INTRODUCCIÓN A LA ELASTICIDAD PARA ELASTICIDAD PARA

Robert Hooke (1635 – 1703)
Tomada de Gordon, J.E.
INTRODUCCIÓN A LA
ELASTICIDAD PARA
SUELOS
Luis Ortuño
Thomas Young (1773-1829)
ELASTICIDAD
El modelo más simple para un suelo o una roca sería un material de “CHILE”
(Continuo, Homogéneo, Isótropo, Lineal y Elástico). Sólo requiere 2 parámetros: E, ν.
La historia de su desarrollo
desarrollo, tiene su gracia (ver Gordon
Gordon, JJ.E.
E 1987):
1.- Robert Hooke (1635-1703) su sobrina, su amigo el relojero y…. Newton
1676: Hooke publica “La
La verdadera teoría de la
elasticidad “. Como subtítulo, un aviso sin falsa
modestia: “Una décima de una centésima parte de
las invenciones que pretendo publicar”
publicar , y un
jeroglífico:
CEIIINOSSSTTUV
ESTABLECE LA PROPORCIONALIDAD
ENTRE FUERZA Y DESPLAZAMIENTO
1679: Posteriormente, en “De
De potentia restitutiva,
or of a spring”, resuelve el jeroglífico:
UT TENSIO SIC VIS
(como la extensión, así la fuerza),
Nótese que no existe por el momento el concepto de tensión. Hay que esperar unos cuantos
años)
Luis Ortuño
ELASTICIDAD
2.- Módulo de elasticidad. Thomas Young (1773-1829) y los jeroglíficos
egipcios
gp
Young, que entre otras cosas dedicó parte de su
vida al estudio de los jeroglíficos egipcios,
definió su módulo (E),
(E) la “constante
constante de
proporcionalidad” entre tensiones y
deformaciones, antes de que existieran los
conceptos
t de
d tensión
t
ió y d
deformación.
f
ió (P
(Por eso
quizás no le entendieron muy bien en su
momento):
“The modulus of elasticity of any substance
is a column of the same substance,, capable
p
of producing a force on its base which is to
the weight causing a certain degree of
compression as the length of the substance
is to the diminution of its length”.
σ
E=
ε
Luis Ortuño
Tomados de Gordon, J.E.
ELASTICIDAD
Material
Goma
Cartílago
(humano)
Tendón
(humano)
Polietileno,
Nylon
Madera
(laminada)
Madera (según
la fibra)
Hueso (fresco)
Hormigón /
Concreto
Aleaciones de
Mg
E[1]
[2]
[ MPa ]
7
24
600
1400
7000
14 000
21000
27 000
Algunos valores de E (internet)
Material
E[1] [2] [ MPa ]
50 000
Granito
vidrio
70 000
Aleaciones de
70 000
Al
Latón
105 000
110 000
Bronce
Hierro colado
< 175 000
190 000
Hierro forjado
Acero
210 000
Zafiro
420 000
42 000
Luis Ortuño
ELASTICIDAD
3.- Tensión, deformación y … coeficiente de Poisson
Si se aplica
li a una probeta
b t d
de un d
determinado
t
i d
material elástico un incremento de tensiones en
una dirección, por la ley de Hooke se tendrá un
incremento de deformación en la misma
dirección, de valor:
δε v =
δε v =
δσ v
∆L
L
E
Ahora bien, también se observa que, en general, los incrementos
de tensión en una
dirección producen deformaciones en perpendicular a dicha dirección.
δ h = −νδε
δε
δ v =−
ν
E
δ v
δσ
Donde ν se denomina
coeficiente de Poisson
Luis Ortuño
ELASTICIDAD
Tensión, deformación y … coeficiente de Poisson
El efecto Poisson es de sobra conocido (y cumple una función fundamental en muchos
materiales y estructuras).
En palabras simples, es el efecto por el cuál , en general un cuerpo “adelgaza cuando
es estirado” o “engorda al ser comprimido”.
δε v =
δσ v
E
δε h = −
ν
E
δσ v
Luis Ortuño
ELASTICIDAD
Algunos valores del coeficiente de
Poisson.
Se pueden observar aspectos curiosos:
‰El corcho tiene ν =0
0 (bueno para
estar abriendo y cerrando botellas)
‰ A la arcilla saturada
saturada, Wikipedia le
asigna ν = 0,5. Esto, para un material
elástico, equivale a decir que no
cambia
bi d
de volumen
l
((ver más
á adelante)
d l t )
‰ Hay materiales con coeficiente de
Poisson negativo. Se llaman
“auxéticos” y pueden ser muy útiles
material
foam
glass
concrete
sand
cast iron
steel
stainless steel
clay
copper
aluminium-alloy
titanium
magnesium
saturated clay
gold
auxetics
cork
rubber
poisson's ratio
0.10 to 0.40
0.18-0.3
0.20
0.20-0.45
0.21-0.26
0.27-0.30
0.30-0.31
0.30-0.45
0.33
0.33
0.34
0.35
0.40-0.50
0.42
negative
~ 0.00
~ 0.50
Fuente: Wikipedia
Luis Ortuño
ELASTICIDAD
Materiales “auxéticos” (figuras tomadas de internet) “engordan al
estirarse”
Luis Ortuño
ELASTICIDAD
4.- Tensiones normales. Ley de Hooke generalizada.
Para un material isótropo, suponiendo un incremento general de
tensiones normales en tres planos perpendiculares (y aplicando
el concepto de la ley de Hooke y el efecto Poisson, se tiene:
∆ v
∆σ
δε x =
δ 'x
δσ
ν'
(δσ ' y +δσ ' z )
E'
ν'
δε y =
− (δσ ' x +δσ ' z )
E'
E'
δ 'z ν '
δσ
− (δσ ' y +δσ ' x )
δε z =
E'
E'
∆σv
E'
δ 'y
δσ
−
OBSERVACIONES:
‰ Como tratamos de suelos, empleamos tensiones efectivas (también le podemos
poner un apóstrofe a E y a ν, para indicar que se trata de los parámetros de tensiones
efectivas).
‰ En suelos y en rocas, las compresiones son positivas.
‰ Obsérvese que en un material elástico las deformaciones normales sólo dependen
Luis Ortuño
de la tensiones normales.
ELASTICIDAD
Tensiones normales. Ley de Hooke generalizada.
δ x=
δε
δσ ' x
E'
δσ ' y
−
ν'
(δσ
δ ' y +δσ
δ 'z )
E'
ν'
δε y =
− (δσ ' x +δσ ' z )
E'
E'
δσ ' z ν '
δε z =
− (δσ ' y +δσ ' x )
E'
E'
La deformación volumétrica será:
∆V
= δv = δε x + δε y + δε z
V
1 − 2ν '
[δσ ' x +δσ ' y +δσ ' z ]
δv =
E'
Teniendo en cuenta que la presión efectiva media (o la
presión octaédrica… ) es:
Resulta:
δv =
δp' =
δσ ' x +δσ ' y +δσ ' z
3
3(1 − 2ν ' )
δp'
E'
Luis Ortuño
ELASTICIDAD
OBSERVACIONES:
∆V
3(1 − 2ν ' )
= δv =
δp'
V0
E'
δp' =
δσ ' x +δσ ' y +δσ ' z
3
‰ Un “suelo” elástico cualquiera
q
tendrá en g
general un módulo E’ y un coeficiente de
Poisson ν’. Ahora bien, si durante un proceso de carga no hay cambio de volumen,
tampoco habrá cambios en la tensión efectiva media.
‰ Lo anterior es consecuencia de asumir que el suelo es elástico.
∆V
= 0 ⇒ δp' = 0
V0
Luis Ortuño
ELASTICIDAD
Tensiones tangenciales
δγ máx = δε1 − δε 3
δ máx = δε
δγ
δ 1 − δε
δ 3=
δ '1
δσ
ν'
(δσ '2 +δσ '3 )
E'
E'
δσ '3 ν '
δε 3 =
− (δσ '1 +δσ '2 )
E'
E'
δε1 =
−
1 +ν '
1 +ν '
[δσ
δ '1 −δσ
δ '3 ] =
2δτ
δ máx
E'
E'
δγ máx =
2(1 + ν ' )
δ
δτ
δτ máx = máx
E'
G
Luis Ortuño
ELASTICIDAD
Tensiones tangenciales
δγ máx =
2(1 + ν ' )
δτ
δτ máx = máx
E'
G
G=
δτ máx = G δγ máx
E'
2(1 + ν ' )
OBSERVACIONES:
‰ G es el módulo de rigidez transversal o de corte.
‰ Las deformaciones tangenciales dependen de los incrementos de tensiones
tangenciales.
‰ Un incremento de tensión tangencial no produce cambio de volumen.
Luis Ortuño
ELASTICIDAD
Condiciones edométricas o de deformación lateral nula en un suelo
elástico e isótropo.
Tomando la vertical como dirección de ∆σ’1 y de ∆ε1 :
‰ En condiciones edométricas o unidimensionales resulta:
∆ε2= ∆ε3=0, ∆σ’2 =∆σ’3
∆σ ' 3 ν '
− ( ∆σ '3 + ∆σ '1 ) = 0
E'
E'
∆σ ' 3
ν'
(1 − ν ' ) = ∆σ '1
E'
E'
∆ε 3 =
⎫
⎪⎪
ν'
∆
σ
'
∆σ '1
=
⎬
3
1
−
ν
'
⎪
⎪⎭
Luis Ortuño
ELASTICIDAD
Condiciones edométricas o de deformación lateral nula en un suelo
elástico e isótropo.
‰ En definitiva, suponiendo que la presión vertical efectiva
es la principal mayor
mayor, y la horizontal la principal menor (suelo
normalmente consolidado o ligeramente sobreconsolidado),
el hacer la hipótesis de que el suelo es elástico
obligatoriamente implica que el coeficiente de empuje al
reposo es:
∆σ 'H =
ν'
ν'
∆σ 'V ⇒ K0 =
1 −ν '
1 −ν '
Luis Ortuño
ELASTICIDAD
Módulo de compresibilidad volumétrica (mv) y módulo edométrico Em en
un suelo elástico e isótropo.
Recordando definiciones y resultados previos:
Em =
∆σ '1
∆ε 1
mv =
∆ε 1
∆σ '1
∆σ ' 2 = ∆σ ' 3 =
⎫
∆σ '1 ν '
∆ε1 =
− ( ∆σ '3 + ∆σ '3 ) ⎪
E'
E'
⎪
∆σ '1 ν ' ⎡ ν '
⎤ ⎪⎪
∆ε1 =
− ⎢2
∆σ '1 ⎥ ⎬
E
E' ⎣ 1 −ν '
⎦⎪
⎪
∆σ '1 ⎡
2ν '2 ⎤
∆ε1 =
1−
⎪
E ' ⎣⎢ 1 − ν ' ⎥⎦
⎪⎭
ν'
∆σ '1
1 −ν '
∆ε1
1 ⎡
2ν '2 ⎤
mv =
=
1−
∆σ '1 E ' ⎢⎣ 1 − ν ' ⎥⎦
Em =
∆σ '1
⎡ 1 −ν ' ⎤
= E' ⎢
2
∆ε1
⎣1 − ν '−2ν ' ⎥⎦
Luis Ortuño
ELASTICIDAD
Módulo de deformación E’ y coeficiente de Poisson ν’ deducidos de un
triaxial con drenaje (CD) para un suelo elástico
En un triaxial CD, durante la aplicación del desviador se
mide la deformación vertical (∆ε1) y la volumétrica (∆V/V0).
Además, en la fase de rotura se mantiene la presión
efectiva de cámara constante:
∆σ '1 > 0
∆ σ ' 2 = ∆σ ' 3 = 0
∆σ '1 ν '
⎫
− ( ∆σ ' 2 + ∆ σ ' 3 ) ⎪
∆σ '1
⎪
E'
E'
⎬E ' =
∆σ '1
∆ε 1
⎪
∆ε 1 =
⎪⎭
E'
∆ε 1 =
Luis Ortuño
ELASTICIDAD
Módulo de deformación E’ y coeficiente de Poisson ν’ deducidos de un
triaxial con drenaje (CD) para un suelo elástico
⎫
⎪
⎪
⎪
∆σ '1 ν '
∆σ '1
∆ε 1 =
− [∆σ '2 + ∆σ '3 ] =
⎪
E'
E'
E'
⎪ ∆V
∆σ '3 ν '
ν'
V0
⎪
∆ε 2 = ∆ε 3 =
− [∆σ '1 + ∆σ '3 ] = − ∆σ '1 ⎬
= 1 − 2ν '
E'
E'
E'
∆
ε
1
⎪
∆V ∆σ '1
⎪
=
(1 − 2ν ' )
⎪
V0
E'
⎪
∆V
⎪
= ∆ε1 (1 − 2ν ' )
⎪
V0
⎭
∆V
∆V
= ∆ε1 + ∆ε 2 + ∆ε 3
V0
Luis Ortuño
ELASTICIDAD
Módulo de deformación Eu y coeficiente de Poisson νu deducidos de un
triaxial sin drenaje para un suelo elástico
‰ En un triaxial sin drenaje, durante la aplicación del
desviador se mide (∆ε1) y (∆u). De la curva (∆σ1 , ∆ε1 ) se
puede
d deducir
d d i un “módulo
“ ód l de
d d
deformación
f
ió sin
i d
drenaje”
j ” Eu.
(Ojo, que está definido en tensiones totales y no es E’)
Eu =
∆σ 1
∆ε 1
‰Por otra parte, si la saturación es completa, en un ensayo
sin drenaje no hay cambio de volumen, y por lo tanto el
coeficiente de Poisson en tensiones totales asociado a
procesos sin drenaje, νu , será (Ojo, que no es ν’):
∆V 3(1 − 2ν u )
=
δp = 0 ⇒
V0
Eu
νu =
1
2
Luis Ortuño
ELASTICIDAD
Relación entre módulos E y ν, con y sin drenaje en suelo elástico e
isótropo
Como el agua no soporta tensiones tangenciales, el módulo de corte del terreno ha de
ser igual en condiciones con o sin drenaje:
G' =
1
E'
Eu
= Gu =
; con ν u =
2(1 + ν ' )
2(1 + ν u )
2
Eu = E '
2(1 + ν u )
2(1 + ν ' )
Eu =
3
E'
2(1 + ν ' )
De nuevo, el resultado anterior es consecuencia directa de suponer el suelo elástico e
isótropo
Luis Ortuño
ELASTICIDAD
Parámetros de presión intersticial en suelo elástico e isótropo
∆u = B[∆σ 3 + A( ∆σ 1 − ∆σ 3 )]
B=1 si saturación completa y fluido incompresible:
δv = 0 ⇒ ∆p' = 0 ⇒
∆u = ∆σ 3 + A( ∆σ 1 − ∆σ 3 )
( ∆σ 1 − ∆u ) + ( ∆σ 2 − ∆u ) + ( ∆σ 3 − ∆u )
∆σ '1 + ∆σ '2 + ∆σ '3
=0⇒
= ∆p − ∆u = 0
3
3
∆p = ∆u
Triaxial (∆σ2= ∆σ3):
∆u =
( ∆σ 1 + 2 ∆σ 3 )
1
= ∆σ 3 + ( ∆σ 1 − ∆σ 3 ) ⇒
3
3
A=
1
3
Luis Ortuño
ELASTICIDAD
Los tejidos, los vestidos ceñidos y…. una ingeniosísima introducción del Prof.
Gordon (1987) a la anisotropía:
anisotropía El corte al bies, inventado por Madeleine Vionnet)
Trama y urdimbre en vertical y horizontal.
poco extensibles bajo
j p
peso del tejido:
j
Hilos p
E elevado.
Poco contracción lateral: ν pequeño
Se necesitan lazos para ceñir la ropa
Trama y urdimbre a 45º.
Extensión mayor bajo peso propio tejido: E
pequeño
Gran contracción lateral: ν grande
La ropa se ciñe sola y no hacen falta lazos
Tomada de Gordon, J.E. , 1987
Luis Ortuño
BIBLIOGRAFÍA
‰ González de Vallejo, L., Ferrer, M., Ortuño, L. & Oteo, C. (2002): “Ingeniería
Geológica”. Prentice Hall. Madrid.
‰ Gordon, J.E. (1987). “Structures or why things don’t fall down”. Pelican Books.
Penguin.
) Geotecnia y Cimientos II. Editorial Rueda. Madrid.
‰ Jiménez Salas, J.A. et al. ((1976):
Luis Ortuño