Lección 2. Definiciones y soluciones

2 Deniciones y soluciones
Sabemos que la derivada de una función y(x) es otra función y 0 (x) que se determina aplicando una regla
adecuada. Por ejemplo, la derivada de
2
y = e3x
es
2
dy
= 6xe3x .
dx
2
Si en la última expresión sustituimos e3x por y queda
dy
= 6xy,
dx
que es una ecuación diferencial.
Dada una ecuación diferencial, nos planteamos encontrar, si es posible, la función que verica la ecuación.
Es la función incógnita.
2.1. Denición
Una ecuación diferencial ordinaria es una ecuación que contiene las derivadas de una variable dependiente respecto a una variable independiente.
Ejemplo:
dy
= 2xy.
dx
y = y(x): variable dependiente o función incógnita.
x: variable independiente.
2.2. Ejemplos de ecuaciones diferenciales
1. La ecuación diferencial que proporciona el volumen de una esfera que se derrite en cualquier tiempo
t viene dada por
dV
1/3
= k(4π) 32/3 V 2/3 .
dt
En esta ecuación la función incógnita es V = V (t). Como la derivada que aparece es la primera
derivada, se dice que la ecuación es de primer orden.
2. La ecuación de Hermite:
d2 y
dy
− 4x
+ 2αy = 0,
dx2
dx
es una ecuación de segundo orden, pues la derivada mayor que aparece es la derivada segunda.
1
2.3. Distintas notaciones para las derivadas sucesivas
Notación de Leibnitz:
dy d2 y
dn y
,
,
.
.
.
,
,...
dx dx2
dxn
Notación con primas:
y 0 , y 00 , y 000 , . . . , y (n) , . . .
Notación de Newton:
ẏ, ÿ, . . .
Ejemplos:
La ecuación
d[A]
= −k[A]([A] − A0 + B0 ),
dt
se puede escribir como
x0 = −kx(x − x0 − y0 ),
tomando [A] = x, A0 = x0 , B0 = y0 .
La ecuación de Bernouilli
dy
+ f (x)y = g(x)y n ,
dx
es una ecuación de primer orden, se puede escribir
y 0 + f (x)y = g(x)y n .
En general, una e.d.o. de orden n se puede representar mediante los símbolos:
F (x, y 0 , y 00 , . . . , y (n) ) = 0.
Si se puede despejar la derivada de orden máximo, y (n) , de una e.d.o., es decir, si se puede escribir así
y (n) = f (x, y, y 0 , . . . , y (n−1) ),
se dice que está escrita en forma normal.
Ejemplo:
Para la ecuación diferencial ordinaria de primer orden
y − x + 4xy 0 = 0,
es
donde
En forma normal:
F (x, y, y 0 ) = 0,
F (x, y, y 0 ) = y − x + 4xy 0 .
y 0 = f (x, y),
donde
f (x, y) =
x−y
·
4x
2
2.4. Solución de una ecuación diferencial ordinaria
Una solución de una e.d.o. de orden n, F (x, y, y 0 , y 00 , . . . , y (n) ) = 0, en un intervalo I , es una función
y = φ(x), denida en I y con al menos n derivadas continuas en I , que tiene la propiedad de que al
sustituirla en la ecuación la transforma en una identidad:
F (x, φ(x), φ0 (x), . . . , φ(n) (x)) = 0.
Al intervalo I se le llama intervalo de denición, intervalo de existencia, intervalo de validez
o dominio de la solución.
La gráca de una solución φ de una ecuación diferencial ordinaria se llama curva solución.
Ejemplo:
La función y = xex es solución de la e.d.o.
y 00 − 2y 0 + y = 0 :
Derivadas y = xex , y 0 = xex + ex e y 00 = xex + 2ex .
Para todo x real se obtiene
y 00 − 2y 0 + y = (xex + 2ex ) − 2(xex + ex ) + (xex ) = 0.
El intervalo de denición es I = R.
La solución viene dada de forma explícita, es decir, la variable dependiente se expresa tan sólo en términos
de la variable independiente.
Una ecuación diferencial, en general, tiene más de una solución. Por ejemplo, la ecuación
y 0 = 1 − y,
tiene toda una familia de soluciones:
y = 1 + cex .
Para cada valor del parámetro c tenemos una solución distinta. Se dice que es una familia uniparamétrica
de soluciones de la ecuación.
En la gráca están representadas las curvas solución correspondientes a los valores del parámetro c =
−2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5:
8
6
4
2
-3
-2
-1
1
2
3
-2
-4
3
2.4.1. Solución implícita
Se dice que una relación G(x, y) = 0 es una solución implícita de una e.d.o., en un intervalo I , siempre
que exista al menos una función φ que satisfaga tanto la relación como la ecuación diferencial en I .
Ejemplo:
La relación x2 + y 2 = 25 es una solución implícita en el intervalo −5 < x < 5 de la ecuación diferencial
x
dy
=− :
dx
y
Por diferenciación implícita:
d 2
d
(x + y 2 ) =
25,
dx
dx
es decir
2x + 2y
dy
= 0.
dx
Observación:
La relación x2 + y 2 = c también es solución de la e.d.o.
dy
x
= − para cualquier c.
dx
y
2.5. Condiciones adicionales
Las condiciones adicionales en un problema hacen que de la familia de soluciones tomemos alguna o
algunas en particular. Por ejemplo, de la familia y = 1 + cex , la curva solución que pasa por el punto
(0, 6) es la representante de la familia con c = 5.
Ejemplo: La ecuación diferencial ordinaria de segundo orden
ẍ + 16x = 0,
tiene una familia biparamétrica de soluciones
x(t) = c1 cos(4t) + c2 sen(4t),
los parámetros son c1 y c2 .
Queremos determinar la solución de entre
³ π ´ todas las de la familia que satisfaga las condiciones
(condiciones de frontera) x(0) = 0 y x
= 0. Entonces:
2
x(0) = 0 → 0 = c1 cos 0 + c2 sen 0 → c1 = 0,
de modo que
x(t) = c2 sen(4t).
Imponiendo la otra condición:
x
³π´
= 0 → 0 = c2 sen(2π),
2
que se satisface para cualquier valor de c2 . En este caso existen innitas soluciones.
³ π ´Grácamente
existen innitas soluciones de la ecuación que pasan por los puntos x(0) = 0 y x
= 0.
2
Ahora si consideramos la ecuación con las condiciones x(0) = 10 y ẋ(0) = 0 (condiciones iniciales):
x(0) = 10 → 10 = c1 cos(0) + c2 sen(0) → c1 = 10,
la función es
x(t) = 10 cos(4t) + c2 sen(4t) → ẋ(t) = −40 sen(4t) + 4c2 cos(4t),
ẋ(0) = 0 → c2 = 0.
La solución que estamos buscando es, de entre todas:
x(t) = 10 cos(4t).
4
Ejercicios del capítulo
1. Escribe las siguientes ecuaciones con otras notaciones:
a) p0 = k(a0 + p0 − p)
d) mL
d2 θ
= −mg sen(θ)
dt2
b) x3 y (4) − x2 y 00 + 4xy 0 − 3y = 0
e) L
c)
d2 r
k
=− 2
dt2
r
1
d2 q
dq
+ R + q = E(t)
2
dt
dt
C
2. ¾De qué orden es la ecuación de Cauchy-Euler?
an xn y (n) + an−1 xn−1 y (n−1) + . . . + a1 xy 0 + a0 y = g(x),
donde an , an−1 , . . . , a1 son constantes y g(x) es una función de variable x.
3.
a ) Verica que la familia biparamétrica c1 cos(4t) + c2 sen(4t) es solución de la ecuación
ẍ + 16x = 0.
b ) Determina en cada caso cuántas
½
ẍ + 16x = 0,
¡ ¢
x(0) = 0,
x π2 = 0
½
ẍ + 16x = 0,
¡ ¢
x(0) = 0,
x π8 = 0
½
ẍ + 16x = 0,
¡ ¢
x(0) = 0,
x π2 = 1
4. Verica que la función P =
soluciones tienen los siguientes problemas:
.
.
.
aceat
dP
es solución de la e.d.o.
= P (a − bP ).
at
1 + bce
dt
5. Sea la ecuación
dN
= −kN 2 .
dt
¾Qué relación han de tener τ0 , k y N0 para que
¶−1
µ
t
N (t) = N0 1 +
τ0
sea solución?
6. Todas las funciones de la familia uniparamétrica
y=2
1 + ce4x
,
1 − ce4x
son soluciones de la ecuación de primer orden y 0 = y 2 − 4.
a ) Verica que para c = 1, la función resultante es solución de la ecuación. (Solución particular).
b ) Además la función constante y = −2 es solución de la ecuación. (Solución singular).
7. Determina m para que y = xm sea solución de la ecuación xy 00 + 2y 0 = 0.
8. Da una interpretación física del modelo:
½
ẍ + 16 = 0
x(0) = 10, ẋ(0) = 0
5
Ejercicios del texto recomendado
Ejercicios
12, 14, 16, 19, 24(a), del
Capítulo 1: Introducción a las ecuaciones diferenciales.
Págs. 11 y 12 de la séptima edición:
1. Comprueba que la función indicada es una solución explícita de la ecuación:
dy
6 6
+ 20y = 24; y = − e−20t
dt
5 5
2. Comprueba que la función indicada es una solución explícita de la ecuación:
y 00 + y = tan(x);
y = −(cos(x)) ln(sec(x) + tan(x))
3. Comprueba que la expresión indicada es solución implícita de la ecuación diferencial dada. Determina al menos una solución explícita:
2xydx + (x2 − y)dy = 0; −2x2 + y 2 = 1
4. La función indicada es solución de la ecuación diferencial respectiva. Determina, al menos, un
intervalo de denición I de la solución:
y 0 = 25 + y 2 ;
Ejercicios
y = tan(5x)
4, 6, 8, 10 del
Capítulo 1: Introducción a las ecuaciones diferenciales.
Pág. 19 de la séptima edición:
5. Aprovecha que x = c1 cos(t) + c2 sen(t) es una familia biparamétrica de soluciones de x00 + x = 0
para determinar una solución del problema de valores iniciales formado por la ecuación diferencial
y las condiciones iniciales dadas.
x(π/2) = 0, x0 (π/2) = 1,
6. Aprovecha que x = c1 cos(t) + c2 sen(t) es una familia biparamétrica de soluciones de x00 + x = 0
para determinar una solución del problema de valores iniciales formado por la ecuación diferencial
y las condiciones iniciales dadas.
√
√
x(π/4) = 2, x0 (π/4) = 2 2.
7. Aprovecha que y = c1 ex + c2 e−x es una familia biparamétrica de soluciones de y 00 − y = 0 para
determinar una solución del problema de valores iniciales formado por la ecuación y las condiciones
iniciales dadas.
y(1) = 0, y 0 (1) = e
8. Aprovecha que y = c1 ex + c2 e−x es una familia biparamétrica de soluciones de y 00 − y = 0 para
determinar una solución del problema de valores iniciales formado por la ecuación y las condiciones
iniciales dadas.
y(0) = 0, y 0 (0) = 0
6