Práctico 2 - Centro de Matematica

Universidad de la República
Facultad de Ciencias
Centro de Matemática
Análisis de Fourier–Curso 2011
Práctico 2
1. Sean S un conjunto, y X := {x : S → C : kxk∞ < ∞}, donde kxk∞ := sups∈S |x(s)|.
Probar que (X, k k∞ ) es un espacio de Banach. En particular (`∞ , k k∞ ) lo es.
2. Dada unaP
sucesión x se definen las sucesiones ∆x y Sx como ∆x(n) = x(n+1)−x(n), y
Sx(n) = nj=1 x(j) ∀n ≥ 1. También definimos Sx(0) = 0. Considérense las sucesiones
a y b.
a) Probar la siguiente fórmula de sumación por partes: si 1 ≤ M < N , entonces
N
X
k=M
a(k)b(k) = a(N )Sb(N ) − a(M )Sb(M − 1) −
N
−1
X
∆a(k)Sb(k).
k=M
b) Criterio de Dirichlet.
Pn Si la sucesión (bn ) es decreciente aP0 y la sucesión de sumas
an bn converge.
parciales An = k=1 ak está acotada, entonces la serie
P
c) Criterio de Abel. ProbarPque si
an es convergente y (bn ) es monótona convergente, entonces la serie
an bn es convergente.
3. Sean S un conjunto, y (fn ), (gn ) dos sucesiones de funciones definidas en S, a valores
complejos.
a) Criterio de Dirichlet. Si la sucesión (gn ) converge
Pn uniformemente a 0 y gn+1 ≤ gn ,
∀n, y si la sucesión
de
sumas
parciales
F
=
n
k=1 fk está uniformemente acotada,
P
entonces la serie
fn gn converge uniformemente en S.
P
b) Criterio de Abel. Probar que si
fn es uniformemente convergente
en S, (gn )
P
está uniformemente acotada y gn+1 ≤ gn , ∀n, entonces la serie
fn gn es uniformemente convergente en S.
P
eint
4. Probar que la serie n≥2 log
cerrado
n es uniformemente convergente en todo intervalo
P
nt
que tenga intersección vacı́a con 2πZ. Estudiar la convergencia de las series n≥2 cos
log n
P
nt
y n≥2 sen
log n .
1 P
eint
5. Verificar que 2i
n6=0 n es la serie de Fourier de la función impar f de perı́odo 2π tal
que f (0) = 0 y f (t) = π−t
2 si 0 < t < π (la llamada “sierra dentada”).
6. Principio de localización. Sea f una función
R integrable en T. Probar que, si 0 < δ <
π, entonces para todo t se tiene que lı́mn δ≤|s|≤π f (t − s)Dn (s)ds = 0. Deducir que
si f y g son funciones integrables en T que coinciden en un entorno de t, entonces
sn (f )(t) − sn (g)(t) tiende a 0 cuando n tiende a infinito (de modo que son ambas
divergentes o son ambas convergentes con el mismo lı́mite).
7. Se dice que f es Lipschitziana en t si existen δ > 0 y M > 0 tales que |f (t) − f (s)| ≤
M |t − s|, para todo s tal que |t − s| < δ.
a) Probar que si f es Lipschitziana en t, entonces f es continua en t.
b) Probar que si f es derivable en t, entonces f es Lipshitziana en t.
c) Probar que si f es integrable en T y Lipschitziana en t, entonces lı́mn sn (f )(t) = f (t).
d ) Probar que si f es de clase C 1 a trozos en T, entonces lı́mn sn (f )(t) = 12 [f (t+ ) +
f (t− )], donde f (t+ ) y f (t− ) son los lı́mites laterales de f en t, por la derecha y
por la izquierda respectivamente.
8. Fórmula de la diferencia. Sea f integrable en T. Mostrar que si n 6= 0, entonces
Z π
1
ˆ
[f (t) − f (t − π/n)]e−int dt.
f (n) =
4π −π
Deducir que, si 0 < α ≤ 1 y f ∈ C α (T), entonces fˆ(n) = O(1/|n|α ) (aquı́ C α (T) denota
el espacio de las funciones continuas de perı́odo 2π que satisfacen una condición de
Hölder de orden α, es decir, f ∈ C α (T) sii existe A tal que |f (t) − f (s)| ≤ A|t − s|α
siempre que |t − s| ≤ 2π).
9. El propósito del siguiente ejercicio es probar que la sumabilidad Abel es más fuerte que
el método de sumación usual y que el método de sumación de Cesàro.
P
a) Mostrar que si la serie ∞
n=1 cn de números complejos converge a un lı́mite finito s,
entonces la serie es sumable Abel a s (Sugerencia:
0
PNque s =
P puede suponerse
n =
c
r
c
se
tiene
- ¿por qué? - y entonces muéstrese que si sN = N
n=1 n
n=1 n P
P∞
P
∞
n ; finalmente
n = (1−r)
n +S r N +1 , de donde
s
r
c
r
s
r
(1−r) N
N
n=1 n
n=1 n
n=1 n
probar que el lado derecho tiende a 0 cuando r → 1).
b) Mostrar que, sin embargo, existen series sumables Abel que no son
Pconvergentes
(Sugerencia: considerar cn = (−1)n . ¿Cuál es el lı́mite de Abel de
cn ?).
P∞
c) Arguméntese de forma similar para probar que si la serie
n es sumable
n=1
Pc∞
Cesàro
también es sumable Abel a σ (Nótese que n=1 cn = (1 −
P a σ, entonces
n ).
r)2 ∞
nσ
r
n
n=1
d ) Dar un ejemplo de una serie sumable AbelPque no es sumable Cesàro (Sugerencia:
intentar con cn = (−1)n n. Notar que si
cn es sumable Cesàro, entonces cn /n
tiende a 0).
Los resultados anteriores pueden resumirse por las siguientes implicaciones sobre series:
convergente =⇒ sumable Cesàro =⇒ sumable Abel
10. Este ejercicio se refiere a un teorema de Tauber que dice que, bajo una condición
adicional sobre los coeficientes cn , las flechas del ejercicio anterior pueden revertirse.
P
P
a) Si
cn es sumable Cesàro a σ y cn = o(1/n) (es decir, ncn → 0), entonces
cn
converge a σ (Sugerencia: sn − σn = [(n − 1)cn + · · · + c2 ]/n).
b) En la parte anterior puede sustituirse
P sumable
PNCesàroNpor sumable Abel (Sugerencia: estimar la diferencia entre N
c
y
n=1 n
n=1 cn r , donde r = 1 − 1/N ).
Entregar los ejercicios 1, 6 y 8. Plazo: 15 de abril