ejercicios resueltos

T3: TRIGONOMETRÍA
1º BCT
7. RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS
Un triángulo tiene seis elementos: tres ángulos y tres lados.
Resolver un triángulo es hallar, a partir de unos datos, sus restantes elementos. En triángulos rectángulos
basta conocer dos elementos para conocer los restantes elementos.
NOTA: Hay diversas formas de resolver estos ejercicios, en todos ellos se intenta emplear siempre los datos
iniciales para el cálculo de los elementos.
Según los elementos conocidos se nos presenta varias situaciones en la resolución de triángulos rectángulos:
1. CONOCIDOS LA HIPOTENUSA Y UN ÁNGULO AGUDO
Resolución:
Conocido la hipotenusa a y el ángulo B:
C
sen B =
b
→ b = a·senB
a
cos B =
c
→ c = a·cosB
a
a
b
A
B
c
C = 90º – B
Ejemplo:
En un triángulo rectángulo ABC, se conoce la hipotenusa a = 15 cm y el ángulo B = 20º. Halla los
restantes elementos.
Solución
C
15 cm
b
A
b
→ b = 15 · sen 20º = 15 · 0,34 = 5,1 cm → b = 5,1 cm
15
cos 20º =
c
→ c = 15 · cos 20º = 15 · 0,94 = 14,1 cm → c = 14,1 cm
15
También se puede calcular c empleando Pitágoras:
20º
c
sen 20º =
B
c = 15 – 5,1 = 198,99 → c = 14,1 cm
2
2
2
C = 90º – 20º = 70º
Luisa Muñoz
1
T3: TRIGONOMETRÍA
1º BCT
2. CONOCIDOS UN CATETO Y UN ÁNGULO AGUDO
Resolución:
Conocido el cateto b y el ángulo B:
C
tg B =
a
b
b
b
→c =
c
tg B
sen B =
A
B
c
b
b
→a=
a
sen B
C = 90º – B
En un triángulo rectángulo ABC, se conoce el cateto b = 102,4 cm y el ángulo B = 55º. Halla los
restantes elementos.
Ejemplo:
Conocido el cateto b y la hipotenusa a:
C
c=
a
b
A
a2 − b2
sen B =
B
c
b
b 
→ B = arcsen  
a
a 
C = 90º – B
Solución
B
sen 55º =
55º
a
tg 55º =
c
102, 4
102, 4
102, 4
→a=
=
= 124,88 cm → a = 124,88 cm
a
sen 55º
0,82
102,4
102, 4 102, 4
→c =
=
= 71,61 cm → c = 71,61 cm
c
tg 55º
1, 43
También se puede calcular c empleando Pitágoras.
A
102,4 cm
C
C = 90º – 55º = 70º
3. CONOCIDOS LA HIPOTENUSA Y UN CATETO.
Resolución:
Conocido el cateto b y la hipotenusa a:
C
c=
a
b
A
Luisa Muñoz
c
a2 − b2
sen B =
B
b
b 
→ B = arcsen  
a
a 
C = 90º – B
2
T3: TRIGONOMETRÍA
1º BCT
Ejemplo:
La hipotenusa de un triángulo rectángulo ABC mide a = 25 cm y el cateto b = 20 cm. Resuelve el
triángulo.
Solución
B
Calculamos c empleando Pitágoras:
c = 25 – 20 = 225 → c = 15 cm
2
2
25 cm
c
A
C
20 cm
2
sen B =
20
→ sen B = 0,8 → B = arcsen 0,8 = 53,13º = 53º 7´48´´
25
cos C =
20
→ cos C = 0,8 → B = arccos 0,8 = 36,87º = 36º 52´12´´
25
Se puede calcular C teniendo en cuenta que es el complementario de B:
C = 90º – 53º 7´ 48´´ = 36º 52´12´´
4. CONOCIDOS LOS DOS CATETOS.
Resolución:
Conocido los dos catetos:
C
a=
a
b
A
tg B =
B
c
c 2 + b2
b
b 
→ B = arctg  
c
c 
C = 90º – B
Ejemplo:
Los dos catetos de un triángulo miden b = 8 cm y c = 24 cm. Halla los restantes elementos del
triángulo.
Solución
B
Calculamos a empleando Pitágoras:
a = 24 + 8 = 640 → a = 25,3 cm
2
a
8 cm
A
Luisa Muñoz
24 cm
C
2
2
tg B =
24
→ tg B = 3 → B = arctg 3 = 71,57º = 71º 34´12´´
8
tg C =
8
→ tg C = 0,33 → B = arccos 0,33 = 18, 43º = 18º 25´48´´
24
3
T3: TRIGONOMETRÍA
1º BCT
5. RESOLVER EL TRIÁNGULO
Resolución:
Para resolver el triángulo trazamos la altura correspondiente a uno de los lados para poder obtener
triángulos rectángulos y reducir el problema a casos vistos anteriormente.
Ejemplo:
Averigua las medidas de los elementos desconocidos del siguiente triángulo:
B
c
2
45º
A
30º
C
a
Solución
B = 180º – (45º + 30º) = 105º
B
2
Trabajando con el triángulo ADB:
cos 45º =
x
2
→ x = 2cos 45º = 2·
= 2
2
2
c
h
45º
A
30º
x
D
C
y
Por ser isósceles, se verifica que AD = BD:
h=x= 2
Trabajando con el triángulo DBC:
sen 30º =
tg30º =
h
h
2
→c =
=
= 2 2 → c = 2 2 =2,82 cm
1
c
sen30º
2
h
h
3 3 2
→y=
= 2:
=
= 6
y
tg30º
3
3
AC = x + y =
Luisa Muñoz
2 + 6 =3,86 cm
4