Ecuaciones dinámicas fundamentales.
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TEMA 5 ECUACIONES DINÁMICAS FUNDAMENTALES 5.1 Sistema cerrado de cinco ecuaciones 5.1.1 Ecuación del movimiento 5.1.2 Ecuación de estado 5.1.3 Ecuación de la termodinámica 5.1.4 Ecuación de continuidad 5.1.5 Ecuación de continuidad del agua 5.2 Aproximaciones anelástica y de Boussinesq 5.3 Vorticidad 5.4 Ecuaciones fundamentales expresadas en forma de perturbación 5.5 Teoría K 5.1 Sistema cerrado de 5 ecuaciones 5.1.1 Ecuación del movimiento (2ª ley de Newton) d v 1 =− ∇ P− f k×v −g k F dt grad P Coriolis gravedad fricción 5.1.2 Ecuación de estado 3 P= Rd T ; P= R d T v para el aire húmedo:T v ≃T 1 q v 5 5.1.3 Ecuación de la termodinámica (1er ppio) d dT Q̇=c V P dt dt en forma de variación temporal Q̇=c P dT dP en forma entálpica − dt dt R se suele poner en términos de temperatura potencial: =T 1000 c P R R d 1 1000 c d 1 P c = Q̇ = Q̇ ; = función de Exner dt c P P dt c P 1000 P P P en dinámica de nubes, Q̇ incluye calentamiento o enfriamiento asociados con radiación y cambios de fase (términos no adiabáticos) Cuando sólo consideramos cambios de fase dq dT dP d −l dq Q̇=−l =c P − ; = dt dt dt dt c P dt conviene usar la temp. pot. equivalente (invariante frente a mov adiab seco y casi frente a mov saturado) 5.1.4 Ecuación de continuidad de la masa d V =− ∇⋅ dt 5.1.5 Ecuación de continuidad del agua dq i =S i ; qT =∑ q i dt i 5.2 Aproximaciones anelástica y de Boussinesq Ecuación del movimiento (EM) en términos de equilibrio hidrostático y sus aproximaciones: ∗ d v 1 ∗ ; con B=−g =− ∇ P − f k ×v B k F dt 0 0 o: estado hidrostático *: desviación frente a este B: flotabilidad La ecuación de la continuidad de la masa (EC) podrá escribirse: ∇⋅0 v =0 el uso de EM + EC dentro del sistema de 5 ec. -> aproximación anelástica esta aprox. requiere además que el estado sea isentrópico si la extensión vertical del mov del aire es una capa estrecha 0=cte -> v =0 (fluido incompresible) la ecuación de continuidad de la masa (EC') ∇⋅ usando EC' + EM en el sistema de 5 ec.-> aproximación de Boussinesq adecuada para muchas aplicaciones en dinámica de nubes sin cambios en la interpretación física 5.3 Vorticidad Vorticidad local: ×v = y i j k = ∇ medida local de la rotación de un fluido Vorticidad absoluta: vorticidad local (del aire) + vorticidad planetaria ×v = y i j f k a= ∇ a pequeña escala el efecto Coriolis desaparece (nubes) a⋅∇ vorticidad potencial de Ertel: p= que se conserva en procesos adiabáticos secos a⋅∇ e Vorticidad potencial equivalente: pe= se conserva en procesos adiabáticos saturados 5.4 Ecuaciones fundamentales expresadas en forma de perturbación movimiento=promedio en un volumen especial arbitrario (A)+perturbación (A') A= A A' (A' se puede suponer debida a turbulencia) 2 conjuntos de 5 ec.: las ec. de la variable media + ec. de la perturbación (1as predicen la conducta de la variable media , 2as las desviaciones respecto a esa conducta) EC. DE ESTADO: Tv' ' P ' = P R Tv ; ≃ P Tv EC. DE CONTINUIDAD: ∇⋅ v =0 ; ∇⋅ 0 0 v ' =0 .... En estas ec. aparecen términos de la forma v ' A ' que representan flujos asociados a perturbaciones, flujos turbulentos (remolinos) A' puede ser: ->T , ->P, qi, u, v, w, ... 5.5 Teoría K Si los flujos turbulentos son suficientemente pequeños -> pueden considerarse análogos a la difusión molecular: A v ' A '=−K ∇ A KA: coeficiente de intercambio. Proporcional al tamaño y velocidad del remolino. En la atmósfera KA depende mucho de la cizalla del viento y de la estratificación termodinámica. Cerca del suelo depende además de otras variables como la altura o la rugosidad. Cuando KA se representa en función de esas variables entonces se dice que las ecuaciones fundamentales están cerradas. -> Teoría K o cierre de primer orden Los flujos que más interesan en la atmósfera son los verticales: flujos verticales de momento eje x: eje y : ∂u w ' u '=− K m ∂z ∂ v w ' v '=− K m ∂z flujo vert. de calor sensible: flujo vert. de vapor de agua: ∂ c P w ' ' =−c P K ∂z ∂ q w ' q' =− K v ∂z Bibliografía Houze, R.A. (1993): Chapter 2, Atmospheric Dynamics. Cloud Dynamics, pags: 26-66. International Geophysics Series, Vol 53. Ed: Academic Press Inc. Acrónimos ( ¯ ) : promedio ( )': desviación frente al promedio A: una variable cualquiera B: flotabilidad cP: calor específico a presión constante cV: calor específico a volumen constate F: fricción f: parámetro de Coriolis; vorticidad planetaria g: gravedad K: coeficiente de intercambio k: vector unitario en dirección vertical l: calor latente por unidad de masa P: presión p: vorticidad potencial de Ertel pe: vorticidad potencial equivalente Q: flujos de calor por unidad de masa q: humedad específica para el vapor de agua qi: humedad específica para cualquier categoría acuosa qT: humedad específica total del agua R: constante específica de los gases ideales Si: suma de las fuentes y sumideros de una categoría acuosa T: temperatura t: tiempo Tv: temperatura virtual u: componente zonal del viento v: componente meridional del viento v: velocidad del viento V: velocidad horizontal del viento w: componente vertical del viento y: componente zonal de la vorticidad z: altura : función de Exner : volumen específico : temperatura potencial e: temperatura potencial equivalente : componente vertical de la vorticidad local : densidad *: desviación de la densidad respecto al estado hidrostático 0: densidad en equilibrio hidrostático : vorticidad local a: vorticidad absoluta : componente meridional de la vorticidad
