DISTRIBUCION HIPERGEOMETRICA

DISTRIBUCION HIPERGEOMETRICA
Empleada para calcular la probabilidad de obtener determinado número de éxitos en un espacio muestral
de n ensayos; pero a diferencia de la distribución binomial es que los datos de la muestra se extraen sin
reemplazo en una población finita. Por esto es que el resultado de una observación depende o es afectado
por el resultado de cualquier otra u otras observaciones anteriores.
Es decir la distribución hipergeométrica se emplea para muestreos sin reemplazo de una población finita
cuya probabilidad de ocurrencia cambia a lo largo del ensayo.
La aplicación de la distribución hipergeométrica se encuentra en muchas áreas, con un uso considerable
en el muestreo de aceptación, las pruebas electrónicas y el aseguramiento de calidad. Es obvio que en
muchos d e estos campos la prueba se realiza a expensas de la pieza que se esta probando. Esta se destruye y
por lo tanto no puede remplazarse en la muestra.
DEFINICION
Una variable aleatoria X tiene una distribución hipergeométrica y se conoce como variable aleatoria
hipergeométrica si y solo si su distribución de probabilidad esta dada por:
h(x; n, N, M) =
para x = 0, 1,2,….., n
xM y n - xN - M
AsÃ−, para el muestreo sin reemplazos, el número de éxitos en n ensayos es una variable aleatoria que
tiene una distribución hipergeométrica con los parámetros n, N, M.
Ejemplo
Lotes de 40 componentes cada uno se consideran aceptables si no contienen mas d e 3 defectuosos. El
procedimiento de muestreo del lote consiste en seleccionar 5 componentes aleatoriamente y rechazar el lote si
se encuentra un componente defectuoso. ¿Cual es la probabilidad de que exactamente 1 defectuoso se
encuentre en la muestra si hay 3 defectuosos en todo el lote?
Solución Si se utiliza la distribución hipergeométrica con n=5, N=40, M=3, x=1, se encuentra la
probabilidad de obtener un defectuoso de la siguiente manera:
h(x; n, N, M) = = 0.3011
La media y la varianza de la distribución hipergeométrica h(x; n, N, M) están dadas por:
µ =
y
2=
Ejemplo
1
Encuentre la media y la varianza de la variable aleatoria del ejemplo anterior
Solución
µ = = = 0.375
2 = = 0.3113
Distribución hipergeométrica multivariada
Si N resultados pueden dividirse en las K celdas A1, A2, ........., Ak con a1, a2, ........ak elementos
respectivamente, entonces la distribución de probabilidad de las variables aleatorias X1, X2, ......Xk, que
representan el numero de elementos seleccionados de A1, A2, ...., Ak en una muestra aleatoria de tamaño N,
es:
f(
con y
DISTRIBUCION BINOMIAL NEGATIVA
Considérese un experimento en el cual las propiedades que sean las mismas que aquellas indicadas para un
experimento binomial, con la excepción de que los intentos se repetirán hasta que ocurra un numero
determinado de éxitos. Por lo tanto, en lugar de encontrar la probabilidad de x éxitos en n intentos, donde
n es fijo, ahora se esta interesado en la probabilidad de que el k-esimo éxito ocurra en el x-esimo intento.
Los experimentos de esta clase reciben el nombre de experimentos binomiales negativos.
DEFINICION
Una variable aleatoria X tiene una distribución binomial negativa y se conoce como una variable aleatoria
binomial negativa si y solo si
b*(x; k, θ) =
para x=k, k + 1, k + 2, ….
AsÃ−, el número de ensayos en que ocurre el kesimo éxito es una variable aleatoria que tiene una
distribución binomial negativa con los parámetros y θ. El nombre “distribución binomial negativa“ se
deriva del hecho que los valores b*(x; k, θ) para x=k, k + 1, k + 2, …. Son los términos sucesivos de la
expansión binomial de .
Ejemplo
Si la probabilidad es d e 0.40 de que un niño expuesto a una enfermedad contagiosa la contraiga, ¿Cuál
es la probabilidad de que el décimo niño expuesto a la enfermedad será el tercero en contraerla?.
Solución
Sustituimos x=10, k=3 y θ=0.40 en la formula para la distribución binomial negativa, y obtenemos.
b*(10; 3, 0.40) = = 0.0645
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Cuando hay una tabla de probabilidades binomiales disponibles, generalmente se puede simplificar la
determinación de las probabilidades binomiales negativas mediante la identidad.
La media y la varianza de la distribución negativa son
y=
Puesto que la distribución binomial negativa con k = 1 tiene aplicaciones importantes, se le ha dado un
nombre especial: distribución geométrica.
DISTRIBUCION DE POISSON
Se dice que existe un proceso de Poisson si podemos observar eventos discretos en un área de oportunidad un intervalo continuo (de tiempo, longitud, superficie, etc.) - de tal manera que si se reduce lo suficiente el
área de oportunidad o el intervalo,
• La probabilidad de observar exactamente un éxito en el intervalo es constante.
• La probabilidad de obtener más de un éxito en el intervalo es 0.
• La probabilidad de observar un éxito en cualquier intervalo es estadÃ−sticamente independiente de la de
cualquier otro intervalo.
Esta distribución se aplica en situaciones como:
• El numero de pacientes que llegan al servicio de emergencia de un hospital en un intervalo de tiempo.
• El numero de radiaciones radiactivas que se recibe en un lapso de tiempo,
• El numero de glóbulos blancos que se cuentan en una muestra dada.
• El numero de partos triples por año
DEFINICION
Una variable aleatoria X tiene una distribución de Poisson y se conoce como una variable aleatoria de
Poisson si y solo si su distribución de probabilidades esta dada por
para x = 0,1,2,…
Ejemplo
Si 2% de los libros encuadernados en cierto taller tiene encuadernación defectuosa, obtener la probabilidad
de que 5 de 400 libros encuadernados en este taller tengan encuadernaciones defectuosas.
La media y la varianza de la distribución de Poisson están dadas por
y
La función generatriz de momentos de la distribución de Poisson esta dada por
=
DISTRIBUCION GAMMA
La distribución gamma y exponencial juegan un papel importante tanto en teorÃ−a de colas como en
problemas d e confiabilidad. El tiempo entre las llegadas en las instalaciones de servicio y el tiempo de falla
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de componentes y sistemas eléctricos.
La distribución gamma toma su nombre de la bien conocida función gamma, que se estudia en muchas
áreas de las matemáticas. Antes de proceder al estudio de la distribución gamma, debe revisarse esta
función.
DEFINICION
La función gamma se define como:
para α > 0.
Una propiedad importante de la función gamma es que Р(1/2) =
DISTRIBUCION GAMMA
La variable aleatoria continua X tiene una distribución gamma, con parámetros α y β, si su función de
densidad es:
f(X) =
donde α > 0 y β > 0
La media y la varianza de la distribución gamma son:
µ = αβ y Ï 2 = αβ2
DISTRIBUCION EXPONENCIAL
La distribución gamma especial para la cual α=1 se llama distribución exponencial.
DEFINICION
La variable aleatoria continua X tiene una distribución exponencial con parámetro α y β, si su función de
densidad es
f(x) =
donde β > 0
Grafica de función de densidad de probabilidad
Su función de distribución es
Grafica de función de distribución de probabilidad
Aplicaciones para la distribución exponencial son los tiempos dentro accidentes con probabilidad invariable.
La media y la varianza de la distribución exponencial son:
µ=β y Ï 2 = β2
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EJEMPLOS
Suponga que un sistema contiene cierto tipo de componente cuyo tiempo de falla en años está dado por la
variable aleatoria T, distribuida exponencialmente con tiempo promedio de falla . S Ã− 5 de estos
componentes se instalan en diferentes sistemas, ¿cuál es la probabilidad de que al menos 2 continúen
funcionando después de 8 años?
Solución
La probabilidad de que un determinado componente esté funcionando aún después de 8 años es:
ÂÂÂÂÂÂÂÂÂÂÂÂÂÂÂÂ ÂÂÂÂ
la | nos indica que la integral se va a evaluar desde 8 hasta ¥     Â
Sea x el número de componentes funcionando después de 8 años. Entonces mediante la distribución
Binomial,
n=5
p = 0.20 = probabilidad de que un componente esté funcionando después de 8 años
q = 1-p = 0.80 = probabilidad de que un componente no funcione después de 8 años
P(x ³ 2 ) = p(x=2) + p(x=3) + p(x=4)+p(x=5) = 1 - p(x = 0, 1)
DISTRIBUCION JI CUADRADA
Otro caso especial muy importante de la distribución gamma se obtiene haciendo α = v/2 y β = 2 donde v es
un entero positivo. El resultado se llama distribución ji cuadrada. La distribución tiene un parámetro
sencillo, v, que recibe el nombre de grados d e libertad.
DEFINICION
La variable aleatoria continua X tiene una distribución ji cuadrada, con v grados d e libertad, si su función
de densidad es:
f(x) =
donde v es un numero positivo
La distribución ji cuadrada juega un papel vital en la inferencia estadistica.
La función de distribución es
donde es la función gamma incompleta.
La media y la varianza de la distribución ji-cuadrada son:
µ = v y Ï 2 = 2v
Aplicaciones
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La distribución ji-cuadrado tiene muchas aplicaciones en inferencia estadÃ−stica, por ejemplo en el test
ji-cuadrado y en la estimación de varianzas. También está involucrada en el problema de estimar la
media de una población normalmente distribuida y en el problema de estimar la pendiente de una recta de
regresión lineal, a través de su papel en la distribución t de Student, y participa en todos los problemas de
análisis de varianza, por su papel en la distribución F de Snedecor, que es la distribución del cociente de
dos variables aleatorias de distribución ji-cuadrado e independientes.
Propiedades de las distribuciones ji-cuadrada
• Los valores de X2 son mayores o iguales que 0.
• La forma de una distribución X2 depende del gl=n-1. En consecuencia, hay un número infinito de
distribuciones X2.
• El área bajo una curva ji-cuadrada y sobre el eje horizontal es 1.
• Las distribuciones X2 no son simétricas. Tienen colas estrechas que se extienden a la derecha; esto es,
están sesgadas a la derecha.
• Cuando n>2, la media de una distribución X2 es n-1 y la varianza es 2(n-1).
• El valor modal de una distribución X2 se da en el valor (n-3).
La siguiente figura ilustra tres distribuciones X2. Note que el valor modal aparece en el valor (n-3) = (gl-2).
Ejemplo
Suponga que los tiempos requeridos por un cierto autobús para alcanzar un de sus destinos en una ciudad
grande forman una distribución normal con una desviación estándar.=1 minuto. Si se elige al azar una
muestra de 17 tiempos, encuentre la probabilidad de que la varianza muestral sea mayor que 2.
Solución
Primero se encontrará el valor de ji-cuadrada correspondiente a s2=2 como sigue:
El valor de 32 se busca adentro de la tabla en el renglón de 16 grados de libertad y se encuentra que a este
valor le corresponde un área a la derecha de 0.01. En consecuencia, el valor de la probabilidad es P(s2>2)
Tabla de distribución ji cuadrada
Esta tabla presenta la distribución de probabilidad de ji-cuadrado para distintos valores de k y de x
presentándolo con seis cifras decimales, separadas de tres en tres por un espacio en blanco para facilitar la
lectura, en la fila superior están los valores de k, y en la columna de la izquierda los de x, donde se cruzan la
columna de la k buscada y la fila de la x, se encuentra el valor de la probabilidad acumulada desde 0 a la x
buscada.
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