Identificaci´on en lazo cerrado de sistemas dinámicos

Revista Colombiana de Fı́sica, vol. 45 No.1, 2013.
Identificación en lazo cerrado de sistemas dinámicos
Closed Loop Identification of Dynamical Systems
D. Bravo-Montenegro a,c ⋆ , C. Rengifo-Rodas b , E. Franco-Mejı́a c
a Grupo
de Investigación en Sistemas Dinámicos, Instrumentación y Control SIDICO, Universidad del Cauca, Popayán, Colombia.
b Grupo de Investigación en Automática Industrial, Universidad del Cauca, Popayán, Colombia.
c Grupo de Investigación en Control Industrial GICI, Universidad del Valle, Cali, Colombia.
Recibido septiembre 19 de 2011; aceptado junio 7 de 2013.
Resumen
En este trabajo se muestra un estudio comparativo de los métodos utilizados en el modelado, a partir
de datos experimentales, de sistemas dinámicos que operan en lazo cerrado, se propone y se valida una
metodologı́a para el diseño de experimentos de identificación en lazo cerrado en una planta de control de
procesos.
Palabras clave: lazo cerrado, datos experimentales, identificación, modelos, señales, sistemas dinámicos.
Abstract
In this paper, we show a comparative study of methods used in modeling, from experimental data, of dynamical systems operating in closed loop. A methodology to design experiments of closed loop identification
in a process control plant, is proposed and validated.
Keywords: closed loop, experimental data, identification, models, signals, dynamical systems.
1. Introducción
La Identificación consiste en la determinación del
modelo matemático de un sistema dinámico a partir de
medidas entrada-salida. El conocimiento del modelo es
necesario para el diseño y la implementación de un sistema de control de alto desempeño. La identificación
de sistemas es una aproximación experimental para determinar el modelo dinámico de un sistema fı́sico, estas
técnicas de identificación se clasifican ası́: toma de datos y posterior procesamiento (offline), y toma de datos
y procesamiento continuo (online).
Cuando estas variantes entregan modelos lineales, los
resultados provenientes de técnicas offline solo son válidos alrededor del punto de operación donde se realizó la
toma de datos; la identificación online en cambio, con-
tinuamente está comparando la salida del sistema con
la salida predecida por el modelo y, si hay variaciones
el modelo, se recalcula; a su vez la identificación, ya
sea offline u online, puede hacerse en lazo abierto o en
lazo abierto cerrado.
Existe gran cantidad de investigación desarrollada en
identificación de sistemas desde los trabajos de estimación [Marquart, 1963; Astrom, 1968] hasta los trabajos
más recientes en identificación de sistemas dinámicos
multivariables en lazo cerrado.
En este artı́culo se presentan de manera concisa los
conceptos fundamentales de la identificación de sistemas dinámicos de lazo cerrado. En los numerales dos y
tres se presentan aspectos teóricos de la identificación
de los sistemas que operan en lazo cerrado, en el numeral cuatro se desarrolla la metodologı́a seguida para la
experimentación, en la sección cinco se presentan los
⋆ [email protected]
Este trabajo es publicado por la Sociedad Colombiana de Fı́sica y distribuido en open acces según los términos de la licencia Creative
Commons Attribution.
Rev. Col. Fı́s., 45 No.1, 2013.
e(k)
M odelo de
ruido
H(q)
v(k)
u(k)
G(q)
Σ
y(k)
Figura 1. Esquema general para la representación de un sistema dinámico.
Los diferentes tipos de estructuras para la representación de sistemas dinámicos LTI como: FIR(Finite Impulse Response), ARX(Auto-Regresive with eXternal
input), ARMAX(Autoregresive Moving Average with
eXternal input), OE(Output Error), BJ(Box and Jenkins), son casos especiales de (Ec. 3).
resultados de la experimentación y, finalmente, se presentan las conclusiones del trabajo.
2. Representación de sistemas dinámicos en el
dominio del tiempo
La figura 1 muestra la estructura a utilizar para la
representación del sistema dinámico a identificar.
La parte determinı́stica de la señal de salida y(k) se
expresa como la respuesta de G(q), un sistema lineal de
tiempo discreto gobernado por una señal determinı́stica u(k) que representa las entradas al sistema. v(k), la
parte estocástica de y (k), representa el ruido que afecta
cualquier tipo de medición:
y(k) = G(q)u(k) + υ(k).
3. Identificación en lazo cerrado
En algunas situaciones prácticas es imposible remover la realimentación, tal es el caso de procesos con integradores o procesos inestables en lazo abierto o simplemente se hace necesario identificar la dinámica de
lazo abierto sin necesidad de abrir el lazo, ya que esta
operación puede causar pérdidas de producción.
La principal diferencia entre identificacı́on en lazo
abierto e identificacı́on en lazo cerrado es el origen de
los datos y no las técnicas de estimación empleadas
[Ljung, 1987]. El problema fundamental con los datos
de lazo cerrado es la influencia del ruido presente en la
medición de la señal de salida sobre la señal de entrada
al sistema. En la figura 2 se observa que si el sistema
no estuviese realimentado no habria ninguna influencia
de la señal υ(t) sobre u(t).
En identificación en lazo cerrado existen tres enfoques [4]:
(1)
Aquı́ suponemos que la planta es un sistema lineal
alrededor del punto de operación donde se obtuvieron
los datos para la identificación, también que la señal de
ruido que afectó al proceso de medición, se puede representar como la respuesta de estado estacionario de
un sistema lineal excitado por una señal de ruido blanco
e(k).
υ(k) = H(q)e(k).
(2)
En identificación, la estimación del modelo se hace
a partir de muestras de las señales de entrada y de salida, las funciones de transferencia G(q) y H(q) serán
de tiempo discreto. Se debe tener en cuenta que no
es fácil ajustar datos muestreados a modelos de tiempo continuo (5), las anteriores consideraciones implican
que H(q) debe tener todos sus polos y ceros dentro del
cı́rculo unitario. El modelo (Ec. 1) puede representarse
en términos de polinomios de grado finito como:
A(q)y(k) =
C(q)
B(q)
u(k) +
e(k).
F (q)
D(q)
Identificación directa : se estiman los parámetros del
modelo de lazo abierto con base en la medición de
u(k) y y(k), (ver figura 2). Cuando se hace identificación directa no se requiere conocer el modelo del
controlador.
Identificación indirecta : para identificar los parámetros del modelo de lazo abierto primero se realiza una
estimación del modelo de lazo cerrado con base en
r(k) y y(k). A partir del modelo del controlador y el
modelo de lazo cerrado, se obtiene mediante simple
(3)
46
D. Bravo-Montenegro et al.: Identificación en lazo cerrado...
x(k)
r(k)
+
Controlador
-
P
υ(k)
u(k)
P lanta
P
b
y(k)
T ransductor
Figura 2. Identificación en lazo cerrado.
álgebra de bloques el modelo de lazo abierto.
Identificación conjunta : utiliza un enfoque totalmente distinto a los dos anteriores, aquı́ se supone el sistema de lazo cerrado como una craga negra cuyas
entradas son r(k) y υ(k), y salidas u(k) y y(k). La
representación en bloques de la identificación conjunta se ilustra en la figura 3.
Tabla 1. Comparación de los modelos estimados.
Ident. Directa
Ident. Indirecta
Ident. Conjunta
1,002q −1 + 0,5041q −2
1,002q −1 + 0,5041q −2
1,003q −1 + 0,5134q −2
1 − 1,103q −1 + 0,1766q −2 1 − 1,103q −1 + 0,1789q −2 1 − 1,099q −1 + 0,165q −2
GDC = 20,4633
GDC = 19,8432
GDC = 22,9758
En la figura 4 se compara la respuesta en frecuencia
de los tres métodos, donde se corrobora la diferencia
entre las ganancias de D.C. para cada uno de los sistemas. Los diferentes modelos identificados son válidos,
las diferencias se deben a la varianza asociada con la
estimación de cada parámetro.
Para identificar la función de transferencia de lazo
abierto (Figura 3) a partir de un conjunto de datos de
lazo cerrado, r(k), u(k) y y(k) representan la señal de
referencia, la ley de control y la salida, respectivamente.
Para ilustrar los tres casos anteriores supongamos que
se desea identificar el siguiente sistema mediante toma
de datos en lazo cerrado de r(k), u(k) y y(k):
Se observa que cuando se parte de una correcta selección de la estructura del modelo los resultados obtenidos en general son buenos para cualquiera de los
métodos utilizados, se nota sin embargo la complica2
ción adicional en la identificación indirecta para hacer
z
z + 0,5
U (z) +
U (z).el despeje de los parámetros de lazo abierto, aún en un
Y (z) =
(z − 0,9)(z − 0,2)
(z − 0,9)(z − 0,2)
caso sencillo como el aquı́ presentado. La identificación
conjunta con respecto a la directa presenta la ventaja
La ecuación anterior puede expresarse como una estrucde no necesitar la estructura del modelo de ruido.
tura Arx:
En el caso de la identificación conjunta es posible
realizar
una validación de solo la parte determinı́stica,
−1
−2
−1
−2
(1−1,1q +0,18q )y(k) = (q +0,5q )u(k)+υ(k),
ya que esta equivale a utilizar datos provenientes de un
experimento sin realimentación. En la figura 5 se oby por lo tanto puede escribirse como un modelo de reserva
que los residuos (aquellas partes de los datos que
gresión lineal. Para objetivos de control del sistema solo
no
pueden
ser explicadas por el modelo) son estadı́stinos interesa identificar la parte determinı́stica del mocamente
independientes
de la señal de entrada u(k) utidelo G(q), en este caso:
lizada, por tanto el modelo puede ser aceptado.
q −1 + 0,5q −2
.
G(q) =
1 − 1,1q −1 + 0,18q −2
4. Metodologı́a para la identificación de sistemas
En la configuración utilizada para la toma de datos, la
señal r(k) se eligió como una secuencia binaria aleaLa identificación de sistemas es una aproximación
toria y para la simulación de la señal de ruido e(k) se
experimental para determinar el modelo dinámico de un
utilizó una secuencia de variables aleatorias, normalsistema, que incluye cuatro pasos:
mente distribuidas, con media cero y varianza 0.1. Los
1. Adquisición de datos entrada-salida bajo un proresultados obtenidos fueron los siguientes:
tocolo experimental.
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Rev. Col. Fı́s., 45 No.1, 2013.
r(k)
υ(k)
u(k)
SIST EM A
y(k)
Figura 3. Identificación conjunta.
Bode Diagram
30
Sistema Real
Ident. Directa
Ident. Indirecta
Ident. Conjunta
25
Magnitude (dB)
20
15
10
5
0
−5
−1
10
0
10
Frequency (rad/sec)
1
10
Figura 4. Respuesta en frecuencia del sistema real y los modelos estimados.
2. Selección o estimación de la estructura del modelo.
3. Estimación de los parámetros del modelo.
4. Validación del modelo identificado (estructura y
valores de los parámetros).
pruebas de validación. En este caso, es necesario reconsiderar los algoritmos de estimación, la complejidad
(estructura) del modelo o las condiciones experimentales. La identificación de sistemas debe ser considerada
como un procedimiento iterativo como el de la figura 6.
Un experimento de identificación necesita la comprensión de todos los cuatro pasos indicados. Los métodos
especı́ficos utilizados en cada etapa dependen del tipo
del modelo deseado (parámetrico o no parámetrico, de
tiempo continuo o tiempo discreto) y de las condiciones
experimentales (por ejemplo: hipótesis sobre el ruido,
identificación en lazo cerrado o abierto). La validación
es el paso obligatorio para decidir si el modelo identificado es aceptable o no.
No existe un único algoritmo de estimación de
parámetros ni un único protocolo experimental que
siempre nos entregue un buen modelo a partir de identificación, los modelos obtenidos no siempre pasan las
En resumen, los elementos esenciales que caracterizan los diferentes pasos de identificación son:
Adquisición de datos E/S bajo un protocolo experimental
Se debe seleccionar una señal de excitación con un
espectro de frecuencia adecuado para cubrir el ancho
de banda del proceso o planta a identificar, pero con
una magnitud (factor de cresta) pequeña.
Selección o estimación de la estructura del modelo
El problema tı́pico es definir los órdenes de los polinomios (numerador, denominador) de la función de
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D. Bravo-Montenegro et al.: Identificación en lazo cerrado...
Correlation function of residuals. Output y1
1
0.5
0
−0.5
−1
0
5
10
15
20
25
lag
Cross corr. function between input u1 and residuals from output y1
0.06
0.04
0.02
0
−0.02
−0.04
−0.06
−25
−20
−15
−10
−5
0
lag
5
10
15
20
25
Figura 5. Validación del modelo estimado por identificación conjunta.
transferencia pulso que representa el modelo de la
planta.
salida se obtuvieron de mediciones hechas a un sistema
real.
El sistema consta de las variables de control son potencia calorı́fica (QB) y la tasa de refulo (R). El flujo
(LF) y la concentración (XF) del producto de entrada
son asumidos constantes. Las variables controladas son
la rata de flujo del producto (LD) y la concentración del
producto (XD). Las variaciones de la entrada y la salida están alrededor de un punto de operación, el modelo
es lineal y está caracterizado por una matriz de transferencia de 2 × 2:
  

 

ω
R
H11 (q −1 ) H12 (q −1 )
LD

 +  1 (4)

=

QB
ω2
H21 (q −1 ) H22 (q −1 )
XD
Estimación de los parámetros del modelo
La metodologı́a de identificación clásica usada para
obtener modelos paramétricos o no-paramétricos no
presenta un buen desempeño por ser de baja exactitud y la carencia de un m´étodo de validación del
modelo, por lo que el autor (Landau,[ 2]) presenta
los métodos recursivos que ofrecen posibilidades de
indentificación on line de sistemas dinámicos.
Validación del modelo
Diferentes puntos de vista pueden ser considerados
para la escogencia de un procedimiento de validación
del modelo. El objetivo es verificar que el modelo
de salida excitado por la misma entrada aplicada a la
planta,reproduce las variaciones de la salida causadas por las variaciones de la entrada,indiferentes al
efecto del ruido.
donde ω1 y ω2 representan los disturbios no modelados.
Este modelo corresponde a la forma:
A(q −1 )y(t) = q −d B(q −1 )u(t) + ω(t).
El archivo de entrada-salida contiene 256 muestras,
la figura 8 muestra la señal de entrada, una secuencia
binaria pseudoaleatoria (SBPA), el perı́odo de muestreo
es de 10 segundos.
El modelo identificado utilizando un método de identificación recursiva es:
5. Experimento de identificación multivariable
El objetivo de este ejemplo es realizar la identificación de una columna de destilación binaria (aguametanol), un digrama ISA de la planta y el diagrama en
bloques se muestran en la figura 7.Los datos de entrada-
A(q) = 1 − 0, 7096q −1
B(q) = 0,0839q
49
−1
+ 0,1415q
(5)
−2
+ 0,0528q
−3
Rev. Col. Fı́s., 45 No.1, 2013.
Adquisición de datos E/S
bajo un protocolo experimental
Estimación de la estructura
del modelo
Estimación de parámetros
Validación del modelo
No
Si
Diseño del Controlador
Figura 6. Metodologı́a para la identificación de sistemas.
modelos de ruido para obtener estimaciones sin ”Bias”.
La identificación indirecta a pesar de su simplicidad
tiene el inconveniente de que necesita un conocimiento
exacto de la realimentación, en sistemas de control con
elementos no lineales, el despeje de los parámetros de
lazo abierto puede ser muy complejo, esto imposibilita
su uso en muchas situaciones prácticas. En identificación para control, la identificación conjunta es la técnica
más recomendable porque no se necesita conocer la estructura del modelo ruido para obtener una estimación
consistente de la parte determinı́stica.
La respuesta al escalón para 2 modelos estimados se
muestra en la figura 9.
6. Conclusiones
La principal diferencia entre identificación en lazo cerrado e identificación en lazo abierto es el origen de los
datos y no las técnicas de estimación empleadas. Como
se mostró, la identificación directa, indirecta y conjunta se basan en algoritmos de estimación de parámetros
desarrollados para lazo abierto.
El problema fundamental con los datos tomados en
lazo cerrado es que contienen menos información que
los obtenidos en lazo abierto, ya que el propósito de la
realimentación es disminuir la sensibilidad del sistema
ante los cambios en los parámetros de lazo abierto. En
este hecho radica la dificultad de identificar sistemas
dinámicos que operan en lazo cerrado. A diferencia de
la identificación en lazo abierto, donde a partir de modelos de ruido incorrectos y estructuras con parametrización independiente se pueden obtener modelos bastante aproximados, en identificación directa e indirecta en lazo cerrado es imperiosa la necesidad de buenos
Agradecimientos
Los autores desean agradecer a la Universidad del
Cauca por la comisión académica concedida para la presentación de este trabajo y a la Universidad del Valle,
por su permiso para trabajar en el Laboratorio de Automática.
50
D. Bravo-Montenegro et al.: Identificación en lazo cerrado...
Figura 7. Columna de destilación binaria (planta).
Salida QXD
0.6
0.4
0.2
0
−0.2
−0.4
−0.6
−0.8
50
100
150
200
250
200
250
Entrada QXD
0.6
0.4
0.2
0
−0.2
−0.4
50
100
150
Muestras
Figura 8. Datos entrada-salida de la columna de destilación.
Referencias
[3] L. Lennart. System Identification, Theory for the User. Prentice
Hall, 1999.
[1] D. Bravo. Revista Colombiana de Fı́sica, 40, 2008. pp. 411-413.
[2] I. Landau, Digital Control Systems. Springer. 2006.
[4] Rengifo C.F. Identificacion de sistemas dinámicos en lazo
cerrado. Santiago de Cali, 1995. Tesis de Maestrı́a. (Magı́ster
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Rev. Col. Fı́s., 45 No.1, 2013.
Columna de Destilacion : Respuesta al escalon
OEEPM nA=2
1.2
OEEPM nA=1
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
Tiempo (t/Ts)
Figura 9. Respuesta escalón: para dos modelos identificados.
1989.
[6] Y. Zhu, Multivariable Identification for Process Control. Elsevier
Science, 2001.
en Automática) Universidad del Valle. Escuela de Ingenierı́a
Eléctrica y Electrónica.
[5] T. Soderstrom, P. Stoica. System Identification. Prentice Hall,
52