Corrección Examen 1. Andalucía 2011

Corrección Examen 1. Andalucía 2011
OPCIÓN A
1.
a) Relación entre campo y potencial gravitatorios.
b) Dibuje en un esquema las líneas del campo gravitatorio creado por una
masa puntual M. Una masa m, situada en un punto A, se traslada hasta otro
punto B, más próximo a M. Razone si aumenta o disminuye su energía
potencial.
a) Se define el campo gravitatorio que crea una masa ‘M’ como la fuerza por unidad de
masa con la que es capaz de atraer a cualquier otra masa ‘m’ situada en el espacio que la
rodea.
r
r Fg
r
GM
g=
⇒ g = − 2 rˆ
m
r
donde G es la constante de gravitación universal, M es la masa que crea el campo y r es
la distancia a al que se quiere calcular el campo.
Es una magnitud vectorial cuya unidad m/s2 muestra que representa una aceleración
que, en el caso de que ‘M’ sea una masa puntual es radial y hacia dentro.
r
g
r
g
r
g
r
g
Se definen las líneas de campo como las líneas tangentes al campo gravitatorio en todos
los puntos del espacio.
Se define el potencial gravitatorio que crea una masa ‘M’ como la energía potencial
gravitatoria por unidad de masa que tendría una masa ‘m’ en las proximidades de ‘M’.
U =−
Ep grav
m
⇒U = −
GM
r
donde G, M y r ya se han definido.
Es una magnitud escalar cuya unidad es el J/Kg. La representación de U es
U
r
donde se puede ver como U siempre tiene un valor negativo y que para r→∞, U tiende a
cero.
Se definen las superficies equipotenciales como las regiones del espacio que están a
potencial constante
La relación entre el campo y el potencial gravitatorios de consiste en la expresión:
dU
g=
dr
que indica que el valor del campo gravitatorio que crea una masa puntual es igual a la
derivada del potencial respecto la distancia en ese punto.
En general se cumple que
1. Las líneas de campo siempre son perpendiculares a las superficies
equipotenciales.
2. Las líneas de campo siempre apuntan hacia potenciales decrecientes.
b)
·A
M
B·
r
g
Como la masa ‘m’ se acerca a M pasando del punto A al punto B se tiene que las
energías potenciales son:
Ep A = mU A
Ep B = mU B
y al ser
GM
r
al estar B más cerca de M que A se tiene que RB < RA con lo que UB<UA por lo que la
masa ‘m’ pierde energía potencial al pasar de A hasta B.
U =−
2.
a) Construya la imagen formada con una lente convergente de un objeto
situado a una distancia, s, de la lente igual al doble de la distancia focal, f, y
comente sus características.
b) ¿Pueden formarse imágenes virtuales con lentes convergentes? Razone la
respuesta.
a)
Las lentes convergentes se caracterizan porque concentran los rayos que inciden sobre
ellas paralelas al eje óptico en un punto llamado foco imagen (f’). Situado
simétricamente al foco imagen está el foco objeto (f) que es el punto por el que
cualquier rayo que pase saldrá paralelo al eje óptico. Por último, cualquier rayo que pase
por el centro de la lento no se desvía.
s
2f
De la construcción realizada se puede afirmar que la imagen (y’) es menor que el
objeto, está invertida respecto a este, y es un imagen real ya que se ha formado por la
intersección de los rayos.
b)
Sí, se pueden formar imágenes virtuales con una lente convergente. Para ello se debe
situar el objeto (y) dentro de la distancia focal. En este caso los rayos refractados por la
lente divergen y es necesario prolongarlos para formar la imagen (y`). Esta construcción
corresponde a una lupa también llamada microscopio simple. En este caso la imagen
es mayor, derecha y virtual.
3. Dos cargas puntuales iguales, de +10-5 C, se encuentran en el vacío, fijas en los
puntos A (0, 0) m y B (0, 3) m.
a) Calcule el campo y el potencial electrostáticos en el punto C (4, 0) m.
b) Si abandonáramos otra carga puntual de +10-7 C en el punto C (4, 0) m, ¿Cómo
se movería? Justifique la respuesta.
K = 9 ·109 N m2 C–2
Ante todo ojo con la calculadora 105 =1E5 o 15
a) Se define el campo electrostático como la fuerza por unidad de carga que una carga
‘Q’ ejerce sobre cualquier otra carga ‘q’ situada en el espacio que la rodea.
r
r Fe KQ
E=
= 2 rˆ
q
r
donde K es la constante eléctrica, Q es la carga que crea el campo y r es la distancia a la
que se pretende calcular el campo.
Se define el potencial electrostático que crea una carga ‘Q’ como la energía potencial
por unidad de carga que tendría otra carga ‘q’ en las proximidades de ‘Q’.
Ep
KQ
V = elect ⇒ V =
q
r
Es una magnitud escalar y su unidad son los voltios.
En este caso se va a aplicar el principio de superposición y tanto el campo eléctrico
como el potencial en el punto C se van a calcular como la suma por separado de los
campos que crean QA y QB en C.
q=105C
r
rB =(0, 3)
r
rBC
r
rAC
q=105C
r
rA =(0, 0)
r
rC =(4, 0)
r
EA
r
EB
r
ETotal
r
rAC = (4,0) − (0,0) = (4,0)
r
rAC = 4m
r
rBC = (4,0 ) − (0,3) = (4,−3)
r
rBC = 5m
rˆAC = (1,0)
⎛ 4 3⎞
rˆBC = ⎜ ,− ⎟
⎝ 5 5⎠
r
KQ A
9 ⋅10 9 ⋅ 5 ⋅10 −5
E A = 2 rˆAC =
(1,0) = (2.81 ⋅10 4 ,0)N / C
2
rAC
4
r
KQ
9 ⋅10 9 ⋅ 5 ⋅10 −5 ⎛ 4 3 ⎞
4
4
E B = 2 B rˆBC =
⎜ ,− ⎟ = (1.44 ⋅10 ,−1.08 ⋅10 )N / C
5
5
rBC
52
⎠
⎝
El campo total en el punto C será la suma de los campos individuales.
r
r
r
ETotal = E A + E B = (4.25 ⋅10 4 ,−1.08 ⋅10 4 )N / C
En cuanto al potencial:
KQ A 9 ⋅10 9 ⋅ 5 ⋅10 −5
V AC =
= 11.25 ⋅10 4 V
=
rAC
4
VBC =
KQ A 9 ⋅ 10 9 ⋅ 5 ⋅10 −5
=
= 9 ⋅10 4 V
rBC
5
Por lo que
VTotal = V AC + VBC = 20.25 ⋅10 4 V
b)
Si se abandona una carga q= +10–7C en el punto C, ésta recibirá una fuerza:
r
r
F = q ⋅ ETotal
al ser la carga ‘q’ positiva dicha fuerza irá dirigida en la dirección y sentido del campo
total, por lo que se alejará con una trayectoria rectilínea en la dirección y sentido que
r
marca ETotal . Dicha fuerza valdrá:
r
F = (4.25 ⋅10 −3 ,1.08 ⋅10 −3 )N
4. El espectro de luz visible (luz blanca) incluye longitudes de onda comprendidas
entre 3,8·10 -7m (violeta) y 7,8·10-7 m (rojo).
a) Enuncie la hipótesis de Planck y calcule la energía de los fotones que
corresponden a las luces violeta y roja indicadas.
b) ¿Cuántos fotones de luz roja son necesarios para acumular una energía de 3 J?
c = 3·10 8 ms-1 ; h = 6,6·10-34 J s
a) La hipótesis de Planck afirma que la radiación era emitida por la materia en forma de
paquetes de energía denominados cuantos cuya energía valía:
E=h ν
donde h es la constante de Planck y ν es la frecuencia de la radiación. Esta idea
contradecía la teoría clásica que afirmaba que la radiación era una onda
electromagnética y por lo tanto estaba deslocalizada en el espacio.
Las longitudes de onda dadas corresponden a unas frecuencias dadas por la relación
entre la longitud de onda y la frecuencia de la radiación:
c= λν
donde c es la velocidad de la luz, λ es la longitud de onda y ν es la frecuencia. Por lo
tanto la energía del fotón se puede calcular como:
hc
E=
λ
Evioleta =
E rojo =
hc
λ violeta
=
6.63 ⋅10 −34 ⋅ 3 ⋅108
= 5.23 ⋅10 −19 J
−7
3.8 ⋅10
hc
6.63 ⋅10 −34 ⋅ 3 ⋅108
=
= 2.55 ⋅10 −19 J
−7
λ rojo
7.8 ⋅10
Evioleta = 5.26·10–19J
Erojo = 2.55 · 10–19J
b)
Para acumular una energía de 3J hacen falta:
3J
= 1.18 ⋅1019 fotones
−19
2.55 ⋅10 J / fotón
n = 1.18 · 1019 fotones
OPCIÓN B
1.
a) Fuerza magnética sobre una carga en movimiento; ley de Lorentz.
b) Explique, con ayuda de un esquema, el tipo de movimiento que efectúan un
r
electrón y un neutrón al penetrar con una velocidad v en una región del espacio en
r
r
la que existe un campo magnético uniforme, B , perpendicular a v .
La fuerza que una partícula cagada experimenta cuando se mueve en el interior de un
campo magnético se puede calcular mediante la expresión:
r
r r
Fm = q ⋅ v × B
y su módulo vale:
Fm = q ⋅ v ⋅ B ⋅ sen(α )
donde
q es la carga de la partícula,
r
v es la velocidad a la que viaja,
r
B es el campo magnético,
r
r
α es el ángulo que forman los vectores v y B .
por las propiedades del producto vectorial, el valor de la fuerza es perpendicular al
r
r
plano que forman los vectores v y B y en el caso de ser estos paralelos, la fuerza es
nula.
En el caso que una partícula cargada se moviera en una región del espacio en la que al
r
r
mismo tiempo hubiera un campo eléctrico E y otro campo magnético B la fuerza total
que recibiría la carga se conoce como fuerza de Lorentz:
r r r
r
r r
F = Fe + Fm = qE + qv × B
r
r r r
F = q E +v×B
(
)
b)
La fuerza que reciben ambas partículas en las condiciones que se indican vale:
Fm = q ⋅ v ⋅ B
r
r
donde se ha tenido en cuenta que el ángulo que forman v y B es 90º y que por lo tanto
sen(90º) =1.
Al depender la fuerza de la carga de la partícula se puede concluir que la fuerza que
recibe el neutrón es nula al carecer de carga esta partícula, luego el movimiento del
neutrón es un MRU al no experimentar fuerza.
Fneutrón = 0 → describe un MRU
El electrón recibe una fuerza que en módulo vale
Fm = qe ⋅ v ⋅ B
y la dirección y sentido vienen dadas por la regla de la mano derecha aplicada al giro
r
r
del vector v hacia B . La figura muestra la dirección y el sentido de la fuerza teniendo
en cuenta la carga negativa del electrón. El resultado es que la fuerza siempre es
perpendicular a la velocidad y por lo tanto siempre varía la dirección de la misma, por
lo que la trayectoria es circular y el módulo de la velocidad constante. Esto significa que
el electrón va a describir un MCU.
r
v
r
F
r
B
r
F
r
v
r
B
2.
a) Ley de desintegración radiactiva; magnitudes.
b) Defina actividad de un isótopo radiactivo. Razone si puede asegurarse que
dos muestras radiactivas de igual masa tienen igual actividad.
a)
La ley de desintegración radiactiva nos indica el número de núcleos que van quedando
de un material radiactivo a medida que pasa el tiempo.
N = N 0 e − λt
En la anterior expresión
N es el número de átomos que quedan en una muestra
N0 es el número de átomos inicial
λ es la constante radiactiva que indica la probabilidad de que un núcleo sufra una
desintegración. Su unidad es de tiempo–1
t es el tiempo transcurrido.
Se define el periodo de semidesintegración (T1/2) como el tiempo necesario para que se
desintegran la mitad de los núcleos de una muestra. Su unidad es de tiempo y se
relaciona con la constante radiactiva mediante la expresión:
ln(2)
T1 / 2 =
λ
La vida media (τ) es una magnitud que representa el promedio de vida de los átomos de
una muestra. Su unidad es el tiempo y se relaciona con la constante radiactiva mediante
la expresión:
1
τ=
λ
b)
Se define la actividad de una muestra como el valor absoluto de la velocidad a la que se
producen las desintegraciones. Su unidad son las desintegraciones por segundo también
llamadas Bequerels o el curio.
dN
A=
= λ N 0 e − λt = λN
dt
De la expresión obtenida se observa cómo la actividad de una muestra depende de la
cantidad de átomos que la componen y de la constante radioactiva, que es propia del
tipo de elemento radioactivo en cuestión. Por lo tanto no se puede asegurar que dos
muestras radiactivas que tengan la misma masa tengan la misma actividad ya que las
tanto las constantes radiactivas (λ) como el número de átomos serán diferentes en
muestras formadas por átomos diferentes.
3. Un cuerpo de 50 kg se eleva hasta una altura de 500 km sobre la superficie
terrestre.
a) Calcule el peso del cuerpo en ese punto y compárelo con su peso en la superficie
terrestre.
b) Analice desde un punto de vista energético la caída del cuerpo desde dicha
altura hasta la superficie terrestre y calcule con qué velocidad llegaría al suelo.
RT = 6370 km; g = 9,8 ms–2
a)
En general el valor de la gravedad terrestre vale:
GM
r
g = − 2 T rˆ
r
donde:
G es la constante de gravitación universal,
MT es la masa de la Tierra,
r es la distancia entre el centro de la Tierra y el punto en el que se quiere
averiguar el valor de la gravedad,
r
el signo negativo indica que la dirección y del vector g es radial y su sentido
hacia el centro de la Tierra.
r
h
RT
r=RT + h
A 500Km de altura el valor de la gravedad ha variado, por lo que es necesario calcular
el nuevo valor de g para averiguar el peso del objeto en ese lugar.
En este caso se va a tratar con el módulo de la gravedad, por lo que:
GM
g = 2T
r
Al no disponer de G ni de MT su producto se obtiene a partir del valor de la gravedad
en la superficie terrestre:
g0 =
GM T
RT2
GM T = g 0 RT2
Con lo que a 500Km se tiene:
g=
g 0 RT2
(RT + h )2
9.8 ⋅ 6.370.000 2
g=
(6.370.000 + 500.000)2
g = 8.43m/s2
Por lo tanto se obtienen para el peso del objeto:
En la superficie → P = mg0 = 50 · 9.8 = 490N
A 500Km
→ P = mg = 50 · 8.43 = 421.5 N
Se puede comprobar cómo al elevarse a 500Km la gravedad terrestre ha disminuido y
por lo tanto el peso del objeto también ha disminuido.
b)
Se supone que el objeto se encuentra inicialmente en reposo a 500Km y que desde ahí
cae libremente hacia la Tierra. En todo el proceso sólo actúa la fuerza gravitatoria y no
se considera el rozamiento con el aire. Como no hay fuerzas no conservativas se
conserva la energía mecánica del sistema según el principio de conservación de la
energía mecánica:
Si WFNC = 0 → Em = cte
La energía potencial gravitatoria de la masa vale:
GM T m
Ep = −
r
A medida que la masa va descendiendo y va perdiendo energía potencial, va ganando
energía cinética en la misma medida, puesto que la suma de energía potencial más
energía cinética, que es la energía mecánica, debe ser constante.
Por lo tanto
Em inicial = Em final
Ep = Ec + Ep
−
GM T m 1 2 GM T m
= mv −
RT + h 2
RT
Simplificando y despejando v:
⎛ 1
1 ⎞
⎟⎟
v = 2GM T ⎜⎜
−
⎝ RT RT + h ⎠
⎛ 1
1 ⎞
⎟⎟
v = 2 g 0 RT2 ⎜⎜
−
⎝ RT RT + h ⎠
⎛
RT2 ⎞
⎟
v = 2 g 0 ⎜⎜ RT −
RT + h ⎟⎠
⎝
⎞
⎛
6370000 2
v = 2 ⋅ 9.8⎜⎜ 6370000 −
⎟
6370000 + 500000 ⎟⎠
⎝
v = 3014 m/s
4. Un cuerpo de 0,1kg, unido al extremo de un resorte de constante elástica
10Nm-1, se desliza sobre una superficie horizontal lisa y su energía mecánica es de
1,2J.
a) Determine la amplitud y el periodo de oscilación.
b) Escriba la ecuación de movimiento, sabiendo que en el instante t=0 el
cuerpo tiene aceleración máxima, y calcule la velocidad del cuerpo en el
instante t = 5s.
a) En un sistema de masa y muelle la energía mecánica se conserva puesto que sólo
actúa la fuerza del muelle que es conservativa.
k
m
En este caso la energía mecánica del oscilador vale:
1
E m = KA 2
2
Con lo que se obtiene:
A=
2 Em
k
A=
2 ⋅1.2
10
A = 0.49m
Para calcular el periodo de oscilación hay que obtener la frecuencia del movimiento. En
este oscilador armónico simple la fuerza está ejercida por un muelle, por lo que:
F = m·a
– k·x = m(–ω2x)
ω=
k
m
2π
k
=
T
m
T = 2π
m
k
T = 2π
0.1
10
T = 0.63 s
b)
La ecuación general de un MAS es:
x(t ) = A sen(ωt + ϕ 0 )
En este caso la aceleración es máxima en el instante inicial, por lo que inicialmente la
partícula se encuentra en uno de los extremos de la trayectoria. La ecuación general se
puede expresar en función del coseno de modo que en t=0 se obtiene x(0)=A.
x(t ) = 0.49 cos(10t )
x(5) = 0.49 cos(10 ⋅ 5) = 0.47m
* Otra alternativa era haber calculado la fase inicial y usar la función seno
π⎞
⎛
x(t ) = 0.49sen⎜10t + ⎟
2⎠
⎝