Estructuras de acero Pandeo lateral de vigas

Estructuras de acero
Pandeo lateral de vigas
1. Concepto.
Al someter una chapa delgada a flexión recta en el plano de mayor rigidez,
antes de colapsar en la dirección de carga lo hace en la transversal por su
flexibilidad. Esta situación puede darse en perfiles en doble T si tienen una inercia
mucho mayor en uno de sus planos principales que en el otro.
De manera análoga a lo que sucede con las barras comprimidas, en las
flectadas se puede hablar de un momento crítico de gran analogía con la carga
crítica de Euler y que corresponde a aquel valor del momento flector para el cual el
plano medio de la viga pierde su posición inicial, presentándose un desplazamiento
lateral y un giro, tal y como se indica en la figura 1.
La justificación de este fenómeno de inestabilidad es fácil de comprender si se
tiene en cuenta que el cordón superior de la viga queda comprimido por las
tensiones de compresión derivadas de la flexión, motivo por el cual esta zona puede
pandear lateralmente (en el plano perpendicular al plano medio de la barra),
oponiéndose a ello el cordón inferior de la viga que está traccionado. Por este motivo
el pandeo lateral va acompañado de torsión.
Figura 1. Pandeo lateral en una viga.
Aunque esta situación es propia de vigas sobre las que normalmente sólo
actúa flexión, también puede producirse en soportes por la acción simultánea de axil
y momento.
Estructuras de acero. Pandeo lateral en vigas.
1
2. Verificación de la inestabilidad por pandeo lateral en barras sometidas a
flexión.
La comprobación de pandeo lateral en barras sometidas a flexión viene
recogida en el CTE DB SE-A. Acero, en su artículo 6.3.3.
Si existe la posibilidad de que una viga pandee lateralmente, debe
comprobarse que MEd ≤ Mb,Rd , donde MEd es el valor de cálculo del momento flector y
Mb,Rd el valor de cálculo de la resistencia frente a pandeo lateral.
A partir del estudio teórico de la viga columna, particularizado a vigas de
sección constante, con doble simetría y momentos exteriores sólo en sus extremos o
cargas transversales aplicadas en el centro de esfuerzos cortantes, resulta como
valor del momento crítico para el que puede producirse pandeo lateral,
π2 ⋅ E ⋅ Ι Z
⋅
Mcr = C1 ⋅
(k ⋅ Lc )2
(k ⋅ Lc )2 ⋅ G ⋅ Ι T + ⎛⎜
π2 ⋅ E ⋅ Ι z
k
⎜k
⎝ w
2
⎞ Ιw
⎟⎟ ⋅
⎠ Ιz
donde
IT
Módulo de torsión. En una sección rectangular, Ι T =
Iz
Lc
k
kw
C1
G
E
)
1
⋅ 2 ⋅ b ⋅ t 3f + h w ⋅ t 3w , siendo b el ancho del ala del perfil, tf y
3
tw los espesores de ala y alma, y hw la altura del alma del perfil.
1
Módulo de alabeo. En secciones rectangulares y en doble T, Ι w = ⋅ h2 ⋅ Ι z .
4
Momento de inercia de la sección transversal respecto al eje débil z.
Longitud de pandeo lateral (distancia entre puntos de la viga que tengan
coacción lateral).
Coeficiente de longitud eficaz (similar a β para longitud de pandeo en piezas
comprimidas) referido al giro de la viga en el plano perpendicular al de
flexión (plano de pandeo lateral); para vigas con enlaces en dos extremos
se adopta: k=0,5 para empotramiento perfecto en los dos extremos. k=1
para extremos articulados. k=0,7 para un extremo articulado y otro
empotrado. k=2,0 para viga en ménsula.
Coeficiente de longitud eficaz por alabeo de los extremos de la pieza. Se
toma1,0 salvo que se adopten precauciones especiales para coaccionar el
alabeo.
Coeficiente de momento equivalente, que depende de las cargas y las
condiciones de apoyo. Se determina por la tabla 1.
Módulo de elasticidad transversal.
Módulo de elasticidad.
en doble T, Ι T =
Iw
(
1
⋅ h ⋅ b3 . En una sección
3
Estructuras de acero. Pandeo lateral en vigas.
2
Por la dificultad que conlleva el obtener el valor del momento crítico Mcr, para
la aplicación práctica se aceptan algunas simplificaciones válidas en la mayor parte
de los casos. Para ello se admite:
k=1. Equivale a suponer la viga biarticulada en sus dos extremos a efecto de
pandeo lateral, lo que resulta ser una hipótesis bastante aproximada, ya
que normalmente en esta dirección la viga está orientada según su eje
débil, con una rigidez a flexión muy pequeña. Esto no es aplicable a
voladizos, donde hay que considerar k=2, o lo que es lo mismo, Lc el
doble de la longitud del voladizo.
kw=1. Equivale a suponer que los extremos de la viga carecen de rigidez al
alabeo, como sucede en la mayor parte de las uniones habituales.
Con estas simplificaciones, la expresión anterior queda:
Mcr = C1 ⋅
π2 ⋅ E ⋅ Ι Z L2c ⋅ G ⋅ Ι T Ι w
⋅
+
L2c
π2 ⋅ E ⋅ Ι z Ι z
que se puede escribir:
2
2
Mcr = MLT
, v + MLT, w
siendo
MLT,v
MLT,w
Componente de Mcr que representa la resistencia por torsión uniforme de la
barra (Saint Venant).
Componente de Mcr que representa la resistencia por torsión no uniforme de
la barra.
La componente MLT,v del momento crítico elástico de pandeo lateral se podría
determinar a partir de la ecuación:
MLT,v = C1 ⋅
π
⋅ G ⋅ ΙT ⋅ E ⋅ ΙZ
LC
Para vigas con secciones esbeltas (Clase 4) se adoptará MLT,v=0.
Teniendo en cuenta que π, G, ΙT, E, ΙZ son constantes para un perfil dado, y
para facilitar los cálculos, se ha definido bLT,v1 como bLTv = π ⋅ G ⋅ Ι T ⋅ E ⋅ Ι Z , de modo
que la expresión anterior se escribe:
1
Tablas 4 y 5.
Estructuras de acero. Pandeo lateral en vigas.
3
C1
⋅ bLTv
LC
MLT,v =
La componente MLT,w del momento crítico elástico de pandeo lateral viene
determinada por la carga crítica elástica de pandeo del soporte comprimido del perfil.
Este soporte está formado por el ala comprimida y la tercera parte de la zona
comprimida del alma, adyacente al ala comprimida. La componente MLT,w se podrá
determinar a partir de la ecuación:
MLT, w = Wel, y ⋅
π2 ⋅ E
⋅ C1 ⋅ i2f ,z
2
LC
siendo
Wel,y
if,z
Módulo resistente elástico de la sección, según el eje fuerte de inercia,
correspondiente a la fibra más comprimida.
Radio de giro, con respecto al eje de menor inercia de la sección, del
soporte formado por el ala de la sección, la tercera parte del ala comprimida
y la tercera parte de la zona comprimida del alma, adyacente al ala
comprimida.
Del mismo modo que en la expresión anterior, Wel,y, π, E, if,z, son constantes
para un perfil dado. Para facilitar los cálculos, se ha definido bLT,w2 como
bLT, w = Wel, y ⋅ π2 ⋅ E ⋅ i2f ,z , de modo que la expresión anterior se escribe:
MLT, w =
C1
⋅ bLT, w
L2C
A partir de la expresión del momento crítico Mcr, se obtiene la esbeltez
reducida frente a pandeo lateral:
λ LT =
Wy ⋅ f y
Mcr
donde
Wy
2
Módulo resistente de la sección, acorde con el tipo de ésta. Es decir:
Wpl,y
Para secciones de clase 1 y 2
Wel,y
Para secciones de clase 3
Weff,y
Para secciones de clase 4
Tablas 4 y 5.
Estructuras de acero. Pandeo lateral en vigas.
4
λ LT
En el caso de perfiles laminados o de perfiles armados equivalentes, cuando
≤ 0,4 se podrá utilizar un valor de χLT = 1
El factor de reducción χLT se podrá determinar a partir de la expresión:
χ LT =
1
≤1
2
2
φLT + φLT
− λ LT
donde
(
) ( )
2
φLT = 0,5 ⋅ ⎡1 + α LT ⋅ λ LT − 0,2 + λ LT ⎤
⎢⎣
⎥⎦
αLT
Factor de imperfección, obtenido de la tabla 2.
De este modo, se podrá determinar Mb,Rd de acuerdo con la relación:
Mb,Rd = χ LT ⋅ Wy ⋅
fy
γ M1
y así realizar la comprobación de pandeo lateral, MEd ≤ Mb,Rd .
El factor de reducción χLT también puede determinarse a partir de las curvas
de pandeo (figura 2), o de la tabla 3.
Figura 2. Curvas de pandeo.
Estructuras de acero. Pandeo lateral en vigas.
5
3. Consideraciones constructivas
No será necesaria la comprobación a pandeo lateral cuando el ala
comprimida de la barra se arriostra de forma continua (por la presencia de un
forjado) o bien de forma puntual a distancias menores de 40 veces el radio de giro
mínimo del perfil.
Figura 3. Cordón comprimido arriostrado
El pandeo lateral puede limitarse por elementos constructivos, mediante
arriostramientos que reducen la longitud de pandeo, siempre que estén vinculados al
cordón comprimido de la barra. En el caso de posibilidad de inversión de esfuerzos
(en dinteles y correas de cubierta), hay que vincular las dos caras del perfil al
arriostramiento (figura 6).
Si el momento flector es positivo, la zona comprimida es la superior y resultan
eficaces las viguetas o correas dispuestas en este nivel (figura 4).
Figura 4. Arriostramiento con viguetas del cordón comprimido.
Sin embargo, cuando el momento flector es negativo (como ocurre en los
voladizos o en los apoyos intermedios de las vigas continuas o en las esquinas de
los pórticos), el cordón comprimido es el inferior. En esos casos debe recurrirse a un
sistema de tornapuntas enlazados con las viguetas que inmovilice adecuadamente
el ala comprimida (figura 6).
Estructuras de acero. Pandeo lateral en vigas.
6
Figura 5. Arriostramiento del cordón inferior con tornapuntas.
Figura 6. Arriostramiento del cordón inferior por la posibilidad de inversión de esfuerzos.
Figura 7. Longitud eficaz del pandeo lateral.
Respecto a la longitud eficaz de pandeo lateral, en la figura 7 a) no se ha
añadido arriostramiento y se supone que el entrevigado no rigidiza adecuadamente,
la longitud eficaz de pandeo lateral corresponde a la luz total. En la figura 7 b), en la
que se ha dispuesto un arriostramiento en cruz de San Andrés, la longitud eficaz de
pandeo lateral corresponde a la separación entre montantes del arriostramiento
firmemente inmovilizados (nudos de la celosía).
En perfiles cerrados (por ejemplo 2UPN soldados a tope), no se verifica el
pandeo lateral por la gran resistencia a torsión de la pieza, que hace mínima la
posibilidad del pandeo lateral.
Estructuras de acero. Pandeo lateral en vigas.
7
4. Ejemplo de cálculo
Comprobar el pandeo lateral en una viga biapoyada dimensionada con un
perfil IPE 300 de 5 m de luz que soporta una sobrecarga de 30 kN/m uniformemente
repartida, de acero S275.
El valor de la carga mayorada será:
q = γ G ⋅ G + γ Q ⋅ Q = 1,35 ⋅ 0,5 + 1,50 ⋅ 30 = 45,675 kN/m
En una viga biapoyada cargada uniformemente, el momento máximo se
produce en el centro del vano, y su valor es:
MEd =
1
1
⋅ q ⋅ l 2 = ⋅ 45,675 ⋅ 5 2 = 142,73 kN ⋅ m
8
8
La comprobación a pandeo lateral es:
MEd ≤ Mb,Rd
Mb,Rd = χLT ⋅
Wy ⋅ fy
γ M1
Wy = Wpl, y por ser de clase 1.
χ LT =
1
φLT + φ
2
LT
−λ
(
2
LT
≤1
) ( )
2
φLT = 0,5 ⋅ ⎡1 + α LT ⋅ λ LT − 0,2 + λ LT ⎤
⎢⎣
⎥⎦
h 300
=
= 2 , le corresponde una curva de
b 150
pandeo a y un valor del coeficiente de imperfección αLT=0,21.
Para el perfil IPE 300, como
λ LT =
Wy ⋅ fy
Mcr
.
El momento crítico elástico de pandeo lateral Mcr se calcula mediante:
2
2
Mcr = MLTv
+ MLTw
Estructuras de acero. Pandeo lateral en vigas.
8
MLT,v = C1 ⋅
π
⋅ G ⋅ ΙT ⋅ E ⋅ ΙZ
LC
Si se define bLT,v como bLT, v = π ⋅ G ⋅ Ι T ⋅ E ⋅ Ι Z , la expresión anterior se escribe:
MLTv =
C1
⋅ bLT,v
LC
C1, para una viga biapoyada con una distribución de momentos flectores
parabólica, se puede adoptar 1,13 (Tabla 1).
En principio no se va a arriostrar la viga en puntos intermedios, por lo que se
adopta como longitud de pandeo lateral (distancia entre apoyos laterales que
impidan el pandeo lateral) la luz de la viga. Por tanto,
MLT,v =
1,13
⋅ 451459·10 6 = 102029734 N·mm
5000
MLT, w = Wel, y ⋅
π2 ⋅ E
⋅ C1 ⋅ i2f ,z
2
LC
De forma análago, si se define bLT,w como bLT, w = Wel, y ⋅ π2 ⋅ E ⋅ i2f ,z , la expresión
anterior es:
MLT, w =
C1
⋅ bLT, w
L2C
MLT, w =
1,13
⋅ 1538013·109 = 69518187,6 N·mm
2
5000
2
2
2
2
Mcr = MLT
, v + MLT , w = 102029734 + 69518187,6 = 123461917,3 N·mm
λLT =
Wy ⋅ f y
Mcr
628·103 ⋅ 275
=
= 1,18
123461917,3
[
]
φLT = 0,5 ⋅ 1 + 0,21⋅ (1,18 − 0,2) + 1,182 = 1,30
χLT =
1
1,30 + 1,30 2 − 1,18 2
= 0,54
Así,
Estructuras de acero. Pandeo lateral en vigas.
9
Mb,Rd = χLT ⋅
Wy ⋅ fy
γ M1
= 0,54 ⋅
628·103 ⋅ 275
= 88817143 N·mm ≅ 88,82 kN·m
1,05
por lo que 142,73 > 88,82 y la viga es inestable lateralmente. Es necesario arriostrar
en un punto intermedio. Si se opta por arriostrar de forma que el vano se divida en
tres tramos3, Lc = 1667 mm, y las expresiones anteriores quedan como sigue:
MLT,v =
1,13
⋅ 451459·106 = 306027996 N·mm
1667
MLT, w =
1,13
⋅ 1538013·109 = 625413498 N·mm
1667 2
2
2
Mcr = MLT
306027996 2 + 625413498 2 = 696272345 N·mm
, v + MLT , w =
λLT =
Wy ⋅ fy
Mcr
=
628·103 ⋅ 275
= 0,50
282713585
[
]
φLT = 0,5 ⋅ 1 + 0,21⋅ (0,50 − 0,2) + 0,502 = 0,66
χLT =
1
0,66 + 0,66 2 − 0,50 2
= 0,92
Así,
Mb,Rd = χLT ⋅
Wy ⋅ f y
γ M1
= 0,92 ⋅
628·103 ⋅ 275
= 151318095 N·mm ≅ 151,32 kN·m
1,05
Al ser 142,73 < 151,32 se cumple la comprobación de pandeo lateral.
3
Puede comprobarse que un arriostramiento en el punto medio del vano no es suficiente.
Estructuras de acero. Pandeo lateral en vigas.
10
5. Tablas
Tabla 1. Obtención del coeficiente C1
Estructuras de acero. Pandeo lateral en vigas.
11
Tabla 2. Factor de imperfección αLT
Elemento
Límites
Curva de
pandeo
αLT
Perfil laminado con
sección en doble T
h/b ≤2
a
0,21
h/b>2
b
0,34
Elemento armado con
sección en doble T
h/b ≤2
c
0,49
h/b>2
d
0,76
-
d
0,76
Elementos con otras
secciones
Tabla 3. Valores del coeficiente de pandeo χ
Tabla 4. Constantes para perfiles IPE
IPE
80
100
120
140
160
180
200
220
240
270
300
330
360
400
450
500
550
600
if,z
(mm)
11,4
13,5
15,7
17,9
20,0
22,2
24,4
26,9
29,4
33,0
36,5
38,8
41,3
43,3
45,2
47,2
49,1
51,3
IT
4
bLT,v
Ia
4
Estructuras de acero. Pandeo lateral en vigas.
118
351
890
1981
3959
7431
12990
22670
37390
70580
125900
199100
313600
490000
791000
1249000
1884000
2846000
6
6
b LT,w
·10 (mm ) ·10 (mm ) ·10 (N·mm ) ·10 (N·mm2)
0,72
1,14
1,77
2,63
3,64
5,06
6,67
9,15
12
15,4
20,1
26,5
37,3
48,3
65,9
91,8
122
172
6
10130
17444
28690
44525
64605
92627
126098
177456
239195
329524
451459
592090
806999
1034576
1363325
1816060
2338501
3128716
2
9
5387
12919
27077
51334
90366
149134
239387
377941
580442
968287
1538013
2224703
3195859
4507677
6351659
8911696
12191913
16745270
IPE
80
100
120
140
160
180
200
220
240
270
300
330
360
400
450
500
550
600
12
Tabla 5. Constantes para perfiles HEB
HEB
100
120
140
160
180
200
220
240
260
280
300
320
340
360
400
450
500
550
600
if,z
(mm)
26,8
32,2
37,5
42,7
48,0
53,4
58,7
64,1
69,6
74,8
80,1
79,9
79,6
79,3
78,4
77,9
77,3
76,5
75,7
IT
4
b LT,v
Ia
4
6
6
·10 (mm ) ·10 (mm )
9,34
14,9
22,5
33,2
46,5
63,4
84,4
110
130
153
192
241
278
320
394
500
625
701
783
3375
9410
22480
47940
93750
171100
295400
486900
753700
1130000
1688000
2069000
2454000
2883000
3817000
5258000
7018000
8856000
10965000
6
bLT,w
2
9
·10 (N·mm )
·10 (N·mm2 )
161821
282039
455800
703918
1031517
1460115
2007066
2691581
3347680
4115808
5254318
6113966
6724908
7380674
8459481
9919034
11509078
12405524
13336191
133977
309452
629557
1175263
2034282
3368809
5256214
7987998
11546101
16002997
22340524
25537002
28366054
31280714
36689657
44650087
53129450
60283478
67699530
HEB
100
120
140
160
180
200
220
240
260
280
300
320
340
360
400
450
500
550
600
6. Bibliografía
[1]
Argüelles Álvarez, R; Argüelles Bustillo, R. (1996). Análisis de estructuras:
Teoría, problemas y programas. Ed. Fundación Conde del Valle de Salazar.
Madrid
[2]
Documento Básico SE-A Seguridad Estructural. Acero (2006). Ed. Ministerio de
Fomento. Madrid.
[3]
http://politube.upv.es/play.php?vid=48436
[4]
Monforte Lleonart, J. (2006). Estructuras metálicas para edificación Universidad
Politécnica de Valencia. Valencia.
Estructuras de acero. Pandeo lateral en vigas.
13