Semivida de una pelota

Material de ayuda al profesor de Física
Trabajo práctico 7
Semivida de una pelota
INTRODUCCIÓN
Esta investigación plantea la pregunta de si la altura de los rebotes de una pelota presenta una
disminución exponencial y, si es así, ¿cuál es la semivida de la altura?
La variable independiente es el número del rebote. La “vida” de una pelota se mide por el
número del rebote 1º, 2º, 3º, etc. Éste es un número puro, por lo tanto, sin unidades ni
incertidumbres.
La variable dependiente es la altura del rebote, A, la altura alcanzada entre rebotes. Para medir
A, se mide el tiempo ∆T entre rebotes consecutivos y se calcula A por medio de A =
t=
1 2
gt , donde
2
1
1
procede del hecho de que ∆T es el tiempo hasta la altura del rebote más el
∆T . El
2
2
tiempo de caída desde la altura del rebote. Es mucho más exacto medir el intervalo de tiempo, y
a continuación calcular la altura, que intentar medir la altura del rebote de una pelota estando en
movimiento. No hay una incertidumbre significativa en la altura calculada porque se basa en un
mecanismo muy preciso de cronometraje con el computador y la interfase.
Las variables controladas incluyen el uso de la misma superficie y la misma pelota. La altura
inicial de caída no es pertinente porque la primera altura de rebote se calcula con el intervalo
entre el primer impacto y el segundo. Si la pelota se desplaza de la vertical en su rebote, entonces
se rechaza el dato. Por tanto, una variable controlada es que el rebote permanece más o menos
sobre la vertical.
DATOS OBTENIDOS
El tiempo ∆T se determina registrando el impacto sonoro del rebote de la pelota. Los intervalos
de tiempo se leen a partir de una gráfica de presión sonora en relación con el tiempo. Se hizo una
serie de pruebas y se observó que el sonido que el computador registraba con más claridad
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(menos ruido) era el de una pelota de ping-pong. Se hicieron algunas pruebas desde varias alturas
iniciales de caída y se vio que la mejor altura de caída era de alrededor de 60 cm.
El micrófono se conectó a la interfase de Lab Pro de Vernier y éste, a su vez, al computador. El
software LoggerPro 3.4.1 de Vernier detectó automáticamente el micrófono y dibujó los ejes de
la gráfica del nivel de sonido en relación con el tiempo. El dispositivo estaba preconfigurado.
La figura 1 contiene una muestra de datos brutos de la intensidad sonora (en unidades arbitrarias)
y mediciones de tiempo (en segundos).
Figura 1: Datos brutos: presión sonora (unidades) y tiempo (s)
Tiempo
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
(s)
0,000
0,001
0,002
0,003
0,004
0,005
0,006
0,007
0,008
0,009
0,010
0,011
0,012
0,013
Presión
sonora
(arbitraria)
2,684
2,684
2,684
2,684
2,684
2,684
2,684
2,684
2,684
2,684
2,684
2,684
2,684
2,684
Presión
compensada
(arbitraria)
0,000
0,000
0,000
−0,001
0,000
0,000
0,000
0,000
0,000
−0,001
−0,001
0,000
0,000
0,001
Seguidamente, estos datos se representan gráficamente de manera automática.
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Figura 2: Gráfica de la presión sonora (unidades) en relación con el tiempo (s)
Presión compensada (arbitraria)
0,3
0,1
-0,1
-0,3
-0,5
Tiempo (s)
El computador calcula los tiempos consecutivos para los primeros picos de cada rebote y lo
utiliza para calcular la altura del rebote A y el logaritmo neperiano de la altura A. Se utiliza el
valor g = 9,81 m s−2, pero como es una constante a lo largo de todo el experimento, podría haber
sido normalizado, o sea g = 1.
Véase la tabla de datos siguiente, Figura 3, y los detalles de algunos cálculos.
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Figura 3: Datos procesados
N
Datos
Delta Tiempo
(s)
1
2
3
4
5
6
7
0
1
2
3
4
5
6
Tiempo total
(s)
0,213
0,518
0,799
1,061
1,303
1,529
1,741
Altura
(m)
Ln (Altura)
A(n+1) / A(n)
0,305
0,281
0,262
0,242
0,226
0,212
0,114
0,097
0,084
0,072
0,063
0,055
-2,173
-2,337
-2,477
-2,636
-2,773
-2,900
0,851
0,866
0,857
0,875
0,873
8
7
1,938
0,197
0,047
-3,047
0,855
9
10
11
8
9
10
2,124
2,292
2,452
0,186
0,168
0,160
0,042
0,035
0,031
-3,162
-3,366
-3,463
0,894
0,833
0,886
12
13
14
15
16
17
11
12
13
14
15
16
2,599
2,735
2,861
2,981
3,092
3,195
0,147
0,136
0,126
0,120
0,111
0,103
0,026
0,023
0,019
0,018
0,015
0,013
-3,633
-3,788
-3,941
-4,039
-4,195
-4,344
0,837
0,885
0,826
18
19
17
18
3,294
3,384
0,099
0,090
0,012
0,010
-4,423
-4,614
20
Cálculo de Delta Tiempo:
Delta Tiempo = Tiempo TotalN+1 − Tiempo TotalN → ∆TN a N+1 = TN+1 − TN
Por ejemplo, el intervalo entre N =3 y N =4:
∆T3 →4 = 1,303s − 1,061s = 0,242s
Cálculo de la altura de rebote:
2
1
1 § ∆T ·
g ∆T 2 (9,81ms −2 )∆T
=
Altura de rebote = A = gt2 = A = g ¨
=
¸
8
8
2
2 © 2 ¹
= 1,22625 × ∆T2
Por ejemplo, A para el intervalo N = 3 → N= 4:
A = 1,22625 ( ∆T3→4 ) = 1,22625 (0,242s)2 = 0,071814 m ≈ 0,072m
2
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Cálculo del logaritmo neperiano de la altura:
Ln a3→4 = ln(0,071814) ≈ −2,477
ANÁLISIS DE LOS DATOS
A se representa gráficamente en relación con el tiempo total (véase Figura 4). No se han incluido
las barras de error porque, como se dijo más arriba, la incertidumbre en el cálculo de A es
insignificante.
Figura 4.
Altura con respecto al tiempo total
Altura (m)
0,10
0,05
0,00
Tiempo total (s)
Claramente, no hay un decrecimiento exponencial ya que el tiempo que tardan los valores
consecutivos de A en reducirse a 0,5A, no es constante. Para determinar la relación entre A y T,
se representa una gráfica del logaritmo neperiano de A en relación con el tiempo total.
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Figura 5.
ln (Altura)
Logaritmo neperiano de la altura con respecto al tiempo total
Ajuste automático para: Conjunto de
datos:ln (Altura)
y = A*exp(-CT)+B
A: -0,879 +/- 0,0851
C: -0,405 +/- 0,0204
B: -1,12 +/- 0,106
Error cuadrático medio: 0,0233
Tiempo total (s)
La gráfica muestra que no hay una relación de potencia entre A y T. Fue en esta etapa que se
percibió que la pregunta de investigación que se había planteado estaba equivocada. Puesto que
los intervalos de tiempo entre rebotes no eran iguales, la pregunta de investigación debería ser
“¿La altura A de los rebotes consecutivos de la pelota decae exponencialmente con el número de
rebotes?” Por lo tanto, se trazó una gráfica de A con respecto al número de rebotes, como se
muestra más abajo.
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Figura 6.
Altura con respecto al número de rebotes
Altura (m)
0,10
Ajuste automático para: Conjunto de datos:
Altura
y = A*exp(-CN)+B
A: 0,130 +/- 0,000740
C: 0,148 +/- 0,00288
B: 0,00108 +/- 0,000793
Error cuadrático medio: 0,000737
0,05
0,00
Número de rebotes
A se reduce de 0,10 m a 0,05 m en aproximadamente 5 rebotes (4,9) y después de 0,05 a 0,025 en
otros 5 rebotes, lo que indica una “disminución exponencial”.
Se supone que A = A0e − λ n , donde λ es la constante de decrecimiento y n el número del rebote,
de modo que una representación del logaritmo neperiano de A con respecto a n debería dar como
gráfica una línea recta cuyo gradiente es = λ . La gráfica está trazada más abajo.
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Figura 7.
Logaritmo neperiano de la altura con respecto al número de rebotes
ln (Altura)
Ajuste lineal para: Conjunto de datos:ln (Altura)
y = mN+b
m(Pendiente): -0,143
b(Intersección Y): -2,05
Correlación: -1,00
Número de rebotes
ANÁLISIS DE LA SEMIVIDA
El gradiente de la gráfica calculado por el computador es m = λ = −0,143. La “semivida” se
determina a partir de t 1 =
2
ln 2
λ
= 4,85 rebotes. Esto concuerda con la representación de A con
respecto al número de rebotes (véase más arriba).
CONCLUSIÓN Y EVALUACIÓN
Resultados: Los resultados muestran que, para esta pelota concreta y para esta superficie, la altura de los rebotes
consecutivos decae exponencialmente con el número de rebotes. Sin embargo, debe recordarse que la disminución
en la altura viene dada por una función. Como tal, el decaimiento sería cierto únicamente si hubiera un número muy
grande de rebotes y después de cada rebote hubiera una disminución muy pequeña en la altura.
Limitaciones: La única limitación en este experimento es que no había suficiente tiempo para
tomar más datos. Más datos habrían ayudado a probar la validez y/o las limitaciones de la ley
exponencial en esta situación así como su validez para pelotas de diferente material que rebotan
sobre superficies diferentes.
Mejoras: La pelota podría haberse soltado desde mayor altura para aumentar el número de puntos en la grafica y
soltada desde menor altura para disminuir el número de puntos . Esto podría haberse repetido para diferentes pelotas
soltadas sobre superficies diferentes desde alturas diferentes.
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