TEORIA Y PRACTICA DE ESTÁTICA

TEORIA Y
PRACTICA DE
ESTÁTICA
Física
ING. RAÚL MARTÍNEZ
Física
TEORIA DE FÍSICA
CAPITULO I: MAGNITUDES Y MEDICIONES
Magnitud: Todo aquello que se puede medir, se llama magnitud. Ej.: el peso, el tiempo, la
temperatura.
La cantidad es el valor de la magnitud por la unidad de medida.
Por ejemplo: Una velocidad de ejemplo: Una velocidad de
La magnitud es el concepto de velocidad y la cantidad es .
En física existen dos clases de magnitudes escalares y vectoriales.
Magnitudes escalares: son las que quedan perfectamente definidas por un solo número y su
correspondiente unidad.
Ejemplos:
 La longitud de una regla
 La masa de un cuerpo
 El tiempo transcurrido entre dos sucesos
 Densidad, volumen, energía, potencia
Magnitudes Vectoriales: Estas magnitudes constan también de un número y una unidad, pero
además debe fijarse su dirección y sentido, sin los cuales no quedan perfectamente
determinadas.
La dirección viene dada por una recta. Cada dirección tiene dos sentidos, determinados por las
dos orientaciones posibles de la recta.
Ejemplo: Velocidad, fuerza, aceleración, cantidad de movimiento.
Representación grafica de una magnitud vectorial:
Toda magnitud vectorial se representa por medio de un vector. El vector es un segmento de
recta orientado que señala una dirección y un sentido, definido este por una flecha en uno de
los extremos.
El vector, consta de 4 elementos:
 Punto de aplicación
 Disección
 Sentido a
 Modulo o intensidad: número que indica el valor del vector.
Igualdad de vectores: Dos vectores son iguales cuando tienen el mismo modulo y la misma
dirección y sentido, cualesquiera sean sus orígenes o punto de aplicación.
Cursillo π
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Vectores equivalentes o equipotentes: Son vectores que tienen el mismo modulo y sentido
pero sus direcciones son paralelos, es decir no están en una misma recta o dirección.
Algunos autores lo denominan también vectores iguales.
Mismo sentido
y ….son equivalentes
Vector opuesto: son vectores que tienen el mismo modulo y la misma dirección pero sentidos
opuestos.
Resultante de un número de vectores es aquel vector único que produce los mismos efectos
que todos los vectores originales juntos.
Vector equilibrante de un sistema de fuerzas: es el vector opuesto al vector resultante.
Suma de vectores:
a) Solución grafica: La suma de los vectores
llevando el vector
vector
Cursillo π
y
es un vector
, que se obtiene
con su propio modulo, dirección y sentido a continuación del
y uniendo el origen de
con el extremo de
2
.
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b) Solución analítica: se basa en la ley del paralelogramo “La suma o resultante de dos
vectores viene dada en dirección, sentido e intensidad por la diagonal del paralelogramo
construido sobre los dos vectores como lados consecutivos.
Determinación analítica del modulo y dirección del vector resultante, conocido el ángulo
que forman los dos vectores
En el triángulo
y
aplicando el teorema del coseno tenemos:
………(1)
Pero:
Remplazando estos valores en (1) tenemos:
Esta es la formula para calcular el modulo de la resultante de dos vectores.
En general se acostumbra escribir en función del ángulo . Por trigonometría sabemos:
Luego:
Para encontrar la dirección del vector resultante determinamos el ángulo
forma con uno de los vectores sumandos .
que esta resultante
Para eso aplicamos la “Ley del Seno” de trigonometría. En el triángulo
O también:
APÉNDICE: Para sumar varios vectores
resultante de estos con
pedida.
Cursillo π
, se suman primeramente
y así sucesivamente hasta obtener el vector
3
y
, la
, que es la suma
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Diferencia de dos vectores: Restar de un vector
otro
equivalente a sumar el vector
con
el vector opuesto de
OBS.: En la práctica se acostumbra unir el extremo del vector sustraendo con el extremo del
vector minuendo, obteniéndose un vector equivalente
Cursillo π
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Física
Sistemas de unidades:
Generalidades: la física es la ciencia de la medida por lo tanto debe disponer de unidades para
medir y expresar cuantitativamente los diferentes fenómenos.
Para la resolución de los problemas es necesario estar familiarizado con los sistemas de
unidades físicas, pues en física, un resultado numérico no tiene sentido cuando no indica la
unidad correspondiente.
Medición: consiste en comparar dos cantidades homogéneas, sabiendo que una de las
cantidades se llama unidad de medida. Estas unidades de medidas no son naturales, sino
convencionales.
Magnitudes fundamentales: existen numerosas magnitudes, cada una de ellas siempre
pueden ser expresadas en función de tres magnitudes especiales.
Estas magnitudes son llamadas magnitudes fundamentales y son:
 Longitud
 Masa o Fuerza
 Tiempo
El conjunto de unidades para medir las magnitudes fundamentales y derivadas se denominan:
Sistemas de unidades:
Existen tres sistemas de unidades principales
a) Sistema cgs: llamado así por adoptar como unidades fundamentales
- Centímetro ( )
- Gramo masa ( )
- Segundo (
)
b) El sistema MKS: adopta como unidades fundamentales
- El metro ( )
- Kilogramo masa ( )
- Segundo (
)
c) El sistema técnico o gravitacional: es el único sistema que adopta como unidades
fundamentales
- Metro ( )
- Kilogramo fuerza o kilopondio ( )
- Segundo (
)
Este sistema es muy utilizado en la técnica y en ingeniería.
OBS.: La masa es independiente del lugar de la tierra en que se mide y por eso el sistema de
unidades basado en la longitud, la masa y el tiempo se llama sistema absoluto.
Si se eligen como magnitudes la longitud, la fuerza y el tiempo, como la fuerza mas corriente es
la gravitatoria, se llama a este sistema de unidades de gravitatorio o gravitacional.
Sistema internacional de unidades (SI)
A partir de 1960, el sistema MKSA fue considerado como formando parte de un sistema
completo de unidades físicas llamado sistema internacional de unidades, más conocido como
(SI)
El SI fue sancionado y recomendado por la 11A. Conferencia general de pesas y medidas
reunidas en Paris, en octubre de 1960.
Cursillo π
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El SI está basado en siete unidades fundamentales:
- Longitud: metro ( )
- Masa: kilogramo ( )
- Tiempo: segundo (
)
- Intensidad de corriente: Ampere ( )
- Temperatura termodinámica: grado kelvin ( )
- Cantidad de materia: el mol
- Intensidad luminosa: candela ( )
Ecuaciones dimensionales: Si se eligen como fundamentales las tres magnitudes de longitud,
masa y tiempo, los demás vendrán representados en función de estas.
Las unidades fundamentales se expresan por las tres iniciales mayúsculas.
(Longitud)
(Masa)
(Tiempo)
Una ecuación dimensional relaciona una magnitud derivada con las magnitudes
fundamentales, mostrando de que manera ella depende de las magnitudes fundamentales.
Para obtener una ecuación de dimensión basta sustituir en la expresión de la magnitud
derivada las magnitudes por sus unidades.
Ejemplo: Para la velocidad
Tendremos:
Para la energía cinética
• Se cierran entre corchetes las magnitudes derivadas
• Si las letras aparecen en el denominador se ponen con exponentes negativos
• En el sistema técnico la masa se sustituye por la fuerza
Cursillo π
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CAPITULO II: MECANICA
1. MECÁNICA: es la rama de la física y de la ingeniería que trata del movimiento de los
cuerpos materiales y de las fuerzas que producen los movimientos.
Se divide en:
a) Cinemática: La cinemática estudia el movimiento de los cuerpos materiales, sus
clases y las leyes que lo rigen.
En cinemática se estudia la posición, la velocidad y la aceleración
No se especifica la naturaleza de la partícula cuyo movimiento se estudia, ni
tampoco se estudian las fuerzas que causan la aceleración.
b) Estática: la estática estudia las condiciones que deben cumplirse para que un cuerpo
sobre el que actúan fuerzas, quede en equilibrio o sea que permanezca en estado de
reposo o de movimiento rectilíneo y uniforme.
c) Dinámica: constituye la mecánica propiamente dicha porque en ella se estudia las
relaciones existentes sobre el movimiento de las masas y las fuerzas que lo provocan
2. FUERZA: Estáticamente hablando se puede decir que fuerza es toda causa que produce
o modifica el estado de reposo o movimiento de un cuerpo u ocasiona en el una
deformación.
Ejemplo:
- Cuando empujamos un cuerpo, ejercemos una fuerza sobre el mismo.
- Las fuerzas pueden ser ejercidas también por objetos inanimados, un resorte tenso
ejerce fuerzas sobre los cuerpos atados a sus extremos.
- La fuerza de atracción gravitacional.
- Las fuerzas eléctricas o magnéticas.
Unidades de Fuerza: Las unidades de fuerza en los tres sistemas son: Dina, Newton ( ) y
kilogramo fuerza o kilopondio ( )
Elementos de una fuerza: Como la fuerza es una magnitud vectorial consta de 4 elementos
a) Punto de aplicación: Es el punto sobre el cual actúa directamente la fuerza.
b) Dirección: Es la trayectoria que sigue la fuerza.
c) Sentido: una de las dos maneras de seguir la recta y es señalado por la flecha.
d) Modulo: número que indica el valor de la fuerza.
SISTEMA DE FUERZAS: Cuando un conjunto de fuerzas actúan sobre un mismo cuerpo decimos
que el cuerpo se encuentra bajo la acción de un sistema de fuerzas.
Fuerzas componentes: son las fuerzas que actúan simultáneamente sobre un cuerpo.
La resultante de un sistema de fuerzas, es la fuerza única capaz de producir el mismo efecto
que las componentes.
Equilibrante de un sistema de fuerza es la fuerza única capaz de contrarrestar la acción de la
resultante de un sistema de fuerzas.
Cursillo π
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LEYES DE NEWTON APLICABLES A LA ESTÁTICA:
1° Ley de Newton: LEY DE INERCIA: Todo cuerpo tiende a mantener su estado de reposo o de
movimiento rectilíneo y uniforme hasta que una fuerza externa lo obligue a salir de dicho
estado.
3° Ley de Newton: LEY DE ACCION Y REACCION: A toda acción (Fuerza) le corresponde una
reacción (otra fuerza) de igual modulo, igual dirección, igual línea de acción pero de sentido
contrario.
Como estas fuerzas actúan en cuerpos diferentes no se anulan entre si.
AXIOMAS DE LA ESTÁTICA:
1º Axioma: Dos fuerzas iguales y de sentidos opuestos están en equilibrio.
2º Axioma: Toda fuerza puede trasladarse de un punto a otro a lo largo de su línea de acción y
sus efectos sobre el cuerpo son iguales.
3º Axioma: La resultante de dos fuerzas que actúan en distintas direcciones y en un mismo
punto de aplicación está representada en dirección, sentido e intensidad por la diagonal del
paralelogramo construido con dichas fuerzas.
Composición de Fuerzas: Componer un sistema de fuerzas significa hallar su resultante. Los
casos más comunes son:
a) Composición de dos fuerzas de igual dirección y sentido.
-
Solución grafica: para hallar la resultante de
sentido, transportamos la fuerza
y
a continuación de
La resultante será la fuerza que parte del origen de
-
que tienen la misma dirección y
.
hasta el extremo de
Solución analítica: para hallar el modulo de la resultante
fuerza
Cursillo π
se suma el modulo de
con el modulo de la fuerza
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b) Composición de dos fuerzas con la misma dirección y sentido contrarios
-
Solución grafica: Para hallar la resultante
dirección y sentido contrarios.
Se transporta la fuerza
La resultante
-
de dos fuerzas
a partir del extremo de la fuerza
será la fuerza que parte del origen de
y
con la misma
.
hasta el extremo de
Solución analítica: Para hallar el modulo de la resultante
se resta el modulo de la
fuerza menor
del modulo de la fuerza mayor
.
La dirección será la misma que la fuerza componente y el sentido será el sentido de la
fuerza mayor.
Cursillo π
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ANEXO: Composición de varias fuerzas con la misma dirección.
 Todas las fuerzas tienen la misma dirección y el mismo sentido.
Si las fuerzas componentes son por ejemplo:
la resultante será una
fuerza que tiene la misma dirección y el mismo sentido que las componentes y su
intensidad es igual a la suma de las intensidades de las componentes.
Es decir:
Esta expresión lo podemos representar por:
Este símbolo significa: Sumatoria de todas las fuerzas
desde la primera hasta la ultima)
desde
hasta
(Es decir
 Todas las fuerzas tienen la misma dirección pero sentidos diferentes:
En este caso hallamos primero las resultantes parciales en los diferentes sentidos y luego
procedemos con estas dos resultantes
y
como dos fuerzas de la misma dirección y
sentidos contrarios.
c) Composición de dos fuerzas que actúan en distintas direcciones y en un mismo punto de
aplicación.
-
Solución grafica: Por el 3º Axioma de la Estática sabemos: “La resultante de dos fuerzas que
actúan en distintas direcciones y en un mismo punto de aplicación está representada en
dirección, sentido e intensidad por la diagonal del paralelogramo construido con dichas
fuerzas”.
Sea el sistema de fuerzas concurrentes
y
.
Para hallar la resultante trazamos por el extremo de la recta
paralela a la fuerza
y por el extremo de la recta
paralela a la fuerza .
La diagonal
del paralelogramo representa la resultante en intensidad, dirección y
sentido.
Cursillo π
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-
Solución analítica: Sean y las dos fuerzas dadas que forman entre si un ángulo .
Por el 3º Axioma de la estática determinamos la resultante
Considerando el triángulo
sabemos por trigonometría que “En todo triángulo el
cuadrado de un lado cualquiera es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos,
menos el doble producto de estos mismos lados por el coseno del ángulo comprendido”
(Teorema del coseno).
Es decir:
Pero:
Remplazando estos valores en
Por geometría sabemos:
Luego:
Remplazando en
tenemos:
……..Adyacentes.
funciones trigonométrica de ángulos suplementarios.
tenemos:
Esta ecuación nos permite calcular la intensidad (modulo) de la resultante de dos
fuerzas concurrentes y que forman cualquier ángulo comprendido entre y
Calculo de la dirección de la resultante:
La dirección de la resultante queda definida por los ángulos
las componentes.
y
que la misma forma con
Tomando el mismo triángulo
, sabemos que “En todo triángulo los lados son
proporcionales a los senos de los ángulos opuestos”
Es decir:
Casos particulares de composición de dos fuerzas concurrentes.
Cursillo π
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1º CASO: Las fuerzas
y
forman un ángulo
Aplicando la ecuación de la resultante, tendremos:
Luego:
…..Resultado evidente teniendo en cuenta el teorema de Pitágoras.
2º CASO: Las fuerzas
y
colineales de igual sentido.
actúan en un mismo punto bajo un ángulo
, es decir son
Aplicando la ecuación de la resultante tendremos:
Resultado conocido.
Cursillo π
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Física
3º CASO: Las fuerzas y actúan en un mismo punto bajo un ángulo
colineales de sentidos contrarios.
Aplicando la ecuación de la resultante tendremos:
, es decir son
Resultado conocido.
Descomposición de una fuerza en dos direcciones perpendiculares:
Sea la fuerza que debe ser descompuesta en dos componentes ortogonales dispuestos sobre
los ejes
y
Proyectamos la fuerza sobre los dos ejes.
Las proyecciones del punto y .
Los vectores
y
, que llamaremos y son los componentes rectangulares de la fuerza
.
Conociendo el ángulo , podemos fácilmente, determinar y
Cursillo π
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Composición de más de dos fuerzas concurrentes
a) Solución grafica:
Si se tienen varias fuerzas concurrentes
, aplicadas en un punto , y situadas
en un plano, la resultante puede ser determinada fácilmente.
En efecto, basta componer las dos primeras según el 3º Axioma de la estática: Se obtiene
así la resultante
.
Luego se obtiene la resultante de
con
obteniendo de esta forma la resultante
Y finalmente la resultante definitiva , se obtiene componiendo
del paralelogramo construido sobre
Cursillo π
con
.
por la misma ley
y
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b) Solución analítica: Utilizando el método de las proyecciones.
Cuando se tienen varias fuerzas coplanares concurrentes en un punto de intensidades
dadas y se dan los ángulos que cada una de las fuerzas forma con los ejes rectangulares que
coincide con el punto de aplicación del sistema, se puede fácilmente determinar la
resultante del sistema de fuerzas.
Sea el sistema representado en la figura, formado por las fuerzas
, concurrentes
en , origen de un sistema de ejes ortogonales y se conocen además los ángulos
y
que forman respectivamente cada una de las fuerzas con la dirección positiva del eje .
La fuerza se puede sustituir por sus dos componentes
y
cuyos valores son:
También
Por lo tanto, todo el sistema queda reducido a tres fuerzas actuando en el eje y otros tres
fuerzas actuando en el eje .
Por consiguiente las fuerzas que actúan a lo largo del eje de abscisas se reducen a una
sola igual a la suma algebraica que llamamos , es decir:
También las componentes sobre el eje de ordenadas y pueden sustituirse por una sola
fuerza que llamamos
El sistema de fuerzas constituido por las fuerzas
y es equivalente al sistema
constituido por
La intensidad o modulo de la resultante se determina mediante la ecuación.
La dirección de la resultante queda determinada por el ángulo que la misma forma con el
eje . Este ángulo puede ser determinado por medio de su tangente.
Para ubicar en que cuadrante esta la resultante, utilizamos los conceptos de trigonometría.
(En función de los signos de
y )
Cursillo π
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ANEXO: Generalización del proceso para composición de
Sean las fuerzas
fuerzas coplanares.
que forman con el eje
los ángulos
respectivamente.
Esto puede ser expresado de la siguiente forma:
Sean las fuerzas
, en que varia de
a
, y sean
los respectivos ángulos que dichas
fuerzas forman son el eje de abscisas.
a) Descomponemos cada una de las fuerzas
b) Calculamos la resultante
en sus componentes ortogonales
de todas las componentes horizontales y la resultante
de las componentes verticales
c) Calculamos la intensidad de la resultante
d) Calculamos el ángulo
Cursillo π
que la resultante forma con el eje
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por medio de la tangente.
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Momento de una fuerza respecto de un punto
Se llama momento de una fuerza con respecto a un punto, al producto de dicha fuerza por la
distancia del punto a la fuerza. El punto se llama centro de momentos. El momento de una
fuerza es una magnitud vectorial.
………Momento de
respecto a
Las unidades de momento son
El signo del momento de una fuerza es convencional, pues una fuerza puede hacer girar en el
sentido de las manecillas del reloj
o sentido contrario a las manecillas del reloj
.
Esta convención no es rígida, pero dentro de un mismo problema se debe mantener la
convención. Podemos decir que el momento de una fuerza respecto a un punto es la medida
de su eficiencia giratoria o también la tendencia a girar que produce una fuerza.
Cursillo π
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ANEXO: En el grafico podemos ver que el producto
es el doble del área del triángulo
formado por el punto y la fuerza.
Este hecho puede ser aprovechado si así fuese conveniente en algún determinado problema,
pues sabemos que el producto vectorial de dos vectores es numéricamente igual a este
momento.
Cupla o par de fuerzas: Un par de fuerzas es un sistema de dos fuerzas paralelas iguales y de
sentidos contrarios, aplicados a un cuerpo rígido.
Entonces
Es decir un par de fuerzas es un sistema que no tiene resultante. Se considera que la resultante
es una fuerza tendiendo a cero aplicada en el infinito.
Para poder equilibrar un par de fuerzas o Cupla debemos aplicar otro par de fuerzas del mismo
modulo y de sentido contrario.
La expresión muestra que si un par de fuerzas actúa sobre un cuerpo produce un efecto y este
efecto es una rotación.
OBS.: En los casos ilustrados en la figura la rotación vá a producirse en torno al punto medio
del segmento.
Cursillo π
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Física
Momento de un par de fuerzas
Sabemos que el momento en este caso es producido con respecto al punto medio del
segmento de longitud , el punto
Pero
Luego:
El momento de un par de fuerzas es igual al producto de una de las fuerzas por la distancia
perpendicular entre las mismas.
Cursillo π
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Física
TEOREMA DE VARIGNON: El momento de la resultante de un sistema de fuerzas coplanares
con respecto a un punto cualquiera es igual a la suma algebraica de los momentos de las
fuerzas componentes con respecto al mismo punto.
Nos limitamos a demostrar para dos fuerzas concurrentes con el centro de momentos en su
plano. Pero lo demostrado se puede generalizar para cualquier número de fuerzas.
Sean las fuerzas
y aplicados en , siendo la resultante y sea el centro de momentos.
Usamos los puntos
y con
Tracemos
y
a la recta
También
Queremos demostrar:
En el triángulo
tenemos:
Análogamente en los triángulos
Consideremos los triángulos
Remplazando
Pero
en
y
, tendremos:
y
tenemos:
Ecuación
Ecuación
Luego:
Cursillo π
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Física
EQUILIBRIO: Los cuerpos se aceleran en respuesta a las fuerzas que actúan sobre ellos, pero en
estática nos interesa que los cuerpos no aceleran.
Un cuerpo puede estar en equilibrio si la resultante de todas las fuerzas que actúan sobre él es
cero. Pero esta condición no basta, por que si las fuerzas actúan en diferentes puntos de un
cuerpo extenso, es necesario un requisito adicional para asegurar que el cuerpo no tenga
tendencia a girar, es decir la suma de los momentos de las fuerzas con respecto a un punto
debe ser cero.
Este requisito se basa en los principios de la dinámica de rotación. El concepto de equilibrio se
clasifica en:
a) Equilibrio estático: Cuando la velocidad de translación del cuerpo es cero y además el
cuerpo no se encuentra girando, es decir en velocidad angular es también cero.
Y en estas condiciones iniciales también tenemos
…………No hay aceleración translacional
…………No hay aceleración angular
b) Equilibrio dinámico: Cuando el cuerpo se encuentra en movimiento de translación pero con
(Movimiento rectilíneo y uniforme) o con movimiento de rotación pero con velocidad
angular constante:
Si además de estas condiciones iniciales
…………No hay aceleración translacional
…………No hay aceleración angular
Cursillo π
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Física
Condición de equilibrio de un punto material:
Para que un punto material esté en equilibrio estático es necesario y suficiente que la
resultante de todas las fuerzas que actúan sobre dicho punto, sea nula.
Si estuviésemos trabajando en un sistema cartesiano
Condiciones de equilibrio de un cuerpo rígido.
Las condiciones necesarias y suficientes para que un cuerpo rígido (De dimensiones no
despreciables) se mantenga en equilibrio estático son dos:
1º CONDICIÓN: La resultante de todas las fuerzas que actúan en el cuerpo sea nula.
Esta condición hace con que el cuerpo no tenga movimiento de translación.
2º CONDICIÓN: La suma algebraica de los momentos de todas las fuerzas que actúan en el
cuerpo en relación a un mismo punto es nula.
Siendo un punto cualquiera del cuerpo o fuera del mismo.
Esta condición hace con que el cuerpo no tenga una aceleración rotacional.
Cursillo π
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Física
EQUILIBRIO ESTABLE, INESTABLE E INDIFERENTE.
La energía potencial de un cuerpo depende de la posición de su centro de gravedad
respecto a un nivel de referencia.
a) Equilibrio estable: La posición de equilibrio estable corresponde a la de energía
potencial mínima, es decir, el centro de gravedad del cuerpo se encuentra a la menor
altura posible (respecto a un nivel de referencia)
Si se aleja (un poco) al cuerpo de esta posición, tiende a volver a ella.
b) Equilibrio inestable: corresponde a la posición de energía potencial máxima, es decir el
centro de gravedad está a la mayor altura posible respecto a un nivel de referencia.
Si se aleja (un poco) al cuerpo de esta posición, tiende a alejarse cada vez más de esta
posición.
c) Equilibrio indiferente: La energía potencial del cuerpo no varía en todas las posiciones
del cuerpo. La altura del centro de gravedad no varía al cambiar (un poco) la posición
original del cuerpo.
Si se cambia al cuerpo de posición, vuelve a quedar equilibrado en la nueva posición.
OBS.: En todos los casos, cuando los cuerpos están inicialmente en equilibrio, los
momentos del peso con respecto al punto de apoyo son nulos.
Cursillo π
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Física
Perdida de equilibrio de un cuerpo extenso: existen dos formas de que un cuerpo pueda
perder el equilibrio. Por deslizamiento y por vuelco. Cada una de estas formas dependen de
factores diferentes pero que pueden interligarse con respecto a cual de ellos va a ocurrir
primero.
a) Perdida de equilibrio por deslizamiento: Ocurre cuando el cuerpo ya esta en la inminencia
de deslizar, en este caso la fuerza de rozamiento estática entre el cuerpo y la superficie
donde va a deslizar es igual a la fuerza de rozamiento máxima.
En la practica esta situación ocurre cuando la resultante de la fuerzas paralelas a la
superficie de contacto que actúan sobre el cuerpo es igual o mayor que
b) Perdida de equilibrio por vuelco:
b.1) Si el cuerpo esta por separarse de alguna superficie donde esta apoyada, las fuerzas de
contacto se anulan y el cuerpo esta en la inminencia de volcar.
Ejemplo: hallar la fuerza para que la barra se separe de .
OBS.: La fuerza de rozamiento es desconocida, y solo en un caso excepcional será la máxima
b.2) Si es un cuerpo con base extensa, cuando esta por volcar, la normal pasa por el ultimo
punto que va a estar un contacto con la superficie de apoyo.
Ejemplo: Hallar la fuerza para que la caja este por volcar.
OBS.: La fuerza de rozamiento excepcionalmente será la máxima.
Cursillo π
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Física
Composición grafica y analítica de dos fuerzas paralelas de igual sentido:
La resultante de dos fuerzas paralelas y del mismo sentido es otra fuerza de la misma dirección
y sentido que las fuerzas componentes y cuya intensidad es igual a la suma de las intensidades
de las fuerzas:
El punto de aplicación de la resultante divide al segmento
que une los puntos y de
aplicación de las fuerzas, en dos segmentos
e , inversamente proporcionales a las fuerzas
y .
a) Determinación grafica del punto de aplicación de la resultante:
Para determinar gráficamente el punto de aplicación de , se hace
El segmento
determina sobre
el punto
de aplicación de la resultante .
b) Composición analítica de fuerzas paralelas de igual sentido:
Por la primera condición de equilibrio de un cuerpo rígido tenemos:
Por la 2º condición de equilibrio tenemos, aplicando momentos con respecto al punto
También tenemos:
Cursillo π
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Física
Composición de dos fuerzas paralelas de sentidos contrarios:
El punto de aplicación de la resultante divide el segmento
de aplicación de las fuerzas en
dos segmento e inversamente proporcionales a
y
La resultante es paralela a las componentes y de sentido de la fuerza mayor.
La intensidad de la resultante es igual a la diferencia de las intensidades de las fuerzas
a) Determinación grafica del punto de aplicación de la resultante .
Para determinar gráficamente el punto de aplicación de , hacemos:
La prolongación de
determina en la barra
el punto de aplicación.
b) Solución analítica de dos fuerzas paralelas de sentidos opuestos
Cursillo π
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Física
FUERZAS ENTRE SUPERFICIES EN CONTACTO:
Cuando la superficie de dos cuerpos entran en contacto pueden aparecer dos tipos de fuerzas
entre los cuerpos:
a) Fuerza normal: aparece entre cuerpos en contacto y es perpendicular a las superficies de
contacto, por eso se lo denomina fuerza normal.
…… es el peso del cuerpo
…… es la reacción del suelo sobre el cuerpo(Acción y reacción)
…… acción y reacción
…porque
debe soportar a los dos cuerpos
Cursillo π
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Física
b) Fuerza de rozamiento:
Siempre que un cuerpo se desliza sobre otro cuerpo, uno ejerce sobre el otro una fuerza de
fricción o fuerza de rozamiento, que es tangente a las superficies en contacto (Acción y
reacción). Esta fuerza de rozamiento tiene sentido contrario el movimiento del cuerpo en
relación al otro y es provocado por los asperezas o rugosidades existentes entre las
superficies y también por fuerzas intermoleculares que depende de la polaridad de las
moléculas en contacto.
El rozamiento se puede disminuir puliendo las superficies y lubricando. Algunos veces es
nocivo y otras veces es útil, por ejemplo es útil en las ruedas de los vehículos y nocivo en el
motor de los vehículos.
La fuerza de rozamiento es la resistencia que los cuerpos en contacto ofrecen al
movimiento relativo entre dichos cuerpos.
TIPOS DE ROZAMIENTO
a) Fuerza de rozamiento estático: Es aquella fuerza de contacto paralela a la superficie que se
opone al movimiento del cuerpo respecto a la superficie de apoyo. Si el cuerpo no desliza
respecto a la superficie de apoyo cuando sometida a una fuerza es debido a la fuerza de
rozamiento estático.
Esta fuerza puede llegar a un valor máximo que se llama fuerza de rozamiento estática
máxima, este valor se da únicamente cuando el cuerpo está en movimiento inminente es
decir está a punto de empezar a deslizar sobre su apoyo.
Cuando tenemos un cuerpo en una superficie horizontal y aplicamos una
pequeña fuerza a este cuerpo.
• El cuerpo no se mueve, pues el suelo ejerce una fuerza de rozamiento
• Si aumentamos la fuerza , el cuerpo continua sin moverse
La fuerza de rozamiento , también aumento en la misma medida de
• Pero si continuamos a aumentar la fuerza , llegará un momento que el
cuerpo está en la “inminencia” de moverse, pues la fuerza llegó a su
límite, es decir a su máximo.
Esta fuerza de rozamiento máxima se lo conoce como “fuerza de destaque”
o “fuerza de arranque” o
Luego la fuerza de rozamiento estático
un máximo
puede variar desde cero…cuando
hasta
Fue Coulomb quien estableció las leyes para la fuerza de rozamiento.
1° Ley: La fuerza de rozamiento estático independiente del área de contacto entre las dos
superficies.
2° Ley: La fuerza de rozamiento estático depende de la naturaleza de las superficies de
contacto.
3° Ley: La fuerza de rozamiento estático es proporcional a la fuerza normal (Perpendicular
a las superficies)
………Coeficiente de rozamiento estático y depende de la naturaleza de los superficies.
………Fuerza normal a las superficies en contacto.
Cursillo π
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Física
b) Fuerza de rozamiento dinámico o cinético:
Si un cuerpo desliza sobre su superficie de apoyo, y esta es un plano rugoso, entonces
actúa sobre el cuerpo una fuerza de rozamiento cinética. Esta fuerza es paralela a la
superficie de apoyo y su sentido es opuesto al movimiento del cuerpo.
El rozamiento cinético puede ser de dos formas:
∗ Fuerza de rozamiento cinético por deslizamiento.
∗ Fuerza de rozamiento cinético de rodaje.
Para poner un cuerpo en movimiento en una superficie plano debemos aplicar una
fuerza mínima que sea mayor que
(fuerza de destaque)
Pero para mantener dicho cuerpo en movimiento es necesario aplicar una fuerza menor
que las fuerza de destaque.
La fuerza de rozamiento cuando el cuerpo está en movimiento se denomina Fuerza de
rozamiento dinámico o cinético.
La fuerza de rozamiento cinético, tiene las siguientes características.
∗ Es menor que la fuerza de rozamiento estático para las mismas superficies
∗ Independiente de las áreas de contacto
∗ Para velocidades no muy altas es independiente de la velocidad
∗ Es proporcional a la reacción normal del plano de apoyo
……Coeficiente de rozamiento dinámico.
∗ El medio en el cual está inmerso un cuerpo (aceite, agua, aire, …etc.) ofrece también
resistencia a su desplazamiento.
Esta resistencia es directamente proporcional al cuadrado de la velocidad y a la
viscosidad del fluido.
Cursillo π
29
Ing. Raúl Martínez
Física
Maquinas simples: son dispositivos que permiten vencer grandes resistencias empleando
nuestra escasa fuerza muscular. En este sentido son aparatos multiplicadores de fuerzas. Las
maquinas simples emplean solamente la aplicación de una fuerza.
La fuerza que se aplica se llama fuerza motriz y la fuerza que si debe vencer fuerza resistente.
a) Palanca: es una barra rígida que puede girar alrededor de un eje o un punto que se llama
punto de apoyo.
La distancia entre la potencia y el apoyo
La distancia entre la resistencia y el apoyo
Según la posición del punto de apoyo , con respecto a la potencia y a la resistencia , se
distinguen tres géneros de palanca.
 Palanca de 1º género: El punto de apoyo se encuentra entre la potencia y la resistencia.
Ejemplo: Balanza, tijera.
 Palanca de 2º género: La resistencia se encuentra entre la potencia y el punto de apoyo
. Ejemplo: La carretilla.
 Palanca de 3º género: La potencia se encuentra entre la resistencia y el punto de
apoyo . Ejemplo: Pinza de hielo
Condición de equilibrio: en cualquier palanca se produce equilibrio, cuando el momento de
la potencia y el de la resistencia con respecto al punto de apoyo son iguales.
Es decir:
b) Poleas: son discos o ruedas de borde acanalado por el cual pasa una cuerda que la hace
girar en torno a su eje. Se clasifican en.
 Poleas fijas: Poseen solo un movimiento de rotación en torno a su eje. Se la puede
considerar como una palanca de 1º género de brazos iguales
No economiza fuerza pero da comodidad y seguridad al operario.
 Polea móvil: junto al movimiento de rotación posee otro de translación. Se la puede
considerar como una palanca de 2º género.
La polea móvil economiza
Cursillo π
de la fuerza
30
Ing. Raúl Martínez
Física
 Sistemas de poleas: Es el conjunto de dos o más poleas móviles y una fija dispuesta
como indica la figura.
La primera polea móvil reduce la resistencia
La segunda polea móvil reduce la resistencia a
La enésima polea
reduce la resistencia a
El equilibrio se produce cuando
es el número de poleas móviles.
en donde
c) Torno: es el conjunto de dos poleas fijas entre si con diferentes radios, una mayor
menor
ambos pudiendo girar en torno a un mismo eje.
Funciona como una palanca de 1º género. El equilibrio se
produce cuando.
y otra
Luego la potencia es inversamente proporcional a los radios
de las poleas.
d) Plano inclinado:
El plano inclinado es una maquina simple que se utiliza para economizar esfuerzo.
Descomponemos el peso del cuerpo en dos componentes (Normal al plano inclinado y
/ Paralelo al plano inclinado)
Para conseguir el equilibrio debemos aplicar una fuerza equilibrante con la misma
intensidad que pero de sentido contrario.
En la medida que disminuye el ángulo , menor será el esfuerzo o la potencia que debemos
aplicar para obtener el equilibrio.
Cursillo π
31
Ing. Raúl Martínez
Física
ANÁLISIS DE ALGUNOS CASOS DE PLANO INCLINADO:
a) Cuando se considera sin rozamiento por ser ínfimo.
Componentes de la fuerza peso
Para que este cuerpo esté en equilibrio será necesario aplicarle una fuerza equilibrante .
Las condiciones de equilibrio serán:
Las fuerzas
y
aplicadas al cuerpo son las responsables del cuerpo estar en equilibrio.
Impide que el cuerpo penetre en el plano inclinado.
Impide que haya movimiento acelerado paralela al plano.
Cursillo π
32
Ing. Raúl Martínez
Física
b) Cuando existe la fuerza de rozamiento y el cuerpo esté en la inminencia de deslizar
con movimiento uniforme
Las condiciones de equilibrio son:
Esta relación
es muy importante, pues define si un cuerpo que está en un plano
inclinado:
b.1) No está usando la fuerza de rozamiento máxima
b.2) Esta en la inminencia de deslizar o con movimiento uniforme
b.3) Solo podrá estar en equilibrio con la ayuda de una fuerza equilibrante
b.1)
b.2)
…………(Inminencia del desequilibrio)
b.3)
…………(Necesidad de una Fuerza equilibrante mínima
Cursillo π
33
)
Ing. Raúl Martínez
o
Física
c) Análisis de la faja de variación de una fuerza
INMINENCIA DE BAJAR (mínima fuerza para
mantener el equilibrio)
capaz de mantener el equilibrio.
INMINENCIA DE SUBIR (máxima fuerza para
mantener el equilibrio)
Luego:
Cursillo π
34
Ing. Raúl Martínez
Física
d)
…… Acción y reacción
Inminencia de movimiento para abajo del plano
Cursillo π
35
Ing. Raúl Martínez
Física
ANÁLISIS DE ALGUNOS CASOS DE ESCALERAS.
a) Datos :
peso de la escalera
peso del hombre
coeficiente de rozamiento
ángulo entre la escalera y el plano horizontal
longitud de la escalera
OBS.: No siempre la fuerza de rozamiento será la máxima.
Cursillo π
36
Ing. Raúl Martínez
Física
b) Datos:
peso de la escalera
peso del hombre
ángulo entre la escalera y el suelo horizontal
longitud de la escalera
coeficientes de rozamientos
Tensión en la cuerda
OBS.: (1) Cuando se pide la máxima altura que podrá subir el hombre o el menor valor de ,
las fuerzas de rozamiento serán lo máximo posible.
(2) La tensión en el hilo solo pasa a actuar para suplir la diferencia de la fuerza de
rozamiento.
Cursillo π
37
Ing. Raúl Martínez
Física
c) Dos escaleras del mismo peso
por una cuerda.
1º Fase: determinación de
y la misma longitud
que están articuladas en
y sujetas
y
2º Fase
Cursillo π
38
Ing. Raúl Martínez
Física
d) Dos escaleras de diferentes pesos y longitudes articulados en
y sujetos por una cuerda.
Reacciones en
Cursillo π
39
Ing. Raúl Martínez
Física
PESO DE UN CUERPO: Es la fuerza gravitacional (o cuerpos por la atracción de las masa) que
actúan en los cuerpos por la atracción terrestre.
El peso de un cuerpo no actúa realmente en un solo punto, sino que es distribuido un todo el
cuerpo, pero se puede calcular el momento de la fuerza peso respecto a cualquier punto, si se
supone que el peso está concentrado en un solo punto llamado centro de gravedad.
Si un cuerpo es homogéneo su centro de gravedad coincide con su centro geométrico (centro
de áreas, centro de longitudes, centro del volumen)
Si un cuerpo tiene su eje de simetría, su centro geométrico, generalmente se encuentra sobre
dicho eje de simetría.
Si tiene dos o más ejes de simetría, el centro geométrico y en general el centro de gravedad se
encontrarán sobre la intersección de dichos ejes.
El centro de gravedad también puede estar fuera del cuerpo.
En los cuerpos de formas complejas se puede hallar la posición del centro de gravedad
dividiendo este cuerpo en partes que sean piezas simétricas o piezas cuya posición del centro
de gravedad sean conocidas.
Si la aceleración de la gravedad es constante para todos los puntos del cuerpo, el centro de
gravedad también coincide con los centros de masa de los cuerpos.
Cuando un cuerpo sobre el que actúa la gravedad se apoya en un solo punto o cuelga de él, el
centro de gravedad siempre está directamente por arriba o por debajo de dicho punto. Si
estuviera en otro lugar, el peso tendría un momento respecto al punto de suspensión y en
cuerpo no estaría en equilibrio rotacional.
Cuando más bajo está el centro de gravedad y es mayor el área de apoyo, más difícil es volcar
un cuerpo.
En los cuerpos homogéneos y de tamaños no muy extensos el centro de gravedades coincide
con el centro de masa, pero no podemos hablar de centro de gravedad en ausencia del campo
gravitacional, pero el centro de masa continúa existiendo.
Cursillo π
40
Ing. Raúl Martínez
Física
Para calcular la posición del centro de gravedad de un cuerpo complejo, lo dividimos en varios
cuerpos de centro de gravedad conocido.
En un sistema cartesiano ortogonal en dos dimensiones, las coordenadas del
serán:
Donde:
Pero, si el cuerpo completo es homogéneo, de espesor uniforme, el centro de gravedad
coincide con el centro geométrico (Centro de área, centro de longitud o centro del volumen)
Y en este caso tendremos:
Donde:
OBS.: En caso de que tengamos un agujero o un hueco, en un cuerpo lo consideramos su área,
volumen o pero como negativo.
Cursillo π
41
Ing. Raúl Martínez
Física
Con el objeto de aclarar más los conceptos, veamos con un ejemplo literal como se deduce el
centro de gravedad de varios cuerpos cuyos centros de gravedad son conocidos.
Debemos elegir convenientemente un sistema cartesiano, si posible con las coordenadas de los
centros de gravedad positivos, para facilitar los cálculos y la comprensión.
Sean tres cuerpos de pesos y centros de gravedad respectiva.
La resultante de estos pesos será
punto , tendremos:
, y la fuerza equilibrante del sistema al
Luego:
Procediendo en forma análoga y suponiendo que los pesos están dirigidos en forma horizontal
hacia la izquierda obtendremos.
Cursillo π
42
Ing. Raúl Martínez
Física
EJERCICIOS DE ESTÁTICA
1) Calcular las tensiones en las cuerdas.
A
a) Si la máxima tensión en las cuerdas es de 600 kgf, cual
es el máximo peso que se pueda colgar siendo
60°
1
b) ¿Cuál deberá ser el ángulo
sean iguales?
2
para que las tensiones
540kgf
c) ¿Cuál deberá ser el ángulo para que la tensión en la
cuerda (1) sea el doble que la (2)?
Rta.: a)
;
b)
;
c)
2)
α
a) Calcular las tenciones en los hilos.
b) Si la cuerda (1) soporta máximo 250 kgf.
¿Cuál es el valor máximo de W que puede
soportar?
c) Si
kgf ;
. ¿Cuál es el
valor mínimo de
de tal forma que la
cuerda (1) soporte como máximo 250kgf.
Rta.: a) T1= 444,7 kgf , T2 = 334,6 ;
W=200 kgf
θ
2
w
b) W = 112,43 kgf
3)
; c) α ≅ 73,85°
a) La esfera de la figura pesa 200 kgf;
tensión en el hilo y la reacción de la pared.
θ
1
θ
. Calcular la
b) Si la tensión máxima que soporta el hilo fuese de 400 kgf
y
. ¿Cuál es el peso máximo de la esfera?
c) Si la esfera pesa 200 kgf y el hilo soporta máximo 250
kgf. ¿Cuál es el mayor valor posible para el ángulo θ.
Rta.: a)
T=
kgf ; N=
kgf
;
b) W=
4)
kgf
; c) θ = 36° 52’ 11,63”
a) Cada una de las esferas pesa 100 kgf. ¿Cuál es la tensión del hilo
y la relación de la pared en cada esfera?
b) Si el hilo soporta como máximo 800 kgf. ¿Cuántas esferas iguales
podrá soportar?
Rta.: a) N1= 300 kgf ; N2= N3= 0 kgf ; T1= 300
45°
1
2
kgf ; b) 5 esferas
3
Cursillo π
43
Ing. Raúl Martínez
Física
5) Dos poleas prácticamente sin fricción sostienen el sistema formado por los pesos y las
cuerdas.
a) Si
Calcular:
b) Si
Calcular:
y las tensiones en las cuerdas
kgf
y
c) Sabiendo que
¿Cuál es la relación entre
Rta.: a)
kgf ;
y
, en función de
kgf ; b)
y
?
;
c)
≅ 121,85 ;
6)
a) En la figura de al lado mostrar todas las fuerzas que actúan sobre el cuerpo A.
b) Si
A
− ¿Cuál es el mínimo peso del cuerpo C?
− La reacción del plano sobre el cuerpo A.
c) Datos:
B
C
− ¿Cuál será
en el equilibrio?
Rta.: b) 15,32 kgf ; 37,14 kgf
;
c) No puede haber equilibrio porque
7)
a) Calcular las tensiones en los hilos.
3
2
b) Si el hilo (3) soporta máximo 50 kgf.
¿Cuál es el máximo valor de W?
4
Rta.: a) T1= W/
Cursillo π
; T2 = W.
; T3=T4=
44
1
W=80kgf
; b) W
Ing. Raúl Martínez
Física
8)
a) Si
− Calcular la tensión en el hilo y la fuerza que
ejerce la barra AB.
− Calcular también la reacción en el apoyo A.
b) Si
y el hilo soporta como máximo
200kg. ¿Cuál es el mínimo valor de θ?
f
c) Si la barra soporta una fuerza de compresión
máxima 500 kgf y
. ¿Cuál es el máximo
valor de W?
d) Si
, la tensión máxima del hilo es 100 kgf y la compresión máxima de la
barra es 200 kgf. ¿Cuál es el máximo valor de W?
e) Si el hilo soporta una tensión máxima de T y el peso del cuerpo W. expresar
función de estos dos datos.
en
OBS: Considerar la barra de peso despreciable.
Rta.: a)
kgf ;
c) W ≅ 383,02 kgf
;
400 kgf ; RA
kgf
d) W = 57,73 kgf
;
;
e)
b) θ = 68° 11’ 54,93”
;
9)
a) Si
B
Calcular: Tensión en el hilo y las fuerzas de reacción en A.
Suponer la barra sin peso.
b) Si el hilo soporta hasta una tensión de 300kgf. ¿Cuál es el
máximo valor de W?
W
A
c) Si
y el hilo soporta una tensión máxima de 500 kgf y
Calcular .
kgf.
d) Si la barra soporta una compresión máxima de 1.000 kgf. ¿Cuál es el máximo valor de
W?
OBS: Considerar la barra de peso despreciable.
Rta.: a) FH= 546,41 kgf
; FA(Y)= 473,20 kgf ; FA(X)= 473,20 kgf ; FR(A)=669,21 kgf
;
b) W= 109,8 kgf ; c) θ = 42° 32’ 32,63” ; d) W=298,86 kgf
Cursillo π
45
Ing. Raúl Martínez
Física
10)
W
A
A
W
A
W
OBS: Supóngase la barra sin peso.
a) Si
b) Si el hilo soporta hasta 500 kgf. ¿Cuáles son los máximos valores de W en cada uno
de los casos de las figuras?
;
Rta.: a)
b)W1= 321,39 kgf
; W2= 595,87 kgf
;
W3= 704,96 kgf
11)
C
1
65°
B
40°
w=1.200kgf
A
Una barra AB articulada en la base de un mástil AC soporta un peso
kgf
como ilustra la figura. Calcula la tensión en la cuerda CB y los componentes de la
fuerza de reacción en A.
Rta.:
Cursillo π
46
Ing. Raúl Martínez
Física
12) Una esfera de 60 kgf, se encuentra en equilibrio como ilustra la
figura. Determinar la tensión en la cuerda y la reacción en la pared
12°
15°
Rta.:
13)
a) Siendo
Calcular las reacciones en los apoyos del cilindro.
b) Sabiendo que
y siendo
el peso del cilindro.
Calcular la relación de las fuerzas en los apoyos
y .
Rta.: a)
; b)
14)
Una esfera de peso
, descanza
sobre dos planos inclinados como ilustra la
figura. Calcular la reacción en los apoyos.
R=0,60 m
W
60°
Rta.:
Cursillo π
47
Ing. Raúl Martínez
Física
EJERCICIOS ESPECIFICOS DE ROZAMIENTO
15)
μ
El cuerpo de la figura de peso W, se encuentra en un piso rugoso con un coeficiente
estático
y se encuentra sometido a una fuerza motriz .
a) Muestre todas las fuerzas actuando sobre el cuerpo para el caso en que
.
b) Si
analice la fuerza de rozamiento en los siguientes casos:



c) Cuanto deberá ser el coeficiente
y
.
Rta.: b)
;
para que permanezca en equilibrio estático si
c) μ = 0,25
16)
a) En la figura mostrar todos las fuerzas
que actúan en el cuerpo de peso .
b) Si
Establecer la faja de variación de
μ
para que el cuerpo esté en equilibrio.
c) ¿Cuál es el mínimo valor de para que el cuerpo pueda movimentarse (inminencia
de movimiento del cuerpo). Siendo
;
;
d) Si
;
;
. ¿Cuál deberá ser el valor de
esté en la inminencia del movimiento?
Rta.: b)
Cursillo π
c)
para que
d)
48
Ing. Raúl Martínez
Física
17)
a) Analizar la figura y mostrar todas las fuerzas
actuantes en el cuerpo de peso
, siendo
F
;
w
b) Siendo
;
;
. ¿Cuál es el máximo valor de para que
el cuerpo permanezca en equilibrio.
c) Siendo
;
;
. ¿Cuál es el máximo valor de para el
cual el cuerpo todavía permanece en equilibrio estático?
d) Siendo
;
;
. ¿Cuánto deberá ser
para que el
cuerpo se mantenga en equilibrio estático?
Rta.: b)
; c)
; d)
18)
a) En cada uno de los tres casos de las figuras mostrar todos las
fuerzas actuantes en el cuerpo de peso W. Siendo
b) Siendo
1
w
f
¿Cuál deberá ser el menor valor de
en cada uno de los casos?
c) Siendo
;
;
. ¿Cuál es el mayor
valor posible de W para que se mantenga en equilibrio?
d) Siendo
;
.
∗ En la figura (2) ¿Cuál deberá ser el menor valor de para que sin contar con el
rozamiento se mantenga el equilibrio.
∗ Siendo
. ¿Cuál deberá ser el mayor valor de para que se mantenga el
equilibrio en la figura (3).
3
2
w
w
Rta.: b)
;
c)
Cursillo π
; d)
49
Ing. Raúl Martínez
Física
19)
W
25
30
a) En la figura de muestre todas las fuerzas actuantes en el cuerpo de peso W.
b) Siendo
. ¿Cuál es el máximo valor de para que
se mantenga el equilibrio estático.
c) Siendo
. ¿Cuál es el mínimo valor de
para
que el sistema esté en la inminencia del movimiento?
d) Siendo
. ¿Cuál es el mínimo valor de para
que se mantenga el equilibrio?
Rta.: b) 34,146 kgf
;
c) W= 20,07 kgf
;
d)
20)
a) ¿Cuál es el menor valor de
para que el movimiento sea posible
W
?
2W
w
w
w
2W
Rta.:
21)
El bloque de la figura tiene un peso de W.
a) Siendo
¿Cuál es la tensión en la cuerda?
b) Siendo la máxima tensión que el hilo soporta 1.200 kgf. ¿Cuál es el mayor valor
posible para y siendo:
c) Siendo
¿Cuál es el mínimo valor de
para que se pueda establecer el equilibrio. Siendo
que el hilo soporta como máximo 600 kgf.
Rta.: a)
; b)
; c)
Cursillo π
50
Ing. Raúl Martínez
Física
22) El sistema de la figura está en equilibrio, siendo idénticos los dos bloques de masa .
La esfera tiene masa .
Calcular el mínimo coeficiente de rozamiento estático entre los bloques y el suelo para
que el sistema no deslice. (Entre el bloque y la esfera no hay rozamiento)
Cursillo π
51
Ing. Raúl Martínez
Física
EJERCICIOS DE PLANO INCLINADO:
23)
a) Siendo
W
¿Cuál es el máximo valor de
para
que el cuerpo de peso
permanezca
en equilibrio estático?
b) Analizar el mismo problema anterior en forma literal, es decir: siendo datos
Calcular
y
.
c) Siendo
1-) ¿Es necesario utilizar la fuerza de rozamiento máxima?
2-) ¿Cuál es el valor de la fuerza de rozamiento utilizada para mantener el equilibrio?
3-) ¿Qué pasaría si
?
4-) ¿y en este caso que valor tendría la fuerza mínima equilibrarte del sistema, con
dirección paralela al plano inclinado?
5-) En caso de que
¿Cuál deberá ser la fuerza paralela al plano inclinado
equilibrarte del sistema?
Rta.: a)
;
b)
3-) El cuerpo se va a deslizar.
;
; c) 1-) NO
4-) 3,01 kgf
; 2-)
;
5-)
24)
a) Siendo
W
F
. Mostrar todos las fuerzas
actuantes en el cuerpo de peso W.
b) 1-) Siendo
. ¿Cuál es el valor mínimo de
para que el cuerpo esté en la inminencia de bajar.
2-) En las mismas condiciones del ítem anterior. ¿Cuál es el máximo valor de
para que el cuerpo este en la inminencia de subir.
OBS: Intervalo de variación de para mantener el equilibrio.
c) Siendo
1-) ¿Cuál es el valor de
2-) ¿Cuál es el valor de
OBS: Intervalo de variación de
Rta.: b)
Cursillo π
;
.
para que el cuerpo esté en la inminencia de bajar?
para que el cuerpo esté en la inminencia de subir?
para mantener el equilibrio.
; c) 1-)
52
; 2-)
Ing. Raúl Martínez
Física
25)
a) Siendo
∗ Si el cuerpo está en la inminencia de bajar,
mostrar todas las fuerzas que actúan en el
cuerpo .
∗ Si el cuerpo está en la inminencia de subir
mostrar todas las fuerzas que actúan en el
cuerpo .
b) Si
¿Cuál es el intervalo de variación de
y
W
para el cual existe equilibrio estático?
c) Siendo Si
;
;
¿Cuál es el mayor valor de
para que el cuerpo este en la inminencia de baja y
cuánto vale la fuerza de rozamiento en tales condiciones?
Rta.: b) 176,75 kgf <
< 326,76 kgf
; c)
,
26)
a) Siendo
. ¿Calcular el valor de para que el
cuerpo este en la inminencia de bajar.
b) Si
¿Cuál es el valor de para que el cuerpo este en
la inminencia de subir?
Rta.: a)
kgf
W
27)
a)
− Calcular para que el cuerpo esté en la
inminencia de movimiento para el lado de la
fuerza .
− Calcular
cuando el cuerpo este en la inminencia de moverse hacia la polea.
b) Siendo
;
;
Calcular entre que valores debe variar
para que el cuerpo esté en equilibrio.
c) Si
;
Entre qué valor podrá variar para mantener el equilibrio en función de
.
Rta.: a)
; b) 35 N <
< 125 N
c)
Cursillo π
53
Ing. Raúl Martínez
;
Física
28)
a) En la figura
Calcular entre qué valores podrá variar
para que se mantenga el equilibrio.
b) Siendo
Calcular el intervalo de variación de
mantener el equilibrio.
c) Siendo
¿Cuál deberá ser el valor de
Rta.: a)
para
para que haya equilibrio?
; b)
8,25 kgf <
< 17,45 kgf
;
c)
29)
B
A
a) Siendo
Calcular
b) Siendo
Entre que valores podrá variar
mantenga el equilibrio.
c) Siendo
Rta.: a)
Cursillo π
c
.
¿Cuál es el mínimo valor de
equilibrio?
;
b) 3 kgf <
< 17 kgf
54
; c)
, para que se
que mantenga el
6,6 kgf
Ing. Raúl Martínez
Física
30)
a) Siendo
¿Cuál es el valor mínimo de
equilibrio?
b) Siendo
− ¿Es posible el equilibrio?
− Caso afirmativo, calcular μ en función de
c) Siendo:
Calcular el intervalo de valores que puede adquirir
para que se mantenga el equilibrio.
d) Siendo:
Rta.: a)
para que exista
Calcular el intervalo de valor de
equilibrio.
;
b)
d) 7° 20’ 50,84” <
;
para que exista
c) 72,862 kgf <
< 182,405kgf
< 56° 26’ 56,39”
31)
a) Siendo:
B
C
Calcular la fuerza de rozamiento del cuerpo B.
A
b)
Calcular el intervalo de valores de masa del cuerpo C.
c) Siendo
;
;
Calcular el intervalo de valores posibles de para que se mantenga el equilibrio.
Rta.: a)
Cursillo π
kgf
;
b)
7,83 kgf < C < 12,16 kgf ; c)
55
Ing. Raúl Martínez
Física
32)
Siendo
Calcular el intervalo de variación de
se mantenga el equilibrio.
para que
Rta.:
33)
a)
¿Cuál es el máximo valor de
para mantener el
equilibrio?
b) Si
Si el cuerpo (2) está en la
inminencia de bajar, ¿cuál es el valor de
Rta.:
a)
kgf
;
b)
34)
a) ¿Cuál es la fuerza interactuando entre los cuerpos (1) y (2), siendo
.
y
b)
μ
c) En caso de que
. ¿Cuál es la fuerza mínima necesaria para que los cuerpos
no bajen, y en este caso cual es la fuerza que (1) ejerce en (2).
d) Siendo
Rta.: a) No existe fuerzas interactuantes
b) ≤
;
c) ≤
;
Cursillo π
; d)
56
Ing. Raúl Martínez
kgf
Física
35)
a) Siendo
y
. Calcular las fuerzas de rozamiento de cada uno de
los cuerpos y la fuerza de contacto entre ambas.
b)
Calcular la faja de variación de y en los casos extremos calcular, el rozamiento
de cada cuerpo y la fuerza de contacto entre ambas.
c) Siendo
. Calcularla fuerza de rozamiento de cada uno
de los cuerpos y la fuerza de contacto entre ambos cuerpos sabiendo que están
en equilibrio.
d) Siendo:
Calcular las fuerzas de rozamiento de los
cuerpos y la fuerza de contacto entre ambas.
e) Siendo:
¿Entre que valores podrá variar
Rta.: a)
para que se mantenga el equilibrio?
;
b)
c)
;
; d)
...No está siendo usada
; e)
Cursillo π
57
Ing. Raúl Martínez
Física
EJERCICIOS DE MOMENTO DE UNA FUERZA
36)
F
A
P
B
a) La barra AB se encuentra pivotada en el punto A y su peso es
. Calcular la fuerza para mantenerla en equilibrio y las relaciones en
el apoyo A en los siguientes casos:
1-)
2-)
3-)
b) Si
y el mayor valor que puede ser atribuido a es de 200 N y siendo
N. Calcular el máximo valor posible del peso de la barra.
c) Si el mayor valor atribuible a la fuerza es de 150 kgf y el valor de
. ¿Cuál es el máximo valor de ?
d) Siendo
. Sabiendo que el máximo valor de la fuerza de
reacción horizontal en A es 80 kgf. ¿Cuál es el mayor valor posible de ?
Rta.: a) 1-)
b)
W=160 N
;
2-)
3-)
c)
;
d)
37) La barra homogénea de la figura de 3 m y pesando 300 kgf se encuentra apoyada y
soportando dos pesos
y .
a) Calcular la reacción en los apoyos A y B
sabiendo que
.
b) Calcular para que la reacción en B sea el
doble que la reacción en A, siendo
.
c) Siendo
. Calcular
de tal forma que la reacciones en
los apoyos sean iguales.
Rta.: a)
;
b)
;
c)
38) Una barra homogénea AB de 5
y pesando 12 kg por metro, se encuentra apoyada
como ilustra la figura.
B
C
A
a) Si la distancia AC es igual a 1,2 , cuál es el
máximo peso W para mantener el equilibrio.
W
b) Cual deberá ser la distancia AC, si
Rta.: a) W= 65 kgf
Cursillo π
; b)
58
Ing. Raúl Martínez
Física
39)
El peso W se encuentra apoyado en una tabla considerada sin peso.
a) Analizar la variación de la tensión en
la cuerda en función del ángulo .
b) ¿Cuál es la faja de variación de si
y los hilos de
W
sustentación pueden soportar hasta
180 kg de tensión cada una.
c) Siendo
el peso del cuerpo y
. ¿Cuál será la tensión en los hilos.
Rta.: b)
;
c)
40)
La barra de la figura se encuentra en equilibrio, es homogénea y pesa
siendo
longitud.
a) Siendo
.
Calcular
para mantener el equilibrio y
calcular también la reacción en .
b) Siendo
. Calcular y la reacción en .
kgf por metro y
c) Siendo
Calcular
Rta.: a)
para que se mantenga el equilibrio.
; b)
; c)
41)
El sistema de la figura está en equilibrio estático. En el punto
articulación, el peso de la barra es y su longitud es .
a) Siendo
A
Calcular las reacciones en y la tensión en la cuerda.
b) Siendo
y la máxima tensión posible en le
. ¿Cuál es el valor
cuerda es 3W, también
para
mantener el equilibrio?
c) Siendo
tenemos una
D
C
W
¿Cuál es el menor valor posible para AD. Sabiendo que el hilo puede soportar hasta
y en esas condiciones, cual es la reacción en A?
Rta.: a)
Cursillo π
; b)
; c)
59
Ing. Raúl Martínez
B
Física
42) La barra AB se encuentra en equilibrio y está articulada en A.
a) Siendo
A
B
3
W
Calcular la tensión en la cuerda y las reacciones en A.
W
b) Si la cuerda soporta una tensión máxima de 4 . ¿Cuál es
el mínimo valor de para que se mantenga el equilibrio.
c) Si
,
y la cuerda soporta una tensión máxima de 300 kgf, ¿Cuál es el
máximo valor de W y en ese caso cual será la reacción en A?
Rta.: a)
;
b) 32°32’3,2”
;
c)
43) La barra homogénea de la figura de peso y longitud ,
se encuentra articulada en A y soporta el peso W.
a) Siendo
Calcular las reacciones en A y la tensión en el hilo.
b) Siendo la tensión máxima posible del hilo
menor valor de
Rta.: a)
A
2W y
D
Cursillo π
W
. Calcular el
para que el hilo no suelte y calcular la reacción en el apoyo A.
;
b)
44) La escalera de la figura se encuentra apoyada en la pared. El peso
de la escalera es W.
a) Siendo
;
;
¿Cuál es el máximo valor de para que se mantenga el
equilibrio? Y las reacciones en los apoyos.
b) Siendo
;
;
¿Cuál es el máximo valor de y las fuerzas de rozamiento en
los contactos con la pared y el piso?
Rta.: a)
B
;
b)
60
Ing. Raúl Martínez
Física
45) Una persona de peso se encuentra subiendo la escalera de longitud
ángulo que forma la escalera con la horizontal es .
a) Siendo:
y peso W. El
¿Cuál es la máxima altura que puede llegar la
persona? Y en ese momento cuánto valen las
fuerzas de rozamiento y las fuerzas normales en
los apoyos?
b) Si el hombre pesa
y
y el hombre se
encuentra a
. ¿Cuál es el mínimo valor
de para que se mantenga el equilibrio?
c) Si
¿Cuál es la altura
que podrá alcanzar el hombre en función de ?
d) Siendo
¿Cuál es el menor valor de
el hombre suba hasta la
Rta.: a)
para que no haya peligro de deslizarse, mismo que
parte de la escalera?
; b)
; c)
;
d)
46) Una escalera de 5 de longitud y de 30 kgf de peso se encuentra apoyada en una
pared lisa. Para aumentar la seguridad fue dispuesto un alambre como ilustra la figura.
Un hombre sube la escalera.
a) Si el hombre pesa 80 kgf;
y
¿Cuáles son las relaciones en los apoyos y la
tensión en el alambre?
b) ¿Cuál es la altura máxima que podrá escalar el hombre
si el hilo solo soporta 10 kgf como tensión máxima? El
peso del hombre es 80 kgf ;
Rta.: a)
Cursillo π
;
b)
61
Ing. Raúl Martínez
Física
47) Una barra homogénea de peso se encuentra como ilustra la
figura. Los coeficientes de rozamiento en los apoyos son
iguales y la barra está en la inminencia de deslizar. Calcular .
Rta.:
48) Una plancha homogénea de peso 50 kgf, se
encuentra con
de su longitud para fuera
de un barranco. ¿Cuál es la máxima distancia
desde el borde que podrá caminar un hombre
de 70 kg si la longitud de la plancha es 6 ?
Rta.:
49) La escalera dupla de peso y cada tramo de longitud
superficie lisa y están perfectamente articulados.
a) Sabiendo que
se encuentran en una
Calcular:
Las reacciones en el suelo.
− La tensión en el hilo.
− La fuerza de interacción en la
articulación.
b) Si el alambre soporta una tensión máxima de 10 kgf
¿Podrá un hombre de 80 kgf subir por la escalera hasta
la cima? Caso contrario ¿hasta qué altura lo podrá?
c) ¿Cuánto debería ser el coeficiente de rozamiento con el piso para que la tensión
en el hilo sea nula?
d) Si colocáramos el hilo a media altura, cuantas veces aumentaría la tensión en el
hilo.
Rta.: a)
c)
Cursillo π
;
;
;
d)
62
Ing. Raúl Martínez
Física
50) La escalera de la figura pesa . Cada tramo mide
hombre de peso
se encuentra sobre ella.
y un
a) Si la superficie del suelo es perfectamente
lisa,
Calcular las reacciones en el suelo en la articulación y la
fuerza tensora en el hilo.
¿Cuál es el máximo valor de , si
el almbre soporta una tensión
máxima de 10 kgf?
b) Siendo
c) Siendo
Sabiendo que el coeficiente de rozamiento entre la escalera y el piso es
. Calcular las reacciones del piso la tensión en el hilo.
Rta.: a)
;
b)
;
c)
51) Las dos escaleras de la figura se encuentran
articuladas en A. La superficie del suelo es
perfectamente lisa. El peso de la escalera es de
por metro.
a) Siendo
Calcular las fuerzas de interacción en A, B, C y
la tensión en el alambre.
Rta.: a)
52)
a) Siendo
¿Cuál es la altura máxima que se puede aplicar para el
cuerpo no tumbe?
b) Siendo
¿Cuál es el menor valor de para que el cuerpo no pueda tumbarse?
c)
es una fuerza horizontal que se aplica al cuerpo W y puede variar en altura hasta
la altura del cuerpo. ¿Cuál deberá ser el mínimo valor de para que una fuerza
y siendo
no pueda volcarlo, también sabemos
.
Rta.: a)
Cursillo π
;
b)
; c)
63
Ing. Raúl Martínez
Física
53)
a) Siendo
¿Cuál es la máxima altura
produzca el vuelco?
par que no se
b) Siendo
¿Cuál es el máximo valor de
Rta.: a)
;
para que no vuelque?
b)
54)
a) Siendo
¿Cuál es el menor valor de para que pueda
producirse el vuelco y en ese instante cual deberá
ser la altura ?
b) Siendo
¿Cuál deberá ser el mayor valor de para que no pueda volcarse y en ese caso cual
será la máxima altura de aplicación de ?
c) Siendo
¿A qué altura deberá estar aplicada la fuerza
que pueda ocurrir el deslizamiento o el vuelco indistintamente o
simultáneamente
?
Rta.: a)
Cursillo π
;
b)
;
64
para
c)
Ing. Raúl Martínez
Física
EJERCICIOS SOBRE CENTRO DE GRAVEDAD.
55)
a) Determinar el centro de gravedad de la lámina homogénea
en forma de T de la figura.
b) Si colgamos esta lámina desde el techo por medio de un hilo
el punto , ¿Cuál es el ángulo que formara la recta
con
la horizontal del lugar?
c) ¿Cuál debe ser la longitud de la chapa MN para que dicho
ángulo de AB con la horizontal sea de 30°?
d) Calcular la distancia BC para que al colgar dicha lamina de los puntos A y C es
posición horizontal, la tensión en el hilo de C sea el doble de la de A.
Rta.: a)
;
b)
;
c)
; d)
56) Calcular el centro de gravedad de una chapa circular como ilustra la figura.
A
R/2
45
R
45°
R/3
R/4
B
a) Si dicha chapa colgáramos por medio de un hilo desde el punto A, ¿Cuál será el
ángulo que la lima AB formara con la horizontal del lugar?
Rta.: 15° 38’ 32,09”
57) Calcular el centro de gravedad de la figura. La parte sombreada fue retirada de la
chapa.
Rta.:
Cursillo π
65
Ing. Raúl Martínez
Física
58) Hallar el centro de gravedad de la figura.
− Si se cuelga de un hilo del punto , cuál será
el ángulo que formara
con la horizontal.
− Si colgamos de dos hilos en
y ,
manteniendo
horizontal. ¿Cuál será la
tensión de los hilos?
Rta.:
;
59)
A
L
La placa homogénea y un ángulo de la figura posee un articulación en A, y se encuentra
en equilibrio como ilustra la figura. ¿Cuál es la longitud de L ?
Rta.: L = 29,13 cm
60)
a) El sistema de la figura se encuentra en equilibrio con la barra en posición
horizontal
. Calcular el peso de la barra.
b) Si colocamos
. ¿Cuál sería el ángulo que la barra formaría con la
horizontal en la nueva posición de equilibrio?
Rta.: a) 7,2 kg
Cursillo π
;
b)
66
Ing. Raúl Martínez
Física
61) Se está queriendo subir una rueda,
de peso y radio , un peldaño de
altura por medio de la aplicación
de una fuerza horizontal .
a) Siendo
¿Cuál debe ser el mínimo
valor de para que suba?
b) Siendo
¿Cuál es la máxima altura
para que se consiga subir la rueda?
Rta.: a)
;
b)
62)
Siendo
¿Cuál deberá ser el ángulo
para que una fuerza
consiga subir la rueda?
Rta.:
63) Una caja de peso
a) Si
se encuentra en un plano inclinado regulable como ilustra la figura.
y siendo
. Calcular el máximo valor de
para que no
ocurra el vuelco. En ese momento cual
debería ser el coeficiente del rozamiento
estático para que la caja no deslice.
b) Si
¿Cuál deberá ser la altura de la caja y el
mínimo valor de para que esté en la
inminencia de volcar como también en la
inminencia de deslizar?
Rta.: a)
Cursillo π
;
;
b)
67
Ing. Raúl Martínez
Física
64)
P
F
En la figura de arriba:
a) ¿Es necesario que entre
b) Siendo:
y
exista rozamiento? Justificar.
¿Cuál es el máximo valor de
Calcular también la tensión
para que se mantenga el equilibrio?
en el hilo que sujeta ?
Rta.: b)
65)
P
En la figura de arriba: y sabiendo que entre
y
no existe rozamiento, y que :
¿Cuál es el mínimo valor de para que pueda iniciarse el movimiento? Y en este caso cual es
el valor de la tensión en el hilo que sujeta el cuerpo
a la pared?
Rta.:
Cursillo π
68
Ing. Raúl Martínez
Física
66)
P
En la figura de arriba:
a)
¿Cuál es el máximo valor que puede tener
para que permanezca el equilibrio?
b) Con el resultado del ítem anterior, y en las mismas condiciones ¿Cuál es el mínimo valor
atribuible a
para que permanezca el equilibrio?
c) Siendo
y conociendo . Calcular el máximo valor de y el mínimo de para
que exista equilibrio.
Rta.: a)
Cursillo π
69
Ing. Raúl Martínez
Física
EJERCICIOS EXTRAÍDOS DE ZARATE
1. Un bloque que pesa 100 kgf se encuentra sobre un plano inclinado y está unido a un
segundo bloque suspendido de un peso mediante una cuerda que pasa por una polea lisa
pequeña. El coeficiente de rozamiento estático es 0,40 y el cinético 0,30.
a. Hállese el peso para el cual el bloque se mueve hacia abajo a velocidad constante.
b. Calcúlese el peso para el bloque se mueve hacia arriba a velocidad constante.
c. Para que valores de permanecerá el bloque en reposo.
100kgf
30°
Rta.: a) 235,29
b) 744,61
c) 150,52
2. El bloque de peso W se desliza hacia abajo con velocidad constante sobre un plano
inclinado cuya pendiente es 37° mientras la tabla también de peso W descansa sobre la
parte superior de . la tabla está unida mediante una cuerda el punto más alto del plano.
a. Dibujar el diagrama del cuerpo libre de .
b. Si el coeficiente de rozamiento cinético de todas las superficies es el mismo, determinar
su valor.
37°
Rta.: b) 0,25
3. Dos cuerpos idénticos
y
de peso , enlazados con un hilo pasado sobre la polea
están colocados sobre las caras
y
del prisma
. El coeficiente de rozamiento
estático entre los cuerpos y las caras del prisma es el mismo y los ángulos
y
son
iguales a 45°.
Determinar la magnitud del ángulo de inclinación de la cara
respecto a la horizontal
para que la carga comience a descender. El rozamiento de la polea se desprecia.
45°
45°
Rta.:
Cursillo π
70
Ing. Raúl Martínez
Física
4. Una cuerda que se encuentra arrollada alrededor de un cilindro de radio y peso W que se
mantiene en equilibrio sobre un plano inclinado de pendiente estando la cuerda
horizontal. Hállese:
a. La tensión en la cuerda.
b. La fuerza normal ejercida sobre el cilindro por el plano.
c. La fuerza de rozamiento ejercida sobre el cilindro por el plano. W
d. Represéntese en un diagrama de dirección la fuerza resultante
ejercida sobre el cilindro por el plano.
e. ¿Cuál es el valor mínimo del coeficiente de rozamiento
estático entre el cilindro y el plano para el cual es posible el equilibrio?
Rta.: a) W
b) W
c) W
d)
5. Un disco circular de 30
de diámetro, que puede girar alrededor de un eje horizontal que
pasa por su centro tiene arrollada una cuerda alrededor de su borde. La cuerda pasa por una
polea sin rozamiento en y está atada a un cuerpo que pesa
. Una barra uniforme de
de longitud está fija al disco con un extremo en el centro. El aparato se halla en
equilibrio, con la barra horizontal.
a. ¿Cuál es el peso de la barra?
b. ¿Cuál es la nueva posición de equilibrio cuando se suspende un segundo peso de 2 kgf
en el extremo derecho de la barra?
Rta.: 49 N ; 56,25°
6. La carga pesa 50 . Si
a. Dibujar el DCL de la caja.
b. Calcular el valor de las fuerzas que actúan.
c. Si la fuerza crece ¿Qué sucederá primero, se
resbalara o volcara, girando sobre ?
Rta.: b)
c) volcará,
7. Calcular los valores máximos de
y
longitud permanecen en equilibrio.
suponiendo que los tres ladrillos iguales de
Rta.:
Cursillo π
71
Ing. Raúl Martínez
Física
8. La tabla es uniforme y pesa 20 kgf. Apoya en el punto sobre una muralla sin rozamiento y
en el punto . sobre un piso cuyo coeficiente de rozamiento estático es 0,50. En el extremo
actúa con una fuerza vertical
1 kgf.
a. Hacer el DCL de la tabla y calcular todas las fuerzas.
b. Hallar el máximo valor de .
Rta.: a) 16,25 kgf ; 7,92 kgf ; 6,34 kgf b) 7,12 kgf
9. Un bloque rectangular homogéneo de 60
de alto y 30
de ancho descansa sobre una
tabla
. El coeficiente de rozamiento estático entre el bloque y la tabla es 0,40.
a. Represéntese en un diagrama la línea de acción de la
fuerza normal resultante ejercida sobre el bloque por la
tabla cuando
.
b. Si se levanta lentamente el extremo
de la tabla
¿Comenzara el bloque a deslizar hacia abajo antes de
volcar? Hallarse el ángulo B para el cual comienza a
deslizar o volcar.
c. ¿Cuál sería la respuesta a la parte b si el coeficiente de
rozamiento estático fuera 0,60? ¿y si fuera 0,50?
Rta.: b) desliza c) vuelca; desliza y vuelca simultáneamente.
10. La barra AB está apoyada sobre una superficie cilíndrica de radio R y coeficiente de
rozamiento estático 0,25 y unida al piso por un vínculo A sin rozamiento. La barra pesa 40 N
y se aplica en A una fuerza P.
Determinar si para P = 12 N, el sistema está en
equilibrio. En caso afirmativo determinar el valor
y el sentido de las fuerzas en el punto de contacto
entre la barra y la superficie cilíndrica.
Rta.: Si
Cursillo π
72
Ing. Raúl Martínez
Física
11. El semicilindro macizo de radio
y
de masa, está apoyada en plano
horizontal (
) y un plano inclinado 60° sin rozamiento.
a. Para
hacer el DCL inclinado el modulo, dirección y sentido de todas las fuerzas.
b. Determinar el rango de valores de para los cuales el cuerpo está en equilibrio.
Rta.: a) 240,13 ; 859,93
; 207,96
b)
12. ¿Entre que valores debe variar la fuerza aplicada en el punto , para que el sistema
permanezca en equilibrio? La masa
es esférica.
Datos:
Rta.:
13. En la estructura el bloque pesa 120 kg y la barra
rozamiento entre el bloque y la superficie inclinada es
El bloque pesa 30 kg.
a. Averiguar si el sistema se encuentra en
equilibrio en la posición que se muestra.
b. ¿Entre que valores puede variar el peso de
la barra sin que se altere el estado de
equilibrio?
Rta.: a) si
Cursillo π
b) 1,9 kgf
pesa
.
. El coeficiente de
kgf
73
Ing. Raúl Martínez
Física
14. Calcular el máximo y el mínimo peso P necesario para mantener el equilibrio. El peso A es
de
y Q es de
. El coeficiente de rozamiento entre el bloque A y el plano es de
0,40
30°
Rta.:
15. La escalera tipo tijera es de peso despreciable y descansa sobre
un piso liso sin rozamiento. Los lados
y
miden 2,40
cada uno y la cuerda
mide 0,80
y está situada a la mitad
de la escalera. El hombre pesa 85 kgf.
a. Hacer un diagrama de las fuerzas que actúan sobre la
escalera y calcular las intensidades de dichas fuerzas.
b. Dibujar por separado la rama
y hacer un diagrama de las
fuerzas que actúan sobre esta rama.
c. Calcular la tensión de la cuerda
.
Rta.: a) 499,80 ; 333,20
c) 235,6
16. En la estructura de la figura se desea aplicar una fuerza a fin de mantener el equilibrio. Dar
el valor del vector fuerza y su punto de aplicación.
.
Rta.:
17. Determinar el centro de gravedad de las figuras que se representan.
a)
b)
Y
x
Rta.: a) 63,07
Cursillo π
; 50,23
b) 2
;
74
Ing. Raúl Martínez
Física
18. Una placa de espesor uniforme está colocada encima de una mesa horizontal y sometida a
la acción de una fuerza horizontal
a. Hallar el centro de gravedad de la placa.
b. Dibujar el DCL de la misma, indicando el valor y punto de
aplicación de todas las fuerzas.
c. Verificar si en estas condiciones es posible el equilibrio.
d. ¿Hasta qué altura con respecto al piso es posible aplicar la
misma carga horizontal P de modo que no se altere el
equilibrio?
W= peso de la placa
Rta.: a) 4,08
b) 0,4
c) no
d) 2,36
19. Verificar si la barra homogénea de la figura se encuentra en equilibrio.
a. Si está en equilibrio: ¿Qué valor máximo puede tener una
fuerza aplicada verticalmente en el centro de gravedad de
la barra
dirigida hacia abajo sin que se rompa el equilibrio?
b. Si no está en equilibrio: ¿Cuál es el mínimo valor de para
mantener la barra en equilibrio? No existe rozamiento sobre
la barra.
100 kg ;
30 kg ;
30° ;
;
Rta.: no está equilibrado;
20. A partir de los datos que se muestran en la figura, deducir una fórmula que nos permita
calcular el ángulo ϕ con las siguientes condiciones:
a. El bloque
resbale sin volcar.
b. El bloque vuelque sin resbalar.
Rta.: a)
b)
21. La rueda de radio
de la figura está por pasar un obstáculo de altura
con la
ayuda de una fuerza horizontal
aplicada en el centro de la rueda. Todas las superficies
son lisas, sin rozamiento.
a. Hacer un diagrama de todas las fuerzas que actúan
sobre la rueda.
b. Deducir las fórmulas que nos permitan calcular las
fuerzas mencionadas en la pregunta a. en función
de la fuerza , el radio y la masa
de la rueda.
c. ¿Cuál es el mínimo valor de que posibilita que la
rueda se levante?
Rta.: b)
Cursillo π
c)
75
Ing. Raúl Martínez
Física
22. El bloque de masa
que se muestra en la figura descansa en el punto D sobre
una tabla de masa
y con un coeficiente de rozamiento estático
. El
ángulo que forma la barra con la horizontal es
, la longitud de la tabla es
y la longitud
es
.
a. Verificar que el bloque de masa
se encuentra en
equilibrio sobre la tabla.
b. Demostrar que en las condiciones que se muestran en la
figura la tensión en la cuerda
no supera el valor máximo
admisible
, sin que esta se rompa.
c. ¿Cuáles son los valores máximo y mínimo de para los
cuales el sistema que se muestra en la figura permanece en
equilibrio sin que la masa
resbale sobre la tabla o que la
cuerda
se rompa?
Rta.:
a) si
c)
23. Los cuerpos
y
están dispuestos como se indica en la
figura. Sabiendo que el coeficiente de rozamiento estático entre todas las superficies es
, determinar entre que valores puede variar
para que el sistema
permanezca en equilibrio.
Rta.:
24. La placa homogénea
reacción en la cuerda
mostrada se halla suspendida inicialmente de tal modo que la
y
son iguales. Calcular el ancho del trozo cortado.
Rta.:
Cursillo π
76
Ing. Raúl Martínez
Física
TEMA DE EXAMENES ANTERIORES
25. Despreciando la masa de la tabla, de las cuerdas y de las poleas, calcular la
fuerza
que debe aplicar a la cuerda una persona de masa
sobre la plataforma para mantener la misma en equilibrio.
parada
Rta.:
26. La placa de la figura pesa 50 kgf y está
suspendida mediante dos cabos de acero de igual
sección. Calcular el valor de para que las fuerzas
en los cabos sean iguales.
Rta.:
27. En la figura se representa una barra continua y rígida de
peso despreciable que lleva en sus extremos las fuerzas
indicadas. La posición de equilibrio queda caracterizada
por los ángulos y . Hallar dichos ángulos.
.
B
A
Rta.:
28. La escalera mostrada en la figura, de 1,2 m de longitud, es
uniforme y homogénea, y pesa 5 kgf. Por ella debe subir un
obrero de 60 kgf de peso. ¿Cuál es la máxima distancia,
medida sobre la escalera, que puede alcanzar el obrero sin
que la misma resbale?
AC
1,2 m
AD
0,6 m
BD
Rta.:
0,8 m
C
100kgf
80 kgf
B
A
C
D
29. En el sistema representado en la figura, se consideran
ideales la cuerda y la polea. Sabiendo que la masa del
cuerpo
es 60 kg y que el coeficiente de rozamiento
estático entre los planos y los cuerpos es igual a 0,35,
determinar el intervalo de valores de la masa del cuerpo
para que el sistema se encuentre en equilibrio, cuando es
inminente que se deslice.
.
Rta.: mínimo valor
Cursillo π
; máximo valor
77
Ing. Raúl Martínez
Física
30. Hallar el centro de gravedad de la placa homogénea de espesor constante indicada en la
figura.
31. La barra
de longitud L y peso despreciable, se halla
en equilibrio en la posición mostrada en la figura. Hallar
la relación entre los pesos
y
.
Rta.:
32. El sistema de la figura se abandona a sí mismo y el cuerpo vuelca sin deslizar. ¿Cuál es el
valor del coeficiente de rozamiento estático ?
Rta.:
33. Una varilla de vidrio de sección uniforme, de masa
y longitud
se apoya sobre el
fondo y el borde de una capsula de porcelana de forma
R
semiesférica de radio
Despreciando el
2L
rozamiento, hallar el ángulo
que formara la varilla con la
horizontal en la posición de equilibrio.
Rta.:
Cursillo π
78
Ing. Raúl Martínez
Física
34. Un disco homogéneo de peso W 100 N y radio
cm está apoyada en dos
superficies en los puntos A y B según muestra la figura. Una fuerza horizontal de
intensidad
N actúa sobre el disco a una altura del suelo. Se sabe que la fricción en
el suelo es despreciable y que el coeficiente de rozamiento estático entre el disco y la
superficie vertical es
. ¿Qué valores puede tomar sin que el equilibrio del disco se
rompa?
Rta.:
35. Se desea que un cuerpo compuesto por un semicilindro (con centro de gravedad en G) y un
prisma recto cuya base es un triángulo rectángulo, se encuentre en
equilibrio estable. Calcular los valores de la distancia “ ” y la altura
“ ”.
.
x
Rta.:
;
36. Sabiendo que la barra
, de peso despreciable y
longitud , puede soportar una fuerza máxima de 1000
B
45°
y que la cuerda
puede soportar una fuerza
máxima de
, determinar el máximo valor que
puede tener el peso
para que el sistema se encuentre
W
en equilibrio.
C 60°
A
Rta.:
37. La placa homogénea
, se halla suspendida inicialmente de tal modo que la fuerza en la
cuerda
es cero. Posteriormente se corta
un trozo de chapa, como se indica en la
figura, y las reacciones en
y
resultan iguales. Calcular el ancho del
trozo cortado.
Rta.:
Cursillo π
79
Ing. Raúl Martínez
Física
38. Hallar el centro de gravedad de la plancha metálica homogénea y de espesor despreciable
que se indica en la figura.
Rta.:
39. En el sistema representado en la figura, se consideran ideales la cuerda y la polea. Sabiendo
que la masa del cuerpo A es 60 kg y que el coeficiente de rozamiento estático entre el plano
y los cuerpos es 0,35. Determinar el intervalo de valores de la masa del cuerpo B para que
el sistema se encuentre en equilibrio.
Rta.:
40. Determinar el valor de para que el alambre homogéneo de peso
, doblando como se
muestra en la figura, se encuentre en equilibrio en la posición indicada.
Rta.:
41. El cuerpo de peso , mostrado en la figura, no debe girar alrededor de la rótula . Calcular
el máximo peso
que puede colgarse para que se cumpla la condición establecida.
Rta.:
Cursillo π
80
Ing. Raúl Martínez