examen de sistemas de ecuaciones lineales

EXAMEN DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
Se recomienda:
a) Antes de hacer algo, leer todo el examen.
b) Resolver antes las preguntas que se te den mejor.
c) Responde a cada parte del examen en una hoja distinta.
d) Es una hoja de examen por las dos caras sobre la que no se escribe nada.
1 Siendo a un número real cualquiera, se define el sistema siguiente:
x
2y
az
1
y
z
0
ax
z
a
1.1. Discútase dicho sistema en función del valor de a.
1.2. Resúelvase dicho sistema en función de los valores de a.
(3 P)
2 Una empresa desea disponer de dinero en efectivo en euros, dólares y libras esterlinas. El valor
total entre las tres monedas ha de ser igual a 264000euros. Se quiere que el valor del dinero
disponible en euros sea el doble del valor del dinero en dólares, y que el valor del dinero en libras
esterlinas sea la décima parte del dinero en euros.
(2.5 P)
Si se supone que una libra esterlina es igual a 1,5 euros y un dólar es igual a 1,1 euros, se pide
determinar la cantidad de euros, dólares y libras esterlinas que la empresa ha de tener disponible.
3 Estudia y resuelve por el método de Gauss el siguiente sistema de ecuaciones lineales:
x
y
3z
14t
0
2x
2y
3z
t
0
3x
3y
5z
6t
0
(2 P)
4 Resuelve e interpreta geométricamente el siguiente sistema de ecuaciones lineales:
x
2y
5
3x
y
1
2x
4y
0
(2.5 P)
FJSP CURSO 12/13 BHCS2 EXAMEN DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
1
SOLUCIÓN
x
2y
1
az
1
y
z
0
ax
z
a
1.1. Discútase dicho sistema en función del valor de a.
Tenemos las matrices de los coeficientes y ampliada siguientes:
A
1
2
a
0
1
1
a
0
1
A
1
2
a 1
0
1
1
0
a
0
1
a
Hemos de estudiar sus rangos, por lo que buscamos menores no nulos.
1
2
0
1
1
2
a
0
1
1
a
0
1
1
0
rg A
2
aplicando la regla de Sarrús
a2
2a
1
a 2 2a 1
0
a 1 2 0
a 1 0
a 1
Hacemos a 2 2a 1 0
Luego tenemos que_
1.1.1 si a 1
rg A
3 rg A
número de incógnitas, entonces por el Teorema de
Rouche-Frobenius, el sistema es compatible determinado
0.75 P
1.1.2 si a 1
rg A
2
La matriz ampliada A
1
2
1 1
0
1
1
0
1
0
1
1
Se ve que la última fila es combinación lineal de las otras dos:
1 2
2
1 1
0
1 1 0
1 0 1 1
Entonces rg A
2
Finalmente rg A
2 rg A
número de incógnitas, entonces por el Teorema de Rouche-Frobenius, el
sistema es compatible indeterminado
0.75 P
1.2. Resúelvase dicho sistema en función de los valores de a.
1.2.1 si a 1
Estamos en condiciones de aplicar directamente la regla de Cramer:
x
y
1
2
a
0
1
1
a
0
1
2
a 2a 1
1 1 a
0 0
1
a a
1
a2
2a
1
a2
a2
a2
2a
2a
0
2a
1
1
1
1
0 tenemos dos columnas iguales
FJSP CURSO 12/13 BHCS2 EXAMEN DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
2
1
2
1
0
1 0
a
0
a
0
a 2 2a 1
a 2 2a 1
La solución del sistema es 1, 0, 0
1.1.2 si a 1
0 tenemos dos columnas iguales
z
x
Nos quedamos con el sistema
x
2z
z
y
z
1
0.75 P
2y
z
y
x
z
y
z
1
x
2y
0
z
y
1
x
z
2y
z
y
z
1
1
z
x
La solución del sistema es
1
0.75 P
R que es una recta del espacio
y
z
(# 3 P)
euros
x
2 Llamamos
dólares
y
libras
z
x
1. 1y
x
Tenemos el siguiente sistemas de ecuaciones lineales
x
1. 1y
1. 5z
x
264000
x
2. 2y
1. 5z
0. 1x
1. 1y
1. 5z
264000
x
2. 2y
0
0. 1x
1. 5z
0
1. 5z
264000
2 1. 1 y
x
1. 5z
10
10x
11y
15z
2640000
10x
22y
0
x
15z
0
1P
Tenemos las siguientes matrices de coeficientes y ampliada:
A
10
11
15
10
22
0
1
0
15
A
10
11
15 2640000
10
22
0
0
1
0
15
0
Hemos de ver si podemos aplicar la regla de Cramer:
x
x
10
11
15
10
22
0
1
0
15
5280
2640000
11
15
0
22
0
0
0
15
5280
10 2640000 15
10
0
0
1
0
15
5280
0
si podemos, por lo que la solución vendrá dada por:
165 000
75 000
FJSP CURSO 12/13 BHCS2 EXAMEN DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
3
10
11
2640000
10
22
0
1
0
0
x
1.25 P
11 000
5280
165 000 euros
La solución es
0.25 P
75 000 dólares
(# 2.5
P)
11 000 libras
x
3
y
3z
14t
0
2x
2y
3z
t
0
3x
3y
5z
6t
0
Consideramos la matriz de los coeficientes
1
1 3
14 0
2
2 3
1
0
3
3 5
6
0
A la segunda fila le quitamos el doble de la primera.
2
2
2 3 1 0
1
1 3
14 0
0 0
3 29 0
A la tercera fila le quitamos el triple de la primera.
3
3
3 5 6 0
1
1
1
3
14 0
0
0
3
29
0
0
0
1
12
0
1 3
14 0
0 0
4
4 48 0
0 0
1 12 0
Permutamos las filas segunda y tercera.
A la tercera fila le quitamos el triple de la segunda
0 0
3
3 29 0
1
1
3
14 0
0
0
1
12
0
0
0
0
1
0
0 0
1 12 0
0 0 0
7
7 0
0 0 0 1 0
A la segunda fila le quitamos doce veces la tercera.
0 0
12
1 12 0
1
1
3
14 0
0
0
1
0
0
0
0
0
1
0
x
Asociada al sistema
0 0 0 1 0
y
3z
14t
z
0
t
0 0
0
1 0 0
x
0
y
0
x
y
z
0
z
0
t
0
t
0
Se trata de un sistema compatible indeterminado cuyas infinitas soluciones vienen dadas por:
x
y
R
z
0
t
0
que se trata de una recta de R 4
2P
FJSP CURSO 12/13 BHCS2 EXAMEN DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
4
4
x
2y
5
3x
y
1
2x
4y
0
Tenemos las matrices de los coeficientes y ampliada siguientes:
A
1
2
3
1
2
4
Se tiene que
Se tiene que
A
1
2
3
1
1
2
3
1 1
2
4
7
1
2
3
1 1
2
4
0
5
0
rg A
2
5
70
0
rg A
3
0
1P
Por el Teorema de Rouche-Frobenius se trata de un sistema incompatible.
Por otro lado, se cumple que:
3
1
14 0 las rectas asociadas a este menor son secantes, pues los coeficientes de las
2 4
incógnitas no son proporcionales.
1 2
0 mientras que el término independiente no es proporcional 5, 0
2 4
de dos rectas paralelas
1
entonces se trata
2
7 0 las rectas asociadas a este menor son secantes, pues los coeficientes de
3 1
las incógnitas no son proporcionales.
1.5 P(# 2.5 P)
Es decir, tenemos dos rectas paralelas con una secante común.
y
10
8
6
4
2
-10
-8
-6
-4
-2
2
-2
4
6
8
10
x
-4
-6
-8
-10
FJSP CURSO 12/13 BHCS2 EXAMEN DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
5