas y juegos de fútbol. 7 millones de
mujeres y 2 millones de hombres ven cada comercial en series cómicas. 2 millones
de mujeres y 12 millones de hombres ven cada comercial en juegos de fútbol. Un
comercial de 1 minuto en una serie cómica, cuesta 50 000 dólares, y un comercial
de 1 minuto en un juego de fútbol cuesta 100 000 dólares. La compañía que por lo
menos 20 millones de mujeres y 24 millones de hombres vieran los comerciales.
Utilice la PL para determinar cómo la fábrica puede alcanzar sus requerimientos
publicitarios a un costo mínimo.
Tomado de: Investigación de Operaciones, Aplicaciones y algoritmos
Wayne L. Winston
Grupo Editorial Iberoamérica
Solución
(1) Resumen de datos
Series cómicas
Juegos de futbol
Audiencia esperada
(millones de personas)
Mujeres
(millones)
7
2
Por lo menos 28
Hombres
Costo del comercial
(millones)
(miles de $/min)
2
50
12
100
Por lo menos 24
(2) Variables de decisión
X1 = Número de comerciales de un minuto en series cómicas
X2 = Número de comerciales de un minuto en juegos de fútbol
(3) Función objetivo
La fábrica quiere minimizar el costo total de la publicidad (en miles de dólares)
Costo total de publicidad = costo de anuncios en series cómicas + costo de los
anuncios en juegos de fútbol.
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Así la función objetivo de la fábrica es:
Minimizar
X0 = 50X1 + 100X2
(4) Restricciones
Restricción 1. Los anuncios tienen que llegar a por lo menos 28 millones de
mujeres
Restricción 2. Los anuncios tienen que llegar a por lo menos 24 millones de
hombres
La restricción 1 se puede expresar como:
7X1 + 2X2  28
La restricción 2 es:
2X1 + 12X2  24
Así el modelo completo es:
Minimizar
Sujeta a
X0 = 50X1 + 100X2
7X1 + 2X2  28
2X1 + 12X2  24
X1, X2  0
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