Problemas 31-35 Ficheiro

Nota: La resolución de los problemas debe acompañarse siempre de la gráfica adecuada. No la incluyo, pero la podéis dibujar fácilmente con GeoGebra. 31. Método alternativo, interesante en ocasiones, aunque no mucho en esta: Las ecuaciones de las tangentes t y t’ serán de la forma 3x + 4y + C = 0. Una forma de determinar C es hacer que el sistema formado por las ecuaciones de circunferencia y recta tenga una sola solución. Despejamos la y en la ecuación de las tangentes y sustituimos en la de la circunferencia: 3
4
⇒
3
⇒ 16
⇒ 25
3
4
96
144
120 6
1
25 ⇒
16
8
4
4
24
3
9
8
6
240
3
25
400
0 Para que exista una sola solución, el discriminante de esta ecuación de 2º grado debe ser cero: 120
⇒
4 25
6
10
600
8
0⇒
240
0⇒
10
√100
2
64
2400
640 10
50
2
38400
30
20
Las dos rectas son entonces t: 3x + 4y + 30 = 0, t’: 3x + 4y – 20 = 0 Este método es más apropiado para hallar las tangentes a una cónica no circular. Otra forma más simple: La distancia del centro a la recta debe ser igual al radio. El centro es el punto (‐3, 1) y el radio 5. Entonces, |
|
√
5⇒| 5
|= 25 ⇒‐5 C 25⇒C 5 25 30 20
32. Las tangentes t y t’ serán de la forma 4x + 3y + C = 0, perpendiculares a la recta r dada. Podemos hallar los puntos de la circunferencia por los que pasan. Estos serán los puntos de intersección del diámetro paralelo a la recta dada con la circunferencia. El centro de la circunferencia es (2, ‐2), obtenido dividiendo los coeficientes de x e y por ‐2; Este punto pertenece a la recta r, por lo que ésta es el diámetro buscado. Veamos los puntos en los que corta a la circunferencia, despejando y en la ecuación de la recta y sustituyendo en la de la circunferencia: :3
4
14
3
0⇒
14
4
9
⇒ 16
4
⇒
84
12
3
⇒
14
4
4
196
14
17
16
496 0 ⇒ 25
100
√16 48 4 8
6
2
2
2
4
0⇒
3
0
300
0
En la ecuación de r tenemos que x=6 ⇒y=1, x = ‐2 ⇒ y = ‐5. Las ecuaciones de las tangentes son entonces t: 4x + 3y – 27 = 0 y t’: 4x + 3y + 23 = 0. También podemos hacer que la distancia de las tangentes al centro sea igual que el radio, como en el problema anterior. 33. Dividimos la ecuación de la circunferencia c por 4 para obtener el centro y el radio: :
33
4
6
0 ⇒
3,
1
,
2
9
1
4
33
4
1⇒
1 La circunferencia c’ pedida tiene el mismo centro y radio ½ : 1
2
3
1
⇒ :
4
6
9
0 34. Si debe ser tangente a los ejes de coordenadas, su centro debe estar en una de sus bisectrices, lugar geométrico de los puntos que equidistan de ellos. Como debe pasar por el punto P(2, 9),l su centro estará en la bisectriz del primer cuadrante, y = x. Las coordenadas del centro serán entonces iguales, C = (a, a). La distancia de C a ambos ejes es a, y es igual ala distancia : 2
9
22
√22
2
⇒
4
4
18
81
4 85
22
√484
2
340
22
⇒
12
2
11
22
6
85
0 ⇒ 17
5
El valor a es a la vez el radio y las dos coordenadas del centro. Las ecuaciones de las dos circunferencias solución son entonces: :
′:
10
34
10
34
25 0
289 0
|
35. El radio es la distancio del centro a la recta: de la circunferencia pedida es :
2
|
√
8
8
0 3, con lo que la ecuación