ESTABILIDAD

Serie 10
ESTABILIDAD
Condición de estabilidad
uU
Rr
+
-
GKcC
GGuU
Gp
G
Gv
G
V
P
+
+
cC
H
H
G ( s ) = GC ( s ).GV ( s ).GP ( s ).H ( s )
G =1
1 + G (s) = 0
G ( s ) = −1
φ = −180°
Localización de las raíces
Plano s
E
S
T
A
B
L
E
I
N
E
S
T
A
B
L
E
CRITERIOS DE ESTABILIDAD
Routh – Hurwitz
Bode
Nyquist
Lugar de las raíces
Criterio de Routh-Hurwitz
Se llama polinomio característico al denominador de la función
de transferencia G(s) de lazo cerrado.
Se llama ecuación característica al polinomio característico = 0.
El polinomio debe tener los términos ordenados en potencias
decrecientes de s. Es condición necesaria pero no suficiente para
que el sistema sea estable que el polinomio sea completo y que
todos los coeficientes sean positivos.
ai ⟩ 0
Arreglo de Routh
Los coeficientes del polinomio deben ordenarse
en filas y columnas, según el siguiente arreglo:
Criterio de Routh-Hurwitz
Si alguno de los coeficientes es cero o negativo, entonces
existe al menos una raíz imaginaria o con parte real positiva.
El criterio de Routh-Hurwitz establece que el número de raíces
con parte real positiva (semiplano derecho) es igual al número
de cambios de signo en la primera columna de la tabla.
Condición necesaria y suficiente de estabilidad de Routh:
Un sistema será estable si y sólo si todos los elementos de la
primera columna del Arreglo de Routh son positivos.
Limitación: El criterio de Routh no puede aplicarse en sistemas
que presentan retardos puros.
Criterio de Bode
Se construye el diagrama de Bode de G(s).H(s)
ω crítica
-180°
Un sistema es estable si RM < 1 para φ = –180° (ω
ω = ω crítica). Si RM = 1
para φ = –180°, el sistema es críticamente estable y se considera inestable.
Margen de ganancia y Margen de fase
1
MG =
para φ = -180°
RM
MG recomendado = 1.7
MF = φ − (−180°) para RM = 1
MF recomendado = 30°
Diagrama de Nyquist
Se construye a partir del diagrama de Bode.
G ( s ) = GC ( s ).GV ( s ).GP ( s ).H ( s )
G( s) =
NG ( s )
DG ( s )
1 + G (s) = 1 +
NG ( s ) DG ( s ) + NG ( s )
=
=0
DG ( s )
DG ( s )
Im
G (ωj )
G (ωj ) = Re(ω ) + j. Im(ωj )
Im
φ (ω ) = arctg ( )
Re
φ
Re
Diagrama de Nyquist
1.- Con el diagrama de Bode de G(s), construir el diagrama de Nyquist de G(s).
2.- Construir la imagen especular (que no tiene sentido físico), respecto del eje
real, para obtener el circuito cerrado desde ω=-∞ hasta ω=+∞.
1
G ( s ) = K .∏
i =1 Ti.s + 1
m
K m
1
G ( s ) = n .∏
s i =1 Ti.s + 1
Ti > 0
Ti > 0
El diagrama partirá desde K sobre el eje real,
recorrerá m cuadrantes en sentido horario y
terminará en el origen.
El circuito desde ω=-∞ hasta ω=+∞ no queda
cerrado. A los efectos de aplicar el criterio, el
circuito debe cerrarse con una circunferencia de
radio infinito, desde ω=-0 hasta ω=+0, en el
sentido horario, de nπ grados, donde n es el
exponente de s.
Diagrama de Nyquist
ω=-∞
ω=-0
G (s) =
K
T .s + 1
Ti > 0
ω=+∞
K
G ( s ) = K .e − Ls
K
ω=0
ω=0
Diagrama de Nyquist
K .(T2 .s + 1)
G (s) = 2
s .(T1.s + 1)
T1<T2
Im
K .e − Ls
G(s) =
(T .s + 1)
T1=T2
T1>T2
Im
1
G ( s) =
s
ω=-0
ω=+∞
ω=+∞
Re
Re
K
ω=+∞
ω=0
ω=0
Criterio de estabilidad de Nyquist
NG ( s ) NG ( s ) + DG ( s )
1 + G ( s) = 1 +
=
DG ( s )
DG ( s )
Z = Ceros = Número de raíces con parte real positiva de 1 + G(s).
P = Polos = Número de raíces con parte real positiva de DG(s).
N = Número de veces que el punto (-1,0) queda encerrado al recorrer el diagrama
de Nyquist en sentido antihorario, desde ω=-∞ hasta ω=+∞. Si el punto (-1,0)
quedara encerrado al recorrer el diagrama de Nyquist en sentido horario, N debe
considerarse negativo.
Conociendo P (a partir de las funciones de transferencia) y obteniendo N del
diagrama de Nyquist, puede hallarse Z.
Z=P–N
Condición que debe cumplirse para que un sistema sea estable:
Z=0
P=N
Ejemplo 1
G (s) =
K
(T1s + 1).(T2 s + 1)
P=0
N=0
Z=0
G(s)
Ejemplo 2
P=0
N=0
Z=0
K
G(s) =
s.(T1s + 1).(T2 s + 1)
P=0
N = -2
Z = -2
Método del lugar de las raíces
G ( s ) = GC ( s ).GV ( s ).GP ( s ).H ( s )
NG ( s )
G ( s) = K 0 .
DG ( s )
NG ( s )
1 + K0.
=0
DG ( s )
Se trata de representar gráficamente la variación del valor de las raíces de 1+G(s) con la
variación de KC en un plano Im vs. Re.
Se aplican una serie de reglas para poder construir la curva de raíces sin necesidad de
resolver la ecuación.
Sean zi los ceros (raíces de NG(s) = 0)
Sean pi los polos (raíces de DG(s) = 0)
Las reglas aplican si se cumplen las siguientes condiciones:
El grado del polinomio del denominador (n) debe ser mayor que el del numerador (m).
El sistema debe tener realimentación negativa.
Como notación gráfica, se usan “x” para marcar los polos y “o” para marcar los ceros.
Método del lugar de las raíces
m
NG ( s )
K0.
= −1
DG ( s )
∏ (T s + 1)
j
K0.
j =1
n
= −1
∏ (T s + 1)
i
i =1
m
∏ (s − z )
j
Complejo
K.
j =1
n
∏ (s − p )
i
i =1
m
K.
∏ (s − z j )
j =1
n
= −1
m


(
T
)

∏
j 
 donde K = K . j =1

0
n


(
T
)

∏
i 

i =1


m
=1
∏ (s − p )
i
i =1
Criterio de magnitud
n
∑ φ (s − z − ∑ p
j
j =1
i
= π .(2.r + 1)
i =1
r = 0,±1,±2,±3,...
Criterio de ángulo
Reglas para usar el método
Regla 1: El número de ramas o lugares es igual al número de polos (n).
Regla 2: Las ramas comienzan en los polos y terminan en los ceros. Las
terminaciones de las n-m ramas de las curvas ocurrirán en ceros en el infinito. En el
caso de polo múltiple, emergerán del mismo tantas ramas como multiplicidad tenga.
En el caso de cero múltiple, terminarán en el mismo tantas ramas como sea su
multiplicidad.
Regla 3: El eje real es parte de la curva de raíces cuando la suma del número de
ceros y polos a la derecha de un punto sobre el eje real es impar. Esta regla es sólo
válida para polos y ceros sobre el eje real (los ceros y polos complejos cancelan sus
efectos). Por otra parte, cada polo o cero múltiple debe ser contado tantas veces
como sea su multiplicidad.
Regla 4: Existirán n-m ramas que aproximarán (a medida que K tienda a infinito) en
forma asintótica a n-m líneas rectas que nacen en el centro de gravedad de polos y
ceros. El centro de gravedad está dado por:
n
m
∑ p −∑z
i
γ=
i =1
j =1
n−m
j
Reglas para usar el método
Regla 5: El punto en el cual emergen las ramas de la curva de raíces del eje real
está dado por la siguiente ecuación:
n
1
1
=
∑
∑
j =1 s − z j
i =1 s − pi
m
Las ramas salen o entran al eje real con ángulos de +/- 90°.
Regla 6: Las asíntotas definidas en la regla 4 forman ángulos con el eje real:
Ψ=
π (2k + 1)
k = 1, 2, 3,..., (n - m - 1)
n−m
y por lo tanto estarán espaciadas 180°/(n-m) unas de otras.
Se pueden hacer más reglas para la construcción de curvas de raíces, pero
las enunciadas son las de mayor y más común utilidad.
Ejemplo 1
G( s) =
KC
(0.5s + 1).(0.2 s + 1)
NG ( s ) = K C
DG ( s ) = (0.5.s + 1).(0.2.s + 1)
Z = ceros = 0
1 + G ( s ) = NG ( s) + DG ( s) = 0
P = polos = 2 (" x" en el diagrama
en los puntos (-5,0) y (-2,0))
m
∏ (s − z )
m
j
G(s) = K .
j =1
n
=
∏ (s − p )
K
( s + 2) . ( s + 5)
j
K = KC .
i
j =1
n
=
∏ (T )
i =1
KC
K
= C
T 1.T 2 0.1
i
Aplicación de reglas:
Número de ramas = 2. Las ramas terminan en ∞.
n
m
∑ p −∑z
i
Centro de gravedad γ =
∏ (T )
i =1
j =1
n−m
(2.k + 1).π
Angulo de asíntotas Ψ =
2
−
j
=
i =1
1
1
−
0.2 0.5 = − 7
2−0
2
(k = 0 hasta n - m - 1) ⇒ Ψ1 =
.π
2
y Ψ2 =
3.π
2
Ejemplo 1
Las raíces se mueven por el eje real hasta el centro de gravedad y luego por
la asíntota hasta ∞. El sistema nunca será inestable, pues las raíces se mueven
siempre sobre el semiplano izquierdo del gráfico (para cualquier valor de K).
Aumentando K, habrá un valor para el cual las raíces serán iguales.
Si K sigue aumentando, comenzarán a
aparecer pares de raíces complejas
Im
conjugadas y el sistema tendrá
oscilaciones, pero seguirá siendo
estable. Para K tendiendo a infinito,
las raíces serán imaginarias puras y
el sistema presentará oscilaciones
de amplitud constante.
x
x
-5
γ
-2
Re
Ejemplo 2
NG ( s ) = K
DG ( s ) = ( s + 1).( s + 2).( s + 3)
K
G( s) =
( s + 1).( s + 2).( s + 3)
3
2
NG ( s ) + DG ( s ) = s + 6 s + 11s + K + 6 = 0
P = polos = 3 (-1, - 2, - 3)
Z = ceros = 0
Aplicación de reglas:
Número de ramas = 3. Las ramas terminan en ∞.
n
m
∑ p −∑z
i
Centro de gravedad γ =
i =1
j =1
n−m
(2.k + 1).π
Angulo de asíntotas Ψ =
3
j
=
− 3 − 2 −1
= −2
3
π
5π
( Ψ1 = , Ψ 2 = π , Ψ 3 = )
3
3
El punto en el cual emergen las raíces es:
n
1
1
=
∑
∑
j =1 s − z j
i =1 s − pi
m
0=
1
1
1
+
+
s +1 s + 2 s + 3
s = −1.42
Ejemplo 2
La curva de raíces corta al eje imaginario. En los puntos de
cruce, las raíces son imaginarias puras. A medida que
aumenta K, el sistema se hace más oscilatorio. Existe un
valor de K para el cual el sistema se hace inestable. Esa K
máxima se calcula con el arreglo de Routh, igualando a
cero el primer elemento de la fila s1. Con los elementos de
la fila s2 y usando K máxima, se obtienen los valores de las
raíces imaginarias puras.
s 3 + 6 s 2 + 11s + K + 6 = 0
s3
1
11
s2
6
K+6
s1
b1
s0
c1
Im
11.6 − ( K + 6)
b1 =
= 0 ⇒ K máx = 60
6
6s 2 − ( K máx + 6) = 0 ⇒ s = ±3.3166 j
-∞
∞
Asíntota
γ
x
x
-3
-2
Asíntota
Asíntota
x
-1.42
-1
Re
AJUSTE DE CONTROLADORES
Los ajustes son los valores óptimos de los parámetros del controlador, obtenidos en
función del modo de control y del método aplicado. Teóricamente, son óptimos los
valores de KC, TI y TD que hacen mínima alguna de las siguientes expresiones:
∞
IE = ∫ e(t )dt
0
∞
IAE = ∫ e(t ) dt
0
∞
ITAE = ∫ e(t ) tdt
0
∞
ISE = ∫ e 2 (t )tdt
0
Para aplicar estos criterios, es necesario que el error se anule a tiempo infinito (TVF).
Los ajustes dependen de la forma de la perturbación y del punto de ingreso de la misma.
Los ajustes obtenidos por distintos métodos pueden ser diferentes.
Los ajustes hallados muchas veces no son los mejores en planta.
Dadas las dificultades crecientes encontradas con los métodos anteriores, aparecieron
algunos métodos empíricos de ajuste controladores:
Método de lazo abierto (curva de reacción, Cohen - Coon)
Método de lazo cerrado (oscilaciones sostenidas – Ziegler - Nichols)
Método de las oscilaciones amortiguadas
Método de los ajustes progresivos
Producto de la ganancia última por la frecuencia crítica
Control de modelo interno
MÉTODO DE LAZO CERRADO
Conocido como método de las oscilaciones sostenidas o método de Ziegler y Nichols. Con
el controlador solamente proporcional (TI= ∞ y TD = 0), se introduce un cambio escalón en
el valor deseado y se va cambiando el valor de KC hasta obtener una respuesta oscilatoria
de amplitud constante. En esa condición, se determinan la ganancia límite (KL) y el período
último (TU). Luego, se calculan los parámetros del controlador, según el tipo de control.
Ziegler y Nichols propusieron los ajustes en base al criterio de relación de decaimiento 1/4.
La relación de decaimiento es el cociente entre dos picos sucesivos de la onda de respuesta
del sistema. El método tiene algunas desventajas. Requiere perturbar el sistema que está
funcionando. No puede aplicarse cuando el diagrama de Bode presenta cruces para -180°
en más de una frecuencia.
2π
TU =
KC
TI
TD
ωC
P
0 .5 K L
P+I
0 . 45 K L
TU
1 .2
P+I+D
0 .6 K L
TU
2
TU
8
MÉTODO DE LAZO ABIERTO
Conocido como método de la curva de reacción O método de Cohen y Coon.
1.- Abrir el lazo (colocar el controlador en modo “manual”)
2.- Introducir un escalón en U de magnitud M
3.- Registrar la respuesta, asimilándola a primer orden con retardo puro ( G ( s) = K e − Ls )
Ts + 1
4.- Obtener los parámetros L, T y K de la curva
5.- Calcular ajustes
El cálculo de los ajustes está basado en la minimización de la integral del error absoluto.
Ziegler y Nichols propusieron ajustes que Cohen y Coon modificaron. Esas
modificaciones se vuelven importantes cuando L no es desestimable frente a T.
U
PARÁMETROS Y AJUSTES
Se traza una tangente a la curva que pase por el punto de inflexión. De la intersección con el eje de
abscisas se obtiene L. De la intersección con el eje de máximo valor de respuesta se obtiene T. La
ganancia será el cociente entre la amplitud (V) y el escalón de entrada (M).
c(t)
K − Ls
e
Ts + 1
G(s) =
M
0.632V
a=
VL
T
V
b=
a
t
T
0
L
K=
T+L
L
T
V
M
PARÁMETROS Y AJUSTES
Ziegler y Nichols
1
a
0 .9
a
1 .2
a
Cohen y Coon
KC
P
P+I
P+I+D
TI
3L
2L
0 .5 L
TD
b
T
(1 + )
LK
3
T
9
b
)
(
+
LK 10 12
L(
30 + 3 b
)
9 + 20 b
T
4 b
( + )
LK 3 4
L(
32 + 6 b
)
13 + 8 b
4L
11 + 2 b