Brownian motion (in Spanish)

Caminantes aleatorios.
Secuencias Aleatorias
Contenidos
1. Secuencias aleatorias.
– Caminantes aleatorios.
– Movimiento Browniano.
La hipótesis de eficiencia de los mercados implica que la
cotización de un tı́tulo en el mercado bursátil se comporta
como un caminante aleatorio. Por ello, vamos a estudiar
desde un punto de vista numérico las propiedades de este
caminante random walk.
• Supongamos una “partı́cula” cuya dinámica se desarrolla
en
– Tiempo discreto t = 0, 1, 2, . . .
– Espacio discreto n = 0, ±1, ±2, . . .
Nota: En finanzas la variable “espacio” corresponde al precio o al
rendimiento del subyacente.
• La dinámica de la partı́cula es estocástica, y puede ser
expresada con la siguiente ecuación
ξn←m(t)Im(t),
In(t + 1) =
m
donde In(t) es un indicador igual a 1 si la partı́cula
se encuentra en el nodo n en tiempo t, y cero en
caso contrario. La variable ξn←m(t) es una variable
estocástica que indica si en el tiempo t hay un salto de
la partı́cula del nodo m al nodo n.
1
• Dado que la dinámica es estocástica, tiene más sentido
estudiar la evolución de un conjunto de caminantes
aleatorios:
Sea la configuración de nuestro sistema de caminantes
aleatorios {Pn(t); n = 0, ±1, ±2, . . .}, donde Pn(t) es
la fracción de partı́culas en el nodo n a tiempo t. La
ecuación de evolución en promedio de esta distribución
es
Wn←mPm(t)
Pn(t + 1) = Pn(t) +
−
m=n
Wm←nPn(t),
τ =1
donde
Xτ =
+1
con probabilidad p
−1 con probabilidad (1 − p)
– La ecuación de evolución es
Pn(t + 1) = pPn−1(t) + (1 − p)Pn+1(t)
– La solución con la condición inicial Pn(0) = δn0 es
m=n
donde Wm←n es la probabilidad de transición del nodo
n al nodo m.
Utilizando la propiedad
• Consideremos el caso que el camino aleatorio sea de la
forma
t
Xτ
Zt = Z0 +
P (Zt = n|Z0 = 0) =
t
1
2 (t + n)
p(t+n)/2(1−p)(t−n)/2 ,
si n y t tienen la misma paridad, 0 en caso contrario.
– Propiedades:
Wm←n = 1,
∗ Para p = 1/2 la distribución de probabilidad
es el triángulo de Tartaglia, con un factor de
normalización.
m
la ecuación se puede reescribir como
Wn←mPm(t).
Pn(t + 1) =
∗ Homogeneidad en el espacio y en el tiempo
m
P (Zt = n|Zτ = m) = P (Zt−τ = n − m|Z0 = 0)
2
3
∗ La solución para una condición inicial distinta es
Pn(t) =
Barreras.
Pm(0)P (Zt = n|Z0 = m)
m
Consideremos las propiedades del caminante aleatorio en
presencia de barreras
∗ Probabilidad de vuelta al origen
P (Zt = 0|Z0
0
= 0) =
2ττ p (1 − p)
τ
τ
si t = 2τ + 1
• ¿ Cual es la probabilidad que un caminante aleatorio que
comienza en a alcance N > a antes que 0 ?
si t = 2τ
P (Zt = N antes que Zt = 0|Z0 = a)
a
∗ Número de visitas medias al punto de partida
=
∞
1
P (Zt = 0|Z0 = 0) =
N0 =
|1 − 2p|
t=0
a/N
∞
m
m=0
m
si p =
si p =
1
2
1
2
• Considerar un sistema con la siguiente ecuación dinámica
Nota: Se ha utilizado la igualdad
2m x
((1−p)/p) −1
((1−p)/p)N −1
Pn(t + 1) = pPn+1(t) + qPn−1(t),
1
= √
1 − 4x
con p + q = 1, y las condiciones de contorno
∗ Probabilidad de regreso al punto de partida
P0(t) = 0;
P (Zt = 0 para algún t > 0|Z0 = 0) = 1 − |2p − 1|
∗ El tiempo medio de regreso al origen diverge.
La solución estacionaria es
n
Pn =
4
PN (t) = 1.
(q/p) −1
(q/p)N −1
n/N
si p = 1/2
si p = 1/2
5
• Considerar un problema donde cada partı́cula puede
encontrarse en los nodos n = 0, 1, 2, 3, 4 de una cuerda.
La evolución es del tipo
Pn(t + 1) =
4
la distribución de equilibrio es
(∗)
= 5.263
(∗)
= 13.158
(∗)
= 13.158
(∗)
= 13.158
(∗)
= 5.263.
P0
P1
Wn←mPm(t),
P2
m=0
P3
con la matriz de probabilidades de transición
⎛
⎞
0 0.4 0
0 0
⎜ 1 0.2 0.4 0 0 ⎟
⎜
⎟
⎟,
0
0.4
0.2
0.4
0
W=⎜
⎜
⎟
⎝ 0 0 0.4 0.2 1 ⎠
0 0
0 0.4 0
P4
En MATLAB: La instrucción de MATLAB sobre la
matriz cuadrada M
[V,D] = eig(M)
correspondiente a dos barreras reflectantes en n = 0, 4.
La distribución estacionaria viene dada por la ecuación
de autovalores
WP ∗ = P ∗.
Para una distribución original
(∗)
= 10
(∗)
= 10
(∗)
= 10
(∗)
= 10
(∗)
= 10
P0
P1
P2
P3
P4
6
devuelve en
V
=⇒ Matriz de autovectores normalizados
D =⇒ Vector con los autovalores correspondientes
7
con una constante de difusión
Relación entre el caminante aleatorio y
un proceso de difusión.
D=
El caminante aleatorio es la versión discreta de un proceso
de difusión
•
• Caso asimétrico
P (x, t + ∆t) = [pP (x + ∆x, t) + qP (x − ∆x, t)] ,
con p + q = 1
Caso simétrico
Consideremos un caminante aleatorio simétrico, en un
espacio y tiempo discretos
P (x, t + ∆t) =
(∆x)2
∆x→0,∆t→0 2∆t
lim
1
[P (x + ∆x, t) + P (x − ∆x, t)] .
2
– La ecuación se puede reformular de la siguiente forma
– La ecuación se puede reformular de la siguiente forma
P (x, t + ∆t) − P (x, t) =
1
(p − q) [P (x + ∆x, t) − P (x − ∆x, t)] +
2
1
(P (x + ∆x, t) + P (x − ∆x, t) − 2P (x, t))
2
– En el lı́mite continuo (∆x → 0, ∆t → 0), la ecuación
en diferencias finitas se convierte en la ecuación de
difusión con un término de advección
P (x, t + ∆t) − P (x, t)
1
= (P (x + ∆x, t) + P (x − ∆x, t) − 2P (x, t)) .
2
– En el lı́mite continuo (∆x → 0, ∆t → 0), la ecuación
en diferencias finitas se convierte en la ecuación de
difusión
∂P (x, t) (∆x)2 ∂ 2P (x, t)
=
,
∂t
2∆t
∂x2
∂P (x, t) (∆x)2 ∂ 2P (x, t)
∂P (x, t)
= (p − q)
+
,
∂t
∂x
2∆t
∂x2
con una constante de difusión
D=
8
(∆x)2
2∆t
9
• En 2-D
Movimiento Browniano.
1
[P (x − ∆x, y, t) + P (x, y − ∆y, t)
4
+ P (x + ∆x, y, t) + P (x, y + ∆y, t)] ,
P (x, y, t + ∆t) =
En el lı́mite continuo (∆x → 0, ∆y → 0, ∆t → 0), la
ecuación en diferencias finitas se convierte en la ecuación
de difusión en 2 dimensiones
Consideremos la ecuación diferencial estocástica
dZt = µdt + σdWt,
con ruido blanco y Gaussiano.
∂ 2P (x, y, t)
∂ 2P (x, y, t)
∂P (x, y, t)
= Dxx
+ Dyy
,
∂t
∂x2
∂y 2
• Ecuación de Langevin
con coeficientes de difusión constantes
Dxx =
2
(∆x)
,
2∆t
Dyy =
(∆y)
2∆t
dZt
≡ Ż(t) = µ + σξ(t)
dt
con las propiedades
2
ξ(t) = 0
ξ(t)ξ(s) = δ(t − s)
– Formalmente, la solución de la dinámica puede
escribirse como
Z(t) = Z0 + µt + σ
10
0
t
dτ ξ(τ )
11
– El promedio evoluciona según la ecuación
– Ecuación de Fokker-Planck
Z(t) = Z0 + µt
– Definiendo
Definimos la densidad de probabilidad
P (x, t) ≡ P (Zt = x, t),
Ẑ(t) = Z(t) − Z(t) ,
el segundo momento central evoluciona según la
ecuación
Ẑ(t)Ẑ(t) = σ 2 t
– Autocovarianza
que satisface la ecuación
∂
1 ∂2
∂
P (x, t) = −µ P (x, t) + σ 2 2 P (x, t).
∂t
∂x
2 ∂x
Esta ecuación recibe el nombre de ecuación de
Fokker-Planck.
∗ Para la condición inicial
Ẑ(t)Ẑ(t0) = σ 2min(t, t0)
– Ver demoBrownianoAritmetico.m
P (x, 0) = δ(x − Z0)
tiene la solución
(z − µt)2
,
exp −
K(x, t) = √
2σ 2t
2πσ 2 t
1
con z = x − Z0.
12
13
∗ Para una condición inicial arbitraria
– Propiedades del movimiento Browniano
P (x, 0) = P0(x)
En este apartado estudiaremos de manera numérica
alguna de las propiedades del movimiento Browniano
con µ = 0, σ = 1.
la ecuación de Fokker-Planck tiene la solución
∞
dx K(x − x , t)P0(x )
P (x, t) =
∗ Tiempo de primer paso
−∞
∗ la evolución del promedio
xt ≡
∞
−∞
T (x) = inf {t > 0 : Wt = x}
La distribución de probabilidad es
xP (x, t)
2
x
|x|
,
exp −
P (T (x) = t) = √
2t
2πt3
sigue la ecuación
d
xt = µ =⇒ xt = xt + µt
dt
t≥0
∗ Máximo en un intervalo
∗ El momento central de orden 2
∞
2
2
x2P (x, t) − xt
x̂ t ≡
M (t) = max {Ws : 0 ≤ s ≤ t}
La distribución de probabilidad es
−∞
P (M (t) = u) =
sigue la ecuación
2
u
2
exp −
,
πt
2t
t≥0
d 2
x̂ t = σ 2 =⇒ x̂2 t = x̂2 0 + σ 2t
dt
14
15
∗ Nota:
Puente Browniano
Las distribuciones de probabilidad acumulada de
T (x) y de M (t) están relacionadas
P (T (x) ≤ t) = P (M (t) ≥ x)
∞
2
u
2
,
du exp −
=
πt x
2t
Objetivo:
t, x ≥ 0
∗ Probabilidad de regreso a 0
Simular un proceso de Wiener que tome los valores
W0, W1, . . . , WN en los instantes t0 < t1 < . . . < tN .
Consideremos el instante t, tn ≤ t ≤ tn+1
Dado un proceo Browniano que comienza en 0 para
t = 0 la probabilidad de encontrar un cero en el
intervalo (t0, t1) es
2
t0
P ( cero en (t0, t1)) = arccos
π
t1
P [W (t) = B | W (tn ) = Wn, W (tn+1 ) = Wn+1]
=
P [W (t) = B, W (tn+1 ) = Wn+1 | W (tn ) = Wn]
P [W (tn+1 ) = Wn+1 | W (tn ) = Wn]
Usando las expresiones
P [W (t) = B, W (tn+1 ) = Wn+1 | W (tn ) = Wn ]
1
exp −
(B − W
2
2π
n )(Wn+1 − Wn ) ·
P [W (tn+1 ) = Wn+1 | W (tn ) = Wn ]
16
=
(t − tn )
(t − tn )
=
(t − tn )
(tn+1 − tn )
2π(t
1
(t − tn )
(t − tn )
−1 1
n+1 − tn )
·
exp
(t − tn )
(tn+1 − tn )
Z − Wn
Wn+1 − Wn
(Wn+1 − Wn )2
−
2(tn+1 − tn )2
17
con el resultado
P [W (t) = B | W (tn ) = Wn, W (tn+1 ) = Wn+1]
√
1
2πσnB (t)
2
(B − µB
n (t))
−
2[σnB (t)]2
exp
µB
n (t) = Wn +
[σnB (t)]2 =
Movimiento Browniano como lı́mite
contı́nuo del caminante aleatorio
=
t − tn
Wn+1
tn+1 − tn
Consideremos el problema de lanzar una moneda N veces.
El objetivo es encontrar la distribución del número de caras
n obtenidas a lo largo de N lanzamientos
(t − tn)(tn+1 − t)
tn+1 − tn
Pn(t + 1) = (1 − p)Pn(t) + pPn−1(t)
Esta fórmula sugiere dos maneras de realizar una simulación
de un puente Browniano para valores tn ≤ t ≤ tn+1
< n(N + 1) >=< n(N ) > +p,
• Método 1
B(t)
• La evolución para el promedo de caras obtenidas es
=
cuya solución en
t − tn
Wn +
(Wn+1 − Wn) +
tn+1 − tn
< n(N ) >= pN
(t − tn )(tn+1 − t)
X,
tn+1 − tn
• La distribución de probabilidad buscada es
donde X ∼ N (0, 1).
wN (m) =
• Método 2
B(t) = W (t) −
t − tn
(W (tn+1 ) − Wn+1)
tn+1 − tn
N!
(1 − p)N −mpm.
m!(N − m)!
Antes de buscar el lı́mite asintótico de esta distribución,
es necesario derivar el lı́mite asintótico del factorial es
necesario
donde W (t) es un Browniano tal que W (tn ) = Wn.
18
19
•
• Utilizando la fórmula de Stirling para m, N → ∞
Fórmula de Stirling
Vamos a derivar la fórmula de Stirling mediante la
evaluación asintótica de una cuadratura
∞
dt tne−t
n! =
0
– Realizamos el cambio de variable t = sn
∞
n+1
ds exp {−n(s − log s)}
I =n
0
– Buscamos el valor para el cual el exponente y(s) =
s − log s es mı́nimo
N!
(1 − p)N −mpm
(N − m)!m!
wN (m) =
NN
N
≈
(1 − p)N −m pm
N
−m
m
2πN (N − m)m (N − m)
m
m−N −1/2 −m−1/2
1
m
(N − m)
= Np
2πN p(1 − p) N (1 − p)
• Definiendo la nueva variable
x ≡ m − Np
y (s) ≡ 1 − 1/s = 0 =⇒ s = 1.
podemos escribir
– Hacemos un desarrollo cuadrático del exponente en
torno al mı́nimo
1
y(s) = 1 + (s − 1)2 + . . .
2
– Evaluamos
la
integral
gaussiana
(extendiendo el lı́mite inferior a −∞)
I ≈ n(n/e)n
∞
−∞
ds
(s−1)2
−n
2
e
wN (m) ≈
1
2πN p(1 − p)
(x−N (1−p)−1/2) x
1−
N (1 − p)
x
1+
Np
−(x+N p+1/2)
.
resultante
√
= 2πn(n/e)n , n → ∞
20
• Anticipando que la variable
√
x ≈ O( N ), N → ∞
21
y utilizando el desarrollo
(1 + x) = exp(ln(1 + x)) = exp(x −
x2
+ . . .)
2
obtenemos
x2
1
exp −
,
wN (m) ≈ 2N p(1 − p)
2πN p(1 − p)
que corresponde a un movimiento Browniano para x con
t
∆t
µ = 0
1
σ2 =
p(1 − p)
∆t
N
=
22