Tarea No. 4 de Matemáticas financieras: Solución:

 Matemáticas Financieras Prof. Gerardo Gutiérrez Jiménez Tarea No. 4 de Matemáticas financieras: Solución: 1.‐ ¿Qué capital debe invertirse en una cuenta que paga el 13.6% anual capitalizable por mes, para disponer de $ 13,000 en 7 meses? Fórmula: 1
Datos: p = 12 (mensual); i = 13.6/100 = 0.136; M = $13,000; tp= 7 meses (periodos utilizados) Despeje: C = 13,000 / [1 + (0.136/12)]7 C = 13,000 / (1.011333333)7 C = 13,000 / 1.082082198 C= $12,013.87475 2.‐ Con qué tasa de interés anual compuesto por quincenas un capital crece 45% en 2 años? Fórmula: 1
Datos: p = 24 (quincenal); t = 2 (años); M = 1.45C 1.45C = C(1 + i/24)2(24) 1.45 = (C(1 + i/24)48) / C 1.45 = (1 + i/24)48 √1.45 1 24 1.007770946 – 1 = i / 24 i = 0.007770946(24) i = 0.186502696 i = 18.6502 Comprobación: Si C = $100 entonces: M = 100( 1 + (0.1865/24))48 M = 100(1.007770833)48 M = 100(1.119992239) M = 144.9992239 Casi 145 que equivale al entero + 45% 1 Matemáticas Financieras Prof. Gerardo Gutiérrez Jiménez 3.‐ ¿Qué día se cancela con $21,000 un crédito de $18750 concedido el 5 de julio con cargos del 16.72% compuesto por días? Fórmula: 1
Datos: M= $21,000; C = 18,750; i = 0.1672; p = 360 (buscamos la cantidad de días); tp = incógnita Solución: Si tp = x; entonces: 21,000 = 18,750 ( 1 + (0.1672/360))X 21,000 / 18,750 = (1.000464444)X Ln(1.12) = x(Ln(1.000464444)) 0.113328685 / 0.0004643361793 = X X = 244.066 Días Redondeado X = 244 días antes del 5 de julio. 4.‐ ¿Qué es más productivo; una inversión al 17% de interés capitalizable por quincenas o al 17.4% compuesto cuatrimestralmente? M1 = C(1 + 0.17/24)1(24) M2 = C(1 + i/3)1(3) C(1 + i/3)3 = C(1 + 0.17/24)24 (1 + i/3)3 = C(1 + 0.17/24)24 / C 1 + i/3 = √1.184594764 i / 3 = 1.058091607 – 1 i = 0.058091607(3) i = 0.174274821 i = 17.42% 17.42% > 17.4% 5.‐ Con tasas de equivalentes de interés, decida cuál opción genera más intereses. a) Un tipo de interés del 22% anual compuesto por bimestres. b) El 13% de interés compuesto por día. c) El 18% de interés efectivo. Respuesta: El inciso “c” es anual, es decir, a tasa efectiva, la respuesta entonces es pasar el inciso “a y b” a tasa efectiva o anual. Una tasa efectiva es su equivalente anual. Por lo tanto: Fórmula: e = (1 + i/p)p – 1 Datos para el inciso ”a”; i = 0.22; p = 6 (bimestres) ea = (1 + 0.22/6)6 – 1 2 Matemáticas Financieras Prof. Gerardo Gutiérrez Jiménez ea = 0.2411 ea = 24.11% efectiva Datos para el inciso “b”: i = 0.13; p = 360 (días) eb = (1 + 0.13/360)360 – 1 eb = 0.1388 eb = 13.88% efectiva a) 24.11% efectiva; b) 13.88% efectiva y c) 18% efectiva. 6.‐ ¿Cuánto deberá invertirse ahora para tener $30,000 en 16 meses? a) cuando el interés es del 16.4% mensual b) 15% efectivo. c) 17% semestral Fórmula: Despeje: 1
Datos del inciso “a”: M = $30,000; i = 0.164; p = 12 (mensual); tp = 16 (meses que se utilizan) C = Incógnita. 30,000
0.164
1
12
30,000
1.013666667
30,000
1.242575101
C = $24,143.4099 Comprobación: M = 24,143.4 (1 + 0.164/12)16 M = 24,143.4(1.242575101) M = 29,999.98 Datos para el inciso “b”: i = 0.15; M = $30,000; p = 1 (anual efectivo); t = 1 (un año) Fórmula: 3 Matemáticas Financieras 30,000
0.15
1
1
Prof. Gerardo Gutiérrez Jiménez 30,000
1.15
C = $26,086.95652 Datos para el inciso “C”: i = 0.17; p = 2 (semestral); t= 16/12 = 1.3333 (16 meses convertidos a anual); M = $30,000 30,000
0.17
1
2
30,000
1.085 .
30,000
1.114909286
C = $26,908.018 7.‐ Suponiendo que las opciones tienen la misma liquidez. ¿Por cuál se decidiría usted? a) Invertirlo con el 10.40% de interés compuesto cada 28 días. b) Invertir en una cuenta bancaria con el 10.6% de interés efectivo. c) Prestar el dinero con el 9.9% de interés capitalizable por día. La mejor manera de resolver el problema es pasar el inciso “a y c” a tasa efectiva ya que el inciso “b” está en tasa efectiva. 1
Fórmula: 1
tasa efectiva 0.1040
13
1
1
MB = MA 0.1040
1
13
4 Matemáticas Financieras Prof. Gerardo Gutiérrez Jiménez 1
1
0.1040
13
1
1
1.008
1.109141403
1 10. 91% Realizamos lo mismo pero ahora con MC que corresponde al inciso “C”: 0.099
1
360
MB = MC 0.099
1
1
360
0.099
1
360
1
1
1.000275
1.104051273
1 10. 40% Solución alterna: Tasa efectiva: 1
1 Tasa efectiva del inciso “a”: 1
0.1040
13
1 1.008
1 1.109141403
5 1 Matemáticas Financieras Prof. Gerardo Gutiérrez Jiménez e = 10.91% Tasa efectiva del inciso “C”: 0.099
360
1 1.000275
1 1.104051273
e = 10.40% 1 1
8.‐ Usted compra una bicicleta con valor de $4,500 con un pago inicial del 20% y después de 10 abonos mensuales con pagos del 10% simple anual sobre saldos insolutos. Hallar los pagos y los intereses. Valor de la bicicleta: $4,500 Pago inicial: 20%; 02($4,500) = $900 Total del adeudo: C = 0.80(4,500) = $3,600 Amortización o abonos: 10 pagos. Cargos o intereses: 10% simple sobre saldos insolutos. (1) Fórmula: A = C / # C = Adeudo o capital en deuda; # = número de pagos. A = 3,600 / 10 = S360 en cada abono o pago. (2) Fórmula: I = Ci donde i es la tasa de interés. I = 0.1/12 = 0.008333333 ya que es anual. I1 = 3,600 (0.008333) I1 = $30 I2 = 3,600 – 360 = $3,240 ya que en cada pago se reduce “A = 360” I2 = 3,240 (0.008333) I2 = 26.99892 redondeado = $27 I3 = 3,240 – 360 = $2,880 ya que en cada pago se reduce “A = 360” I3 = 2,880 (0.008333) I3 = $23.99904 redondeado = $24 Observemos que si realizamos la gráfica, la pendiente disminuye en $3.00 pesos por cada pago. I4 = $21 I5 = $18 6 Matemáticas Financieras Prof. Gerardo Gutiérrez Jiménez I6 = $15 I7 = $12 I8 = $9 I9 =$6 I10 = $3 (3) Fórmula: A + I R1 = $360 + $30 = $390 R2 = $360 + $27 = $387 R3 = $360 + $24 = $384 R4 = $360 + $21 = $381 R5 = $360 + $18 = $378 R6 = $360 + $15 = $375 R7 = $360 + $12 = $372 R8 = $360 + $9 = $369 R9 = $360 + $6 = $366 R10 = $360 + $3 = $363 9.‐ De qué tamaño es el crédito que se amortiza con 18 pagos mensuales de $1,500 con intereses globales del 7.5%? Datos: # pagos = 18 mensualidades R = $1,500 i = 7.5% i = 0.075/365 = 0.000205479; lo multiplicamos por 7 días = i es igual a 0.001438353 C = Incógnita. (1) Fórmula: I = Ci I = C(0.00143) (2) Fórmula: A = C / # A = C / 18 (3) Fórmula: R = I + A R = 0.00143C + C/18 Sustituimos el valor de “R”: 1,500 = 0.00143 + C/18 Factorizamos “C” 7 Matemáticas Financieras 1,500 = C (0.00143 + 1/18) 1,500 = C(0.00143 + 0.05555) 1,500 = C(0.056985555) C = 1,500 / 0.056985555 C = $26,322.46014 8 Prof. Gerardo Gutiérrez Jiménez