FACTORIZACIÓN Definición: Cuando una expresión algebraica es

Autor: christian cortes
FACTORIZACIÓN
Definición: Cuando una expresión algebraica es el producto de dos o más expresiones, llamadas
factores de ella y, la determinación de estas cantidades es llamada factorización.
Cuando cada uno de los términos de una expresión es divisible por un factor común, la expresión
puede ser simplificada dividiendo cada término separadamente por este factor y encerrando la
cantidad que resulta entre paréntesis y el factor común afuera como coeficiente.
Ejemplo 1: Los términos de la expresión 3a² - 6ab tienen un factor común 3a., luego:
3a² - 6ab = 3a(a - 2b) .
Ejemplo 2: 5a²bx³ - 15abx² - 20b³x² = 5bx²(a²x - 3a - 4b²).
Ejercicios: Factorizar
1) a² + ab =
2) b + b² =
3) x² + x =
4) 3a³ - a² =
5) x³ - 4x4 =
6) 5m² + 15m³=
7) ab – bc =
8) x²y + x²z =
9) 2b²x + 6bx² =
10) 8m² - 12mn =
11) 9a³x² - 18ax³=
12) 15c³d² + 60c²d³ =
13) 35m²n³ - 70m³ =
14) abc + abc² =
15) 24a²xy² - 36x²y4 =
16) a³ + a² + a =
17) 4x² - 8x + 2 =
18) 15y³ + 20y² - 5y =
19) a³ - a²x + ax² =
20) 2a²x + 2ax² - 3ax =
21) x³ + x5 – x7 =
22) 14x²y² - 28 x³ + 56x4 =
23) 34ax² + 51ay² - 68ay² =
24) 96 – 48mn² + 144n³ =
25) x – x² + x³ - x4 =
Una expresión puede ser factorizada si los términos pueden ser arreglados en grupos que tengan
un factor común.
Ejemplo 1: factorizar x² - ax + bx - ab
Notemos que los dos primeros términos tienen factor común x y que los dos últimos tienen factor
común b, entonces agrupamos los dos primeros términos entre paréntesis y los dos últimos
también.
x² - ax + bx - ab = x(x - a) + b(x - a)
= (x - a)(x + b)
Eejmplo 2: factorizar 6x² - 9ax + 4bx - 6ab
6x² - 9ax + 4bx - 6ab = (6x² - 9ax) + (4bx - 6ab)
= 3x(2x - 3a) + 2b(2x - 3a)
= (2x - 3a)(3x + 2b)
Autor: christian cortes
Ejemplo 3: factorizar 12a² - 4ab - 3ax² + bx²
12a² - 4ab - 3ax² + bx² = (12a² - 4ab) - (3ax² + bx²)
= 4a(3a - b) - x²(3a - b)
= (3a - b)(4a - x²)
Ejercicios : Factorizar
1) a² +ab + ax + bx =
2)am – bm + an – bn =
3) ax – 2bx – 2ay + 4by =
4) a²x² - 3bx² + a²y² - 3by² =
5) 3m – 2n – 2nx4 + 3mx4 =
6) x² - a² + x – a²x =
7) 4x³ - 1 –x² + 4x=
8) x + x² - xy² - y² =
9) 3abx² - 2y² - 2x² + 3aby² =
10) 3c – b² + 2b²x – 6cx =
11) 4m³x – 4m²b + 3ab – 3amx =
12) 6bx + 3b + 1 + 2x =
13) 3x³ - 9bx² - x + 3b=
14) 2b²x –5b²y + 15ay – 6ax =
15) 2x²y + 2xz² + y²z² + xy³=
1) 6m – 9n + 21nx – 14mx =
2) 1 + a + 3ab + 3b =
3) 4am³ - 12amn – m² + 3n =
4) 20ax – 5bx – 2by + 8ay =
5) a³ + a² + a + 1 =
6) 2bm – 2bn + 2b – m + n – 1 =
7) 3mx – 2by – 2bx – 6m + 3my + 4b =
24) a³+ a² + a + 1 + x² + a²x² =
25) y + z² - 2ax – 2az² =
Expresiones trinomiales
Observemos los siguientes productos
(x + 5)(x + 3) = x² + 8x + 15
(x - 5)(x - 3) = x² - 8x + 15
(x + 5)(x - 3) = x² + 2x - 15
(x - 5)(x + 3) = x² - 2x - 15
Nos proponemos considerar el problema inverso. Examinando estos resultados tenemos:
i)
El primer término de ambos factores es x
ii)
El producto de los segundos términos de los dos factores es igual al tercer término del
trinomio.
iii)
La suma algebraica de los segundos términos de los dos factores es igual al coeficiente de
x en el trinomio.
Ejemplo 1: factorizar x² + 11x + 24
x² + 11x + 24 =
El segundo término de los factores debe ser tal que su producto sea +24 y su suma +11. Es claro
que ellos deben ser +8 y + 3 , luego
x² + 11x + 24 = (x + 8)(x + 3)
Autor: christian cortes
Ejemplo 2: factorizar
x² - 10x + 24
El segundo término de los factores debe ser de tal modo que su producto sea +24 y su suma -10.
De ahí que ambos números deben ser negativos, y es fácil ver que los números son -6 y -4, luego
x² - 10x + 24 = (x - 6)(x - 4)
Ejemplo 3: factorizar
x² - 18x + 81 = (x -- 9)(x - 9)
= (x - 9)²
Ejemplo 4: factorizar
x4 + 10x² + 25 = (x² + 5)(x² + 5)
= (x² + 5)²
Ejercicios
1)
2)
3)
4)
5)
a² - 2ab + b² =
a² + 2ab + b² =
x² - 2x + 1 =
y + 1 + 2y² =
x² - 10x + 25=
4
6) x² + 7x + 10 =
7) x² - 5x + 6 =
8) x² + 3x – 10 =
9) x² + x – 2 =
10) x² + 4x + 3 =
11) m² + 5m – 14 =
12) y² - 9y + 20 =
13) x² - 6 – x =
14) x² - 9x + 8 =
15) c² + 5c – 14 =
16) x² - 3x + 2 =
17) b² + 7b + 6 =
18) y² - 4y + 3 =
19) 12 – 8n + n² =
20) x² + 10x + 21 =
21) x² + 7x – 18 =
22) m² - 12m + 11=
23) x² - 7x – 30 =
24) n² + 6n – 16 =
25) 20 + x² - 21x =
26) y² + y – 30 =
27) 28 + x² - 11x=
28) n² - 6n – 40 =
29) x² - 5x – 36 =
30) x² + 8x – 180=
31) m² - 20m – 300 =
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32) x² + x – 132=
33) m² - 2m – 168 =
34) c² + 24c + 135=
35) m² - 41m + 135=
36) x4 + 5 x² + 4 =
37) x 6 − 6 x3 − 7 =
38) x8 − 2 x4 − 80 =
39) x² y ² + xy − 12 =
40) x10 + x5 − 20 =
41) x 4 + 7ax² − 60a² =
42) x8 + x 4 − 240 =
43) a 4 b4 − 2a²b² − 99 =
44) x6 + x3 − 930 =
45)a 4 − a²b² − 156b4 =
CASO IV TRINOMIO ax² + bx + c
De acuerdo a lo visto tenemos los siguientes resultados
(3x + 2)(x + 4) = 3x² + 14x + 8
(3x - 2)(x - 4) = 3x² - 14x + 8
(3x + 2)(x - 4) = 3x² - 10x - 8
(3x - 2)(x+ 4)= 3x² + 10x - 8
El problema inverso presenta mayor dificultad que los casos que hemos considerado.
Antes de establecer un método general examinaremos en detalle dos de las identidades vistas arriba .
Consideremos el resultado de (3x + 2)(x + 4) = 3x² + 14x + 8.
El primer término es el resultado del producto de 3x y x
El tercer término + 8 es el resultado de +2 por +4
El término central es el resultado de sumar los productos de3x y -4 y de x y 2.
Procedimiento para encontrar la factorización del trinomio ax² + bx + c
Lo realizaremos a través del siguiente ejemplo
7x² - 19x - 6
multiplicamos el trinomio por 7/7
La multiplicación debe expresar el resultado del término con x² y del término sin x solamente el término
con x sólo se expresará el producto sin realizarlo
49x² - 7(19x) - 42
7
Ahora se intercambian los valores del término que sólo se expresó
49x² - 19(7x) - 42
7
dado que esta expresión es equivalente con
(7x)² - 19(7x) - 42
7
Corresponde a una expresión del caso III, luego
(7x - 21 )(7x + 2)
7
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El primer paréntesis tiene factor común 7, entonces
7(x - 3)(7x +2)
7
simplificando por 7
(x - 3)(7x + 2)
que es el resultado
Ejemplo 2
factorizar14x² + 29x - 15
Multiplicamos por 14/14
(14x)² + 14(29x) - 210
14
cambiamos el orden del término central
(14x)² + 29(14x) - 210
14
factorizamos usando el caso III
(14x +35)(14x - 6)
14
sacando factor común en ambos paréntesis
7(2x + 5)2(7x - 3)
14
simplificando
(2x + 5)(7x - 3)
Ejercicios
1) 2x² + 3x – 2 =
2) 3x² - 5x – 2 =
3) 6x² + 7x + 2 =
4) 5x² + 13x – 6 =
5) 6x² - 6 – 5x=
6) 12x² - x – 6 =
7) 4x² + 15x + 9 =
8) 3 + 11x + 10x² =
9) 12m² - 13m – 35 =
10) 20y² + y – 1 =
11) 8x² - 14x – 15=
12) 7x² - 44x – 35 =
13) 16m + 15m²- 15 =
14) 2x² + 5x + 2 =
15) 12x² - 7x – 12 =
16) 9x² + 10x + 1 =
17) 20n² - 9n – 20=
18) 21x² + 11x – 2 =
19) m – 6 + 15m² =
20) 15x² - 8x – 12 =
21) 9x² + 37x + 4 =
22) 44n + 20n² - 15 =
Autor: christian cortes
23) 14m²- 31m – 10 =
24) 2x² + 29x + 90 =
25) 20x² - 7x – 40 =
26) 4n² + n – 33=
27) 30x²+ 13x – 10 =
Caso V La Diferencia de dos cuadrados
Al multiplicar (a+ b)(a - b) obtenemos la identidad
(a + b)(a - b) = a² - b²
un resultado que puede ser verbalmente expresado como
El producto de la suma por la diferencia de dos cantidades es igual a la diferencia de sus cuadrado.
Recíprocamente, la diferencia de dos cuadrados es igual al producto de la suma por la diferencia de las dos
cantidades.
Ejemplo 1
25x² -16y² = (5x + 4y)(5x - 4y)
Ejemplo 2
1 - 49c² = (1+ 7c)(1 - 7c)
Ejemplo 3
329² - 171² = (329 + 171)(329- 171)
= 500x158
= 79000
Ejercicios
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
11)
12)
13)
14)
15)
16)
17)
18)
19)
20)
21)
22)
23)
24)
25)
26)
27)
28)
29)
30)
x² - y² =
a² - 1 =
a² - 4 =
9 – b² =
1 – 4m² =
16 – n² =
1 – y² =
4x² - 9 =
25 – 36x² =
a²b – c² =
(x+y)² - a²=
4 – (a + 1) ² =
9 – (m + n)² =
(m – n)² - 16 =
(x – y)² - 4z² =
1 – (x – 2y)² =
(x + 2y)² - 4x² =
(a + b)² - (c + d) ² =
(x + 1)² - 16x² =
64m² - (m-2n)²=
a² + 2ab + b² - x² =
x² - 2xy + y² - m² =
m² + 2mn + n² - 1=
x² -2x + 1 – b² =
n² + 6n + 9 – c² =
a²+ x²+ 2ax – 4 =
x² + 4y² - 4xy – 1 =
a² - 6ay + 9y² - 4x² =
4x² + 25y² - 36 + 20xy =
1 – a² + 2ax – x² =
8
Autor: christian cortes
caso especial
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
11)
12)
13)
14)
15)
(x+y)²- a²=
4 - (a + 1)²=
9 - (m + n)² =
(m - n)² - 16 =
(x - y)² - 4z² =
(a + 2b)² - 1 =
1 - (x - 2y)² =
(x + 2a)² - 4x² =
(a + b)² - (c + d)² =
(a - b)² - (c - d)² =
(x + 1)² - 16x² =
64m² - m - 2n)²=
(a - 2b)² - (x + y)² =
(x + 1)² - 4x² =
36x² - (a + 3x)²=
CASO VI. LA SUMA O LA DIFERENCIA DE DOS CUBOS
Si dividimos a³+b³ por a +b el cuociente es a² - ab + b² ; y si dividimos a³ - b³ por a - b el cuociente es a² +
ab + b², por lo tanto y por lo tanto tenemos las siguientes identidades:
a³ + b³ = (a + b)(a² - ab + b²)
a³ - b³ = (a - b)(a² + ab + b²)
Estos resultados nos permiten factorizar expresiones en las cuales aparece una suma o una diferencia de
cubos.
Ejemplo 1: factorizar 8x³ - 27y³ = (2x)³ - (3y)³
= (2x - 3y)(4x² + 6xy + 9y²)
Ejemplo 2: factorizar64a³ + 1 = (4a)³ + 1
= (2a + 1)(4a² - 2a + 1)
Ejercicios:
1) 1 + a³=
2) 1 - a³ =
3) x³ + y³=
4) m³ - n³ =
5) a³ - 1 =
6) y³ + 1 =
7) y³ - 1 =
8) 8x³ - 1 =
9) 1 - 8x³ =
10) x³ - 27 =
11) a³ + 27 =
12) 8x³ + 27 =
13) 27a³ - b³ =
14) 64 + a =
6
15) a³ - 125 =
16) 1 - 216m³ =
Autor: christian cortes
17) 8a³ - 27b =
6
18) x - b =
6
9
19) 8x³ - 27y³ =
20) 1 + 343n³ =
21) 64a³ - 729 =
22) a³b³ - x =
6
23) 512 + 27a =
9
24) x - 8y =
6
12
25) 1 + 729x =
6
26) 27m³ + 64n =
9
27) 343x³ + 512y =
6
28) x³y - 216y =
6
9
29) a³b³x³ + 1 =
30) x + y =
12
12