Tema 15 Crecimiento óptimo: modelos de crecimiento endógeno

Tema 15 Crecimiento óptimo: modelos
de crecimiento endógeno
15.1 El modelo AK de Rebelo (1990).
15.2 El modelo de gasto público de Barro
(1990).
15.3 El modelo de capital humano de Lucas
(1988).
Bibliografía: Sala i Martin 3, 5, 6 y 8
Macroeconomía Avanzada
Asignatura de 5º curso de Economía
Profs. Zenón J. Ridruejo y Julio López Díaz
15.1 El modelo AK de Rebelo (1990)
Escenario de familias productoras
Supuestos
ƒ
Familias:
Determinan óptimamente consumo y ahorro.
Se dedican a la producción de bienes.
Comportamiento
ƒ
Preferencias
∞
U (0) = ∫ e
−( ρ − n ) t
0
ƒ
ct1−θ − 1
dt
1−θ
[1]
Restricción presupuestaria
k&t = Ak t − c t − (δ + n)k t
ƒ
[2]
Hamiltoniano
H =e
ƒ
−( ρ −n ) t
ct1−θ − 1
+ λt ( Ak t − ct − (δ + n)k t )
1−θ
Condiciones de primer orden
Hc = 0 ⎯
⎯→ e − ( ρ −n ) t ct−θ = λt
H b = −λ&t ⎯
⎯→ λt ( A − δ − n) = −λ&t
ƒ
[4]
[5]
Condición de transversalidad
lim λt k t = 0
[6]
c&t 1
= (A − δ − ρ)
ct θ
[7]
t →∞
ƒ
[3]
Tasa crecimiento del consumo
[4] y [5] → γ c
≡
Estado estacionario
Se obtiene el mismo resultado que en el escenario de mercado.
γ k* = γ c* = γ *y = γ * =
Tema 15, pág-1
1
θ
(A − δ − ρ)
[8]
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Asignatura de 5º curso de Economía
Profs. Zenón J. Ridruejo y Julio López Díaz
El escenario del planificador
Mismo resultado que en los casos de familias productoras y mercados, dada la
ausencia de externalidades, y dado que los agentes privados disponen de toda la
información existente.
Dinámica de transición y la hipótesis de convergencia
Dinámica de transición
ƒ
De [27] → En estado estacionario, todas las variables per capita crecen a una
tasa constante.
ƒ
De [24] → El consumo siempre crece a la misma tasa.
Consecuencia: El consumo siempre se encuentra en estado estacionario.
ƒ
El capital y el producto también crecen a la misma tasa.
Consecuencia: El modelo no presenta transición alguna hacia el estado
estacionario.
Todas las variables crecen permanentemente a una tasa constante.
Hipótesis de convergencia
ƒ
A diferencia del modelo neoclásico (Solow y Swan, Ramsey Cass y Koopmans),
este modelo no predice la convergencia entre economías, ni absoluta ni
condicional.
ƒ
La tasa de crecimiento no está relacionada negativamente con la renta.
Tema 15, pág-2
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15.2 El modelo de Barro (1990) con gasto público
Modelizaciones del gasto público productivo
Como bien público (bien no rival y no excluible). Ejemplo: faro en la costa
y j = Ak αj G 1−α
donde: kj es el capital privado utilizado por la empresa j
G es el bien público agregado
Como bien público sujeto a congestión (parcialmente excluible). Ejemplo: autopistas
1−α
⎛G⎞
y j = Ak j ⎜ ⎟
⎝K⎠
donde: G es el bien público agregado
K es el capital privado agregado
Como bien privado (bien rival y excluible). Ejemplo: servicios públicos suministrados
a las empresas individualmente
y j = Ak αj g 1j−α
donde: gj es el bien público suministrado por el Estado a la empresa j
no es capital público (no es acumulable)
Este es el enfoque de Barro (1990), que será el elegido en este tema
Escenario de familias productoras
ƒ
Familias:
Determinan óptimamente consumo y ahorro.
Se dedican a la producción de bienes.
Pagan impuestos.
ƒ
Sector Público: Equilibrio presupuestario.
Recaudan impuestos, proporcionan gasto público productivo.
Comportamiento familias
ƒ
Preferencias
∞
U (0) = ∫ e
0
ƒ
−( ρ − n ) t
ct1−θ − 1
dt
1−θ
[9]
Restricción presupuestaria
k&t = (1 − τ t ) Ak tα g t1−α − ct − (δ + n)k t
Tema 15, pág-3
[10]
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ƒ
Hamiltoniano
H =e
ƒ
−( ρ − n ) t
ct1−θ − 1
+ λt ((1 − τ t ) Aktα g t1−α − ct − (δ + n)kt )
1−θ
Condiciones de primer orden
Hc = 0 ⎯
⎯→ e − ( ρ −n ) t ct−θ = λt
H b = −λ&t ⎯
⎯→ λt ((1 − τ t )αAktα −1 g t1−α − δ − n) = −λ&t
ƒ
[12]
[13]
Condición de transversalidad
lim λt k t = 0
t →∞
ƒ
[11]
[14]
Tasa crecimiento del consumo
⎛g
c&
1
γ c ≡ t = ((1 − τ t )αA⎜⎜ t
ct θ
⎝ kt
1−α
⎞
⎟⎟
⎠
− δ − ρ)
[15]
Comportamiento sector público
τ t yt = g t
[16]
Conjuntamente: tasa de crecimiento en estado estacionario
γc ≡
c& 1
= ((1 − τ )αA1/ ατ (1−α ) / α − δ − ρ )
c θ
[17]
El tamaño óptimo del estado
La ecuación [17] relaciona la tasa de crecimiento de la economía con el tipo
impositivo:
γ =
1
θ
((1 − τ )αA1/ ατ (1−α ) / α − δ − ρ )
Por otro lado, de [16] se deduce que el tipo impositivo es el peso del sector público
en la economía:
τt =
gt
yt
Operando en [16] y [17], se obtiene que el Estado puede maximizar el crecimiento
de la economía adoptando un tamaño igual a la participación del gasto público en la
función de producción:
τ * = (1 − α )
Tema 15, pág-4
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La solución del planificador
El resultado en este caso será diferente del obtenido en el supuesto de familias
productoras, debido a que el planificador tomará en consideración los efectos
distorsionadores del impuesto sobre la renta.
ƒ
Preferencias
El planificador maximiza la función de utilidad del individuo:
∞
U (0) = ∫ e
−( ρ − n ) t
0
ƒ
ct1−θ − 1
dt
1−θ
[18]
Restricción presupuestaria
La cantidad de recursos producida debe ser repartida entre consumo, inversión y
gasto público:
yt = ct + it + g t
es decir:
k&t = Ak tα g t1−α − ct − (δ + n)k t − g t
ƒ
[19]
Tasa de crecimiento del consumo
El planificador elige el tamaño del gobierno óptimo, de forma que la tasa
de crecimiento es:
γc ≡
c& 1
= (αA1 / α (1 − α ) (1−α ) / α − δ − ρ )
c θ
Tema 15, pág-5
[20]
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16.3 El modelo de Lucas (1988) con capital humano
La consideración de un segundo sector productivo
ƒ
Consumo y ahorro: resultado de un comportamiento óptimo.
ƒ
Crecimiento en estado estacionario por la acumulación de capital humano.
ƒ
Dos sectores productivos:
-
Sector 1: producción de bienes finales, que puede ser consumido o
transformado en capital físico.
K& = AK Yα H Y1−α − C − δ K K
-
Sector 2: producción de capital humano
H& = BK Hη H H1−η − δ H H
ƒ
Capital humano total: H = HY + HH
-
Fracción de capital humano utilizado en la producción de bienes
finales: u
HY = u H
HH = (1-u) H
ƒ
Supuestos simplificadores: α > η = 0; δK = δH = δ
ƒ
Entonces:
-
Sector 1:
K& = AK α (uH )1−α − C − δK
-
[21]
Sector 2:
H& = B (1 − u ) H − δH
[22]
El modelo de familias productoras
Supuestos
ƒ
Familias:
Propietarias de las empresas
Perciben toda la renta –producción-
ƒ
Preferencias
∞
U (0) = ∫ e
0
ƒ
−( ρ − n ) t
c1−θ − 1
1−θ
dt
Acumulación de capital físico y humano per capita
Tema 15, pág-6
[23]
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Profs. Zenón J. Ridruejo y Julio López Díaz
k& = Ak α (uh)1−α − c − (n + δ )k
[24]
h& = B (1 − u )h − (n + δ ) h
[25]
Comportamiento familias
ƒ
Maximizar [23] s. a. [24] y [25]
ƒ
Hamiltoniano
Η=e
−( ρ − n ) t
c1−θ − 1
(
+ vt Ak α (uh)1−α − c − (n + δ )k
1−θ
+ λt (B(1 − u )h − (n + δ )h )
ƒ
)
[26]
Condiciones de primer orden
Ηc = 0 ⎯
⎯→ e − ( ρ −n ) t c −θ = v
(
[27]
)
Ηu = 0 ⎯
⎯→ v Ak α (1 − α )u −α h1−α = λBh
[28]
Η k = −v& ⎯
⎯→ v αAk α −1 (uh)1−α − (n + δ ) = −v&
[29]
(
(
)
)
Η h = −λ& ⎯
⎯→ v (1 − α ) Ak α u1−α h −α + λ (B(1 − u ) − (n + δ ) ) = −λ&
ƒ
Condiciones de transversalidad
lim vt kt = 0
[31]
lim λt ht = 0
[32]
t →∞
t →∞
ƒ
Tasa crecimiento del consumo
[27]
→
[33] y [29] →
γc ≡
c&t
1 v&
= ( − − ρ − n)
ct θ v
γc =
1
θ
(αAk α −1 (uh)1−α − δ − ρ )
Estado estacionario
ƒ
[30]
Todas las variables crecen a un ritmo constante.
Tema 15, pág-7
[33]
[34]
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ƒ
ƒ
La tasa de crecimiento de u debe ser cero.
-
u es una fracción comprendida entre cero y uno.
-
En estado estacionario debe ser constante u*.
Operando en [34] se obtiene que:
γ c*θ + δ + ρ
= k α −1h1−α
*(1−α )
αAu
[35]
Tomando logaritmos, derivando respecto al tiempo:
γ k* = γ h*
ƒ
[36]
Dividiendo en [24] por k:
k&
c
= Ak α −1 (uh)1−α − − (n + δ )
k
k
[37]
Operando se llega a:
γ k* = γ h* = γ c*
ƒ
[38]
y = Ak α (uh)1−α
A partir de la expresión del output final:
γ k* = γ h* = γ c* = γ *y
[39]
Bastará calcular una sola tasa de crecimiento para solucionar el
modelo.
ƒ
A partir de [28] se obtiene:
v
λ
=
1
α
−α
A ⎛ k* ⎞
⎜⎜ * ⎟⎟ (1 − α )u *
B⎝h ⎠
[40]
Con lo que:
γ λ* = γ v*
ƒ
Dividiendo [30] por λ, sustituyendo v/λ por su valor en [20] se obtiene:
−
ƒ
λ&
= B − (n + δ )
λ
[42]
En base a [42], [41], [33], y [39] se obtiene que:
γ *y = γ k* = γ h* = γ c* =
ƒ
[41]
1
θ
(B − δ − ρ )
A partir de [25] y [43] se obtiene el tiempo dedicado al aprendizaje
Tema 15, pág-8
[43]
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Profs. Zenón J. Ridruejo y Julio López Díaz
1− u =
*
γ* + n +δ
[44]
B
donde:
∂ (1 − u * ) ( ρ − θ n) + δ (1 − θ )
=
>0
θB 2
∂B
La solución del planificador
La solución obtenida por el planificador es idéntica a la de mercado
Dinámica de transición
Existe, pero demasiado complicada para analizar.
Lucas (1988) la dejó sin investigar.
Caballé y Santos (1993): trayectoria estable hacia el punto de silla.
Mulligan y Sala-i-Martin (1993): método numérico
La dinámica de transición surge cuando:
k0 k *
≠
h0 h *
ƒ
Si:
k0 k *
<
→γ >γ*
h0 h *
k0 k *
>
→γ <γ*
h0 h *
Tema 15, pág-9
[45]