Capítulo 2º

10
Capı́tulo 2
Espacios Métricos
2.1 Distancias y espacios métricos
Definición 2.1.1 (Distancia). Dado un conjunto , una distancia es una aplicaci ón
que a cada par
le asocia un número real
y que cumple los
siguientes condiciones:
.
2. si, y sólo si (separación).
3. para todo !
(simetrı́a).
4. "$#%&'(#) para todo $#*
1.
(desigualdad triangular).
Definición 2.1.2 (Espacio métrico). Se llama espacio métrico a un par
conjunto y es una distancia definida en .
$+ , donde
es un
Ejemplo 2.1.3.
,-
./
021 31
(1) El espacio métrico de los números reales con la métrica del valor absoluto de la diferencia, es
decir
definida como
.
(2) El espacio métrico discreto. Sea
si
y
si
un conjunto no vacı́o cualquiera; si
.
es un espacio métrico.
- 65 87 $+
4
definimos
9
Antes de continuar con el siguiente, e importante ejemplo, conviene establecer una interesante
relación:
11
CAPÍTULO 2. ESPACIOS MÉTRICOS
12
Proposición 2.1.4 (Desigualdad de Cauchy-Schwarz). Si reales cualesquiera, entonces:
y
números
el
Demostración. Dado cualquier
se verifica que . Si desarrollamos
tomando
cuadrado y agrupamos
tendremos
que
.
y En estos términos, lo que queremos probar es que . Si todos los
y por
tanto también todos los
. Si podemos poner
"!
$#
$%&
"
,
& & ,
"
para todo
anterior
7 " & & ,
8 "
)*&
&
y si lo sustituimos en la expresión
(') "
. El segundo miembro es mı́nimo si
Ejemplo 2.1.5.
(1) Sea
*& (')
, e * se definen las aplicaciones:
*1 1 &21 1 & +*, --0 .0/13$1 1 1 1 2
, y para los puntos
--
En el gráfico anterior puede verse como es cada una de estas distancias. Las tres son generalizaciones de la métrica del valor absoluto de la diferencia, y las tres tienen nombre propio: se
llama la métrica del taxi, se llama la métrica euclı́dea o usual y 3- se llama la métrica del
ajedrez o del máximo.
2.1. DISTANCIAS Y ESPACIOS MÉTRICOS
(2) El ejemplo anterior se puede generalizar a
se define:
- 0 . Sean
13
e
1 1
* 0
+*, -- $ 1 1 5 La prueba de que y - son distancias es una mera comprobación. Lo mismo sucede con las
propiedades (1) y (2); no ası́ con la desigualdad triangular en la que hay que utilizar la desigualdad
de Cauchy-Schwarz. Veámoslo.
Sean
$#* y consideremos
( $#%&' (#) # &
# (# &
&
(# # (# aplicando la desigualdad de Cauchy-Schwarz al último sumando de la expresión anterior, podemos
continuar
# &
( # &
# (# # & (# &) # (# # 3& (# ( Las tres métricas se pueden considerar generalizaciones de la métrica del valor absoluto en
en el Ejemplo 1.0.3(1)
# 21 # # 1
(3) El conjunto de los números complejos con la métrica del módulo de la diferencia
con , es un espacio métrico.
# $# vista
(# CAPÍTULO 2. ESPACIOS MÉTRICOS
14
(de
la palabra inglesa bounded que significa acotada), el conjunto de
. Dadas dos funciones (que son los puntos de este espacio),
-- )
1 1 (4) Sea
funciones acotadas , sea
!
La siguiente gráfica nos da una idea de cómo es esta distancia.
..
..
..
..
..
..
..
..
.
$-
El par
uniforme.
..
..
..
..
..
..
.
.
-
es un espacio métrico y la métrica se denomina métrica del supremo o métrica
En concreto podemos destacar por su interés el espacio de las sucesiones acotadas
sucesión acotada acotada .
con la distancia (5) El espacio continua de las funciones reales continuas
sobre un intervalo cerrado
con la distancia
- )0
* 1 1
1 1 es también un espacio métrico.
...
..
..
..
..
..
..
..
...
..
..
..
..
..
.
-
(6) Las siguientes métricas se pueden definir en el producto de dos espacios métricos. Sean
,
donde
:
y ; se define para
$ 6 * !
0 3&4 $ +
2.1. DISTANCIAS Y ESPACIOS MÉTRICOS
15
( &' +*, -- $ $ Se ve claramente que se trata de una construcción
similar a la seguida en el ejemplo 1.0.5(1) para
9
la construcción de tres distancias en ; y juegan el papel de 1+1 .
$+ un espacio métrico, entonces se verifica
1 $#% (#) 1+" para todo $#
Demostración. Aplicando la desigualdad triangular tenemos $#%." & $#%
3&'(#) , por tanto $#% (#) "
De forma análoga podemos poner (#) " (#) & $#% &
y tendremos
que "$#%
(#) .
Proposición 2.1.6. Sea
Si unimos las dos desigualdades obtenidas en los párrafos anteriores
"$#% (#) "
$+
2
un subcon 6 . El par $ recibe el nombre
Definición 2.1.7 (Subespacio métrico). Sea
un espacio métrico y sea
junto de . Sea también
, definida por
es un espacio métrico y se llama un subespacio métrico de , y la métrica
de métrica inducida por .
Si
, cuando se hable de como de un espacio métrico, siempre se estará suponiendo que
, salvo que se diga otra cosa en
su métrica es la métrica inducida por la métrica euclı́dea de
contra. En particular esto se aplica a los diferentes tipos de intervalos de números reales.
Ejemplo 2.1.8.
+ 5 con la métrica inducida por el valor absoluto es subespacio métrico de .
(2) con la métrica inducida por - es subespacio métrico de .
(1)
9
de las sucesiones reales con lı́mite 0, es subespacio métrico de - .
Definición 2.1.9 (Distancia de un punto a un conjunto). Sea $+ un espacio m étrico, sea un
. Definimos la distancia de un punto al subconjunto como
subconjunto (3) El espacio
que existe dado que el conjunto sobre el que tomamos el ı́nfimo, está acotado inferiormente por 0.
CAPÍTULO 2. ESPACIOS MÉTRICOS
16
y dos subconjuntos de . Se define la
Definición 2.1.10 (Distancia entre conjuntos). Sean
distancia del subconjunto al subconjunto como
* Ejemplo 2.1.11.
(1) Si
es la métrica discreta sobre
,
y
, entonces
0 5 sisi * 5 sisi 2
7 31 y sea 5 , entonces:
(2) Consideremos con la distancia usual 21 1 1% 4 5 ;
5 1 5 1 4 5 ;
(+ 1 1% 4 5 65 .
Evidentemente, si , entonces . El recı́proco no es cierto, como muestra este
ejemplo.
$ y & ",5 y 2 &* .
(3) Consideremos 5 . Una gráfica ayuda a realizar este sencillo cálculo: la distancia que
Entonces * queremos calcular es la diferencia entre la longitud de la diagonal de un cuadrado de lado 1, que
es y diámetro del cı́rculo que es 1.
5
......................
..
..
..
.
5
9
2.2. BOLAS
17
2.2 Bolas
Los subconjuntos, quizás más importantes, de un espacio métrico, que vamos a estudiar a continuación, son las bolas abiertas; que darán origen a un concepto fundamental: el de conjunto abierto.
Se trata de una generalización del concepto conocido de intervalo abierto centrado en un punto en
.
$+
Definición 2.2.1 (Bola abierta). Sea
un espacio métrico y sean
,y
real. Definimos la bola abierta en , centrada en y de radio como el conjunto
- un número
Si se necesita especificar con qué métrica se está trabajando, se representará la bola abierta por
.
11 la bola abierta de centro y radio es el intervalo abierto de extremos &
1 1 & - $ , tenemos que
(2) La palabra bola debe su origen al caso euclı́deo. En &4 - Ejemplo 2.2.2.
(1) En
es el interior del cı́rculo de radio
centrado en .
$ - $#% &8 &'# ,
En el espacio
esfera sólida de radio centrada en .
$ *
y
es el interior de la bola o
Las bolas abiertas, sin embargo,
pueden ser realmente muy diferentes y no tener la apariencia de
una bola esférica. En
- , la bola es el interior del cuadrado de centro y de lados
paralelos a los ejes de coordenadas y con longitud .
$ -(+ - (+ ( + (+ $ $ (+$ con la métrica , la bola En
es el interior del cuadrado centrado en el punto
y con vértices en los puntos
. Con la gráfica siguiente nos
podemos
hacer una idea de cómo son estas tres bolas, con centro 0 y radio
en el plano .
1
5
1
1
5
--(+ 5 5
1
5
(+ 5 65
5
1 ...
..... ........
.
.
.
.
.....
.
.....
.....
.
.
.
...
........
.....1
.....
.
.
.
....
...
..... ........
..........
5
(+ 5 18
CAPÍTULO 2. ESPACIOS MÉTRICOS
+ 5 - (3) En - , es el conjunto de todas las funciones continuas
gráfica se encuentra entre las gráficas de las funciones y
.
(4) En el espacio métrico discreto
+ 5 2
$ se tiene que
si ",5
- si 5
5 5 0 ( + 5
(5) Sea
con la métrica del valor absoluto
, mientras que para la métrica inducida en , (+ &
en
en . Entonces, en ,
.
+ 5 , cuya
5 5 9
Las bolas abiertas en un subespacio métrico son la intersección con el subespacio de la bola del
espacio total con el mismo centro y radio:
$+
$ Proposición 2.2.3 (Bolas en subespacios métricos). Sea
un espacio métrico, y sea un
subconjunto de ; entonces las bolas abiertas del subespacio m étrico
son la intersección de las correspondientes bolas en el espacio total con el subconjunto. Es decir, 2.3 Abiertos. Propiedades
Uno de los objetivos de este curso es llegar al concepto de espacio topológico por medio del
estudio de los espacios métricos, que son más naturales, y de sus propiedades. Empezaremos con
una propiedad caracterı́stica de las bolas abiertas, que nos va a dar lugar a introducir una primera
definición de conjunto abierto; en este caso, abierto en un espacio métrico.
- una bola abierta
en un espacio métrico $+ , y sea ,
tal que - - .
Lema 2.3.1. Sea entonces existe un
..........
... ..
- - - #* - $#% " &'$#% "3& 3& Demostración. Basta tomar de modo que
. El número se
puede escoger
ası́ ya que, como
, entonces
. Entonces , puesto que si
$
entonces, por la desigualdad triangular,
2.3. ABIERTOS. PROPIEDADES
Por tanto,
19
# - .
$+ es un espacio métrico y - - .
Teorema 2.3.2 (Propiedad de Hausdorff). Si
puntos distintos, existen tales que son dos
Demostración. (Ejercicio)
Este resultado permite plantearse la definición de un tipo de subconjuntos que verifican esta condición, es decir, de aquellos subconjuntos tales que, para cualquier punto del subconjunto, existe una
bola abierta centrada en él y totalmente contenida en el subconjunto. Serán los conjuntos abiertos.
$+
4
- Definición 2.3.3 (Conjunto abierto). Sea
un espacio métrico. Diremos que un subconjunto es abierto en
si para cada
existe un
tal que .
Observemos que el número real depende del punto , es decir, para diferentes ser án necesarios diferentes radios .
$+
Corolario 2.3.4. Cualquier bola abierta en un espacio m étrico
$+ es un abierto
Ejemplo 2.3.5.
(1) Cualquier intervalo abierto de la recta real, incluso los intervalos abiertos no acotados, es en
subconjunto abierto de la recta real con la métrica del valor absoluto de la diferencia. También lo
son las uniones de intervalos abiertos. Sin embargo los intervalos
,
y
no lo son.
(2) Un conjunto abierto no tiene por qué ser una bola abierta. Ası́ el subconjunto de :
. 1 1,5 1 31
no es una bola abierta de
para la métrica euclı́dea, y sin embargo sı́ que es un subconjunto
abierto. Sin embargo el conjunto siguiente no es abierto
2 1 1,5 1 31%"
(3) En la métrica discreta, cualquier subconjunto es abierto.
(4) La condición de ser abierto depende de la métrica. El subconjunto
métrica discreta, pero no lo es para la métrica euclı́dea.
es abierto para la
(5) La condición de ser abierto también depende del conjunto sobre el que se define la métrica.
Ası́, el intervalo
es abierto en , pero no lo es en el espacio total con la métrica
del valor absoluto.
+ 5 Teorema 2.3.6. Sea
1.
y
+ $
$+ un espacio métrico, entonces se verifican:
son abiertos.
9
20
2. Si
3. Si
CAPÍTULO 2. ESPACIOS MÉTRICOS
0 es una familia de abiertos en , entonces es un abierto.
65 % es una familia finita de abiertos, entonces es un abierto.
Demostración.
(1) Es claro
- (3) Si (2) Si
, existirá un tal que
; como es abierto, para algún , lo que quiere
decir que la unión es un conjunto abierto.
será
5 % y como cada es abierto, cada
de centro , es decir, para cada 5 % - tomamos . 5 % tendremos que
65 % y por tanto - .
, entonces para todo
uno de estos conjuntos debe contener una bola
existirá un
tal que . Si
para todo - - Ejemplo 2.3.7.
131 9
La intersección
arbitraria de abiertos no es, en general un abierto.
la familia de
Si consideramos
abiertos
en
, su intersección es
, que no es abierto.
Algunas de las propiedades e ideas más importantes que abordaremos y, que de hecho, ya se están
abordando en análisis, necesitan del estudio de lo que ocurre en un punto y, más en concreto, en
las cercanı́as, en los alrededores de un punto; ası́ sucede con la continuidad, con la convergencia,... Necesitamos realizar un estudio local. Vamos a ver algunos conceptos que facilitarán dicho
estudio.
$+
- Definición 2.3.8 (Entorno). Sea
un espacio métrico, tal que Diremos que es un entorno de si existe un
un subconjunto y
.
Ejemplo 2.3.9.
(1) Una bola abierta en un espacio métrico, es entorno de todos sus puntos. En concreto, en
la métrica usual, un intervalo abierto, es entorno de todos sus puntos.
.
con
9
+ es un entorno del punto 5 , pero no lo es del punto .
Proposición 2.3.10. Un subconjunto de un espacio métrico $+ es abierto si y sólo si es
(2) El intervalo
entorno de todos sus puntos.
Demostración. (Ejercicio)
2.4 Cerrados
Tan importantes como los abiertos, son sus complementarios, los llamaremos cerrados.
2.4. CERRADOS
$+
Definición 2.4.1 (Cerrado). Sea
un espacio métrico. Diremos que un subconjunto
es cerrado en
si su complementario es un subconjunto abierto en
$+
21
$+ .
Ejemplo 2.4.2.
& En , con la métrica usual, los intervalos cerrados son subconjuntos cerrados; también lo son las
semirrectas cerradas
o
. No lo son los intervalos de la forma
,
o
.
Proposición 2.4.3. Un subconjunto de un espacio métrico
todo
existe un
tal que $
.
Si
Demostración. '
(
, existe
- .
- es cerrado quiere decir que
tal que , es decir, Si para todo
(
), existe
entonces es abierto, luego es cerrado.
9
$+ es un cerrado si y sólo si para
es abierto, por tanto, para todo
- $,
tal que - . , entonces - ,
Ejemplo 2.4.4.
$ , el conjunto . 1 1 5 1 31)" no es cerrado y 1 1%",5 1 31+" , sı́ lo es.
$ , cualquier recta es un conjunto cerrado.
9
(2) En Definición 2.4.5. Sea $+ un espacio métrico, sea , y número real. Llamaremos
(1) En
bola cerrada de centro
y radio al conjunto
"
Las bolas cerradas contienen a las correspondientes bolas abiertas.
Proposición 2.4.6. En un espacio métrico, las bolas cerradas son conjuntos cerrados
Demostración. (Ejercicio)
Teorema 2.4.7. Sea
1.
y
2. Si
3. Si
$+ un espacio métrico, entonces se verifican:
son cerrados.
es una familia de cerrados en , entonces es un cerrado.
65 % es una familia finita de cerrados, entonces es un cerrado.
Demostración. Se trata de aplicar las leyes de Morgan. (Ejercicio)
CAPÍTULO 2. ESPACIOS MÉTRICOS
22
Ejemplo 2.4.8.
+ 5 3 (1) La unión
arbitrario de cerrados no es, necesariamente un cerrado. Consideremos la familia
de intervalos cerrados en ; su intersección
+ 5 5 + 5 no es cerrado.
(2) En la métrica discreta cualquier subconjunto es cerrado.
(3) Hay subconjuntos que no son ni abiertos ni cerrados, por ejemplo
euclı́dea.
+ 5 con la métrica
9
(4) También es posible que un subconjunto sea a la vez abierto y cerrado. Por ejemplo, con la
métrica discreta, cualquier subconjunto es a la vez abierto y cerrado.
2
$+ un espacio métrico y
y tal que - .
Definición 2.4.9. Sea
acotado si eixten
. Diremos que
es un subconjunto
Ejemplo 2.4.10.
(1)
(2)
con la métrica euclı́dea es un espacio métrico no acotado.
con la métrica discreta es un espacio métrico acotado.
(3) Los subespacios , y de con la métrica euclı́dea son subespacios
métricos acotados. El subespacio
no es acotado.
(4) Cualquier bola, abierta o cerrada, es un subespacio acotado.
5
5 5 5& $+
Definición 2.4.11 (Diámetro de un conjunto). Sea
un espacio métrico y
subconjunto acotado. Definimos el di ámetro de , y se representa por
como
Ejemplo 2.4.12.
0
5
un
5 y 5 de (1) Los diámetros de los subconjuntos , respectivamente , y .
9
con la métrica usual son
5 5
+ 5 de es un subconjunto acotado para cada una de las tres métricas
(2) El subespacio + 5 , y - . Sus diámetros
para cada una de estas tres métricas son, respectivamente, , y 5 9 .