análisis de fuerzas internas

ANÁLISIS DE FUERZAS INTERNAS
Fuerzas Internas
Introducción
Hasta ahora se ha estudiado la parte del análisis estructural denominada mecánica donde se determina la
resultante y se averigua si esta en equilibrio o no. Si la resultante es nula el cuerpo esta en equilibrio estático,
condición general de las estructuras; si la resultante es diferente de cero, se suman las fuerzas inerciales para obtener
un equilibrio dinámico.
Por otra parte la rama denominada resistencia de materiales, establece las relaciones entre las cargas
aplicadas y los efectos en el interior de los elementos estructurales1 partiendo de los principios de la mecánica.
Definición
Para estudiar los efectos de las cargas aplicadas, es necesario conocer la magnitud de las fuerzas internas. Las
fuerzas internas son las que están en el interior de los elementos y son las que mantienen unidas todas las partes del
cuerpo (Beer y Johnston, 1979; Singer y Pytel, 1982,).
Formas de estudio
La forma de obtener las fuerzas internas representa de forma global el procedimiento típico del análisis
estructural, importante tener siempre en cuenta para cualquier estudio de un sistema estructural.
Primero se aísla el elemento o miembro de una disposición particular de elementos estructurales. Sobre este se
indica todas las fuerzas aplicadas y reacciones que actúan sobre él2. Esta indicación de fuerzas se denomina
diagrama de cuerpo libre del elemento.
Figura 1. Plano de corte perpendicular (Nota: Según Resistencia de materiales. (p. 2), por Singer, F. y Pytel, A.
1982. México, D.F., México: Harla, s.a. de c.v.)
1
Estos efectos en los elementos estructurales son los esfuerzos y las deformaciones que producen las cargas.
2
Las reacciones se determinan por aplicación de las ecuaciones de la estática. En problemas hiperestáticos,
las ecuaciones de la estática se complementa con consideraciones cinemáticas.
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En el punto en que se desee la magnitud del esfuerzo se hace pasar un plano de corte perpendicular al eje del
cuerpo, y parte de éste, a uno u otro lado de la sección, se separa completamente (véase Figura 1).
En la sección que se investiga se determina el sistema de fuerzas internas necesario para mantener en
equilibrio la parte aislada del elemento.
Una vez resuelto en forma apropiada el sistema de fuerzas que actúa en la sección, las fórmulas establecidas
permitirán determinar los esfuerzos en la sección considerada.
Si se sabe la magnitud del esfuerzo máximo en una sección, se podrá especificar el material apropiado para
ella; o, recíprocamente, si se conocen las propiedades físicas de un material, es posible seleccionar un elemento del
tamaño adecuado.
En algunos otros problemas, el conocimiento de la deformación en una sección arbitraria de un elemento,
originada por las fuerzas internas, permitirá predecir la deformación de la estructura en conjunto y, por tanto, si fuera
necesario, diseñar elementos que no se flexionen o comben excesivamente. (Popov, 1996)
Planos de estudio
El efecto interno depende de la elección y orientación de la sección a estudiar. En general se estudia el plano
XY donde desaparecen tres componentes y queda P, V, M.
Si se orienta un plano de forma tal que se elimine el corte y la resultante sea perpendicular al plano, el efecto
de tensión obtenido es el máximo; esta fuerza es la que en resistencia de materiales se estudia para que la estructura
resista los efectos internos máximos a cualquier combinación de cargas. Conseguir esta orientación del plano es
difícil de lograr, por lo tanto se analizan en planos colocados en la perpendicular al eje del elemento en cualquier
sección (Singer y Pytel, 1982).
Notación y componentes
El primer subíndice indica el plano sobre la que actúa la fuerza y el segundo la dirección de cada una.
Figura 2. Componentes de fuerzas internas (Nota: Según Resistencia de materiales. (p. 3), por Singer, F. y
Pytel, A. 1982. México, D.F., México: Harla, S.A. de C.V.)
Las componentes según el esquema de la Figura 2 son:
Fuerza Axial (Pxx): realiza la acción de tirar y se representa por la fuerza de tracción (tendencia al
alargamiento) y de compresión (tendencia a acortarlo). Se simboliza por P (véase Figura 2 y 3).
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P
P
(a)
P
P
Figura 3. Efecto de tracción (a) y compresión (b).
(b)
Fuerza Cortante (Pxy, Pxz): realiza la acción de deslizamiento de una porción de la sección respecto a la otra.
Se simboliza por V (véase Figura 2 y 4).
V
V
Figura 4. Fuerza cortante.
Momento flector (Mxy, Mxz): realiza la acción de curvar el cuerpo o flexionarlo respecto a los ejes Y o Z. Se
simboliza por My o Mz (véase Figura 2 y 5).
M
M
Figura 5. Momento de flexión.
Momento torsor (Mxx): realiza la torsión sobre el sólido (véase Figura 2 y 6). Se simboliza por T o Mt
(Singer y Pytel, 1982).
T
Figura 6. Momento de torsión.
Fuerza Cortante y Momento Flector en Vigas
Introducción
La cuantificación de las fuerzas internas producidas por la flexión en las vigas (fuerza cortante y momento
flector) es un estudio más complejo que el necesario para estudiar la fuerza axial o el momento torsor, ya que las
fuerzas varían de una sección a otra de la viga. Esta fuerza cortante y el momento flector de la viga producen dos
tipos de efectos importantes para el diseño.
Definición de fuerzas cortante y momento flector en vigas
Para definir la fuerza cortante y el momento flector es necesario aplicar la forma de estudio al caso de una
viga (véase Figura 7). En el caso de las vigas el análisis comienza por realizar un corte aa en un punto cualquiera
(véase Figura 7a) donde se estudia el equilibrio del diagrama de cuerpo libre obtenido del corte en la porción de la
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izquierda. Las fuerzas internas que equilibran las cargas en cada eje son: la fuerza cortante (V) obtenido por las
fuerzas perpendiculares al eje; la fuerza axial (P) obtenida por las fuerzas paralelas al eje y el momento flector (M)
obtenido por la suma de los momentos de las cargas con respecto al punto donde se realizó el corte (véase Figura
7b). Por equilibrio estas fuerzas internas son iguales a las originadas en la porción de la derecha pero con sentido
contrario al obtenido.
En tal sentido, la fuerza cortante representa la suma de las fuerzas perpendiculares al eje que están ubicadas a
la izquierda de la sección analizada. Asimismo, el momento flector representa la suma de los momentos de todas las
fuerzas con respecto a la sección analizada que actúan en la parte izquierda (Singer y Pytel, 1982).
F3
F2
F4
a
a
F1
F5
L
F2
(a)
a
M
P
a
F1
V
F3
a
M
F4
P
V
a
F5
Figura 7. Análisis de una viga para obtener V y M.
(b)
Diagramas
En el diseño de elementos estructurales, se debe buscar el mayor efecto producto de las fuerzas internas, por
ello determinar la fuerza cortante y el momento flector máximo es imprescindible. Obtener estos valores se facilita
mucho mediante un análisis gráfico de la variación de V y M a lo largo de la viga. Estos gráficos se denominan
Diagrama de Fuerza Cortante (DFC) y Diagrama de Momento Flector (DMF).
a
c
b
Figura 8. Convenio de signos de V y M.
d
El convenio empleado para el signo de la fuerza cortante y el momento flector se indica en la Figura 8, donde
el signo positivo de la fuerza cortante y el momento flector se indica en la Figura 8a y 8c respectivamente, lo
contrario es negativo (véase Figura 8b y 8d).
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Relaciones entre la carga, fuerza cortante y momento flector
La construcción del diagrama de fuerza cortante y especialmente del momento flector se facilita si se tienen
en cuenta las relaciones que existen entre carga, fuerza cortante y momento flector.
w
a
b
w
a
b
Figura 9. Relaciones entre la carga, fuerza cortante y momento flector
La relación existente entre la carga y la fuerza cortante es que la pendiente del DFC es igual al valor de la
carga y la diferencia de la fuerza cortante entre dos puntos es igual al área de la carga entre dichos puntos. Asimismo
la relación entre la fuerza cortante y el momento flector es que la pendiente del DMF es igual al valor de V, mientras
que la diferencia entre dos puntos del momento flector es igual al área del DFC entre dichos puntos.
dV
=w
dx
Vb − Va = Area de carga entre a y b
dM
=V
dx
M b − M a = Area de DFC entre a y b
(Ec. 1)
Una consecuencia de esta relación esta en el hecho que el punto donde el momento flector es máximo se
encuentra en el punto donde la fuerza cortante es igual a cero (Beer y Johnston, 1993; Singer y Pytel, 1982).
Bibliografía
−
Beer, F. y Johnston, E. (1979). Mecánica Vectorial para Ingenieros I, Estática. Bogotá, Colombia: McGraw-Hill
Latinoamericana, S.A.
−
Beer, F. y Johnston, E. (1993). Mecánica de materiales. Santafé de Bogotá, Colombia: McGraw-Hill
Interamericana, S.A.
−
Popov, E. (1996). Introducción a la mecánica de sólidos. México, D.F., México: Editorial Limusa, S.A. de C.V.
−
Singer, F. y Pytel, A. (1982). Resistencia de materiales. México, D.F., México: Harla, S.A. de C.V.
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