Riesgo moral con varios agentes Problema principal

Apuntes Microeconomía I: Aplicaciones riesgo moral
Profesora: Esther Hauk
Riesgo moral con varios agentes
• El principal contrata a dos agentes para
hacer dos tareas distintas. Pero el esfuerzo
de agente 1 puede afectar el resultado de la
tarea 2 y viceversa.
x1 = e1 + ε 1
x2 = e2 + ε 2
 0  σ
σ 12  
ε 1 
  ≈ N    ,  11
 
0
σ
σ
ε 2 



21
22


• Contratos lineales
A + B1 X 1 + B 2 X 2
– agente 1
– agente 2
C + D1 X 1 + D2 X 2
C i ( e i ) ==
Coste esfuerzo:
1 2
e
2 i
i == 1 , 2
los agentes tienen preferencias media-varianza:
(ρ aversión al riesgo)
EU A == E ( w ) −−
1
ρρ VAR ( w ) −− v ( e )
2
Problema del agente 1
(
)
1
1
Max A + B 1e1 + B 2 e2 − ρ B12σ11 + B22σ22 + 2 B1 B 2σ12 − e12
e1
2
2
Resultado:
e1* = B1
Analogamente:
e*2 = D2
para el agente 2
Problema principal
Max
A , B1 , B2 , C , D1 , D2
t.q.
( e1 − A − B1e1 − B 2 e2 + e 2 − C − D1e1 − D2 e2 )
(
)
(
)
1
1
A + B1 e1 + B 2 e2 − ρ B12 σ11 + B 22σ22 + 2 B1 B 2σ12 − e12 ≥ U
2
2
1
1
2
2
C + D1e1 + D2 e2 − ρ D1 σ11 + D2 σ22 + 2 D1 D2 σ12 − e 22 ≥ U
2
2
B1 = e1
D2 = e 2
Problema principal
Max
A , B 1 , B 2 , C , D1 , D2
(B
1
)
− A − B12 − B 2 D2 + D2 − C − D1 B1 − D22
(
)
(
)
1
1
ρ B12σ11 + B 22σ22 + 2 B 1 B2σ12 − B12 ≥ U
2
2
1
1
2
2
2
C + D1 B1 + D2 − ρ D1 σ11 + D2 σ22 + 2 D1 D2σ12 − D22 ≥ U
2
2
A + B 12 + B2 D2 −
t.q.
CPO:
∂∂ L
== 0 ⇒
⇒ λλ 1 == 1
∂∂ A
∂∂ L
== 0 ⇒
⇒ λλ 2 == 1
∂∂ C
Utilizando estos resultados derivamos los otros CPO:
Los otros CPO
∂L
C1:
= 0 = 1 − 2 B1 − D1 + 2 B 1 − ρ( B1σ11 + B 2σ12 ) − B 1 + D1
∂B1
∂L
σ
C2 :
= 0 = − D 2 + D 2 − ρ( B 2σ22 + B 1σ12 ) ⇒ B 2 = − 12 B 1
∂B 2
σ22
C3 :
∂L
σ
= 0 = − B 1 + B 1 − ρ( D1σ11 + D2 σ12 ) ⇒ D1 = − 12 D2
∂D 1
σ11
C4 :
∂L
= 0 = − B 2 + 1 − 2 D2 + B 2 + 2 D 2 − ρ( D 2σ22 + D1σ12 ) − D 2
∂D 2
Utilizando C2 y C3 en C1 y C4:
B
D
1
2
==
==
1

1 ++ ρρ  σσ

11
−−
σσ
σσ
2
12
22



1

1 ++ ρρ  σσ

22
−−
σσ
σσ
2
12
11



Comentarios
• Con una correlación positiva (negativa) si i
lo hace bien j cobra menos (más) porque un
buen resultado significa menos (más)
• comparado con el caso de un solo agente,
puedo conseguir el mismo e con menos
varianza => esfuerzo mayor ahora
Var( w 1 ) = B12σ11 + B12
2

σ122
σ2 
2 σ12
= B12  σ11 − 12 
2 σ22 − 2 B1
σ22
σ22
σ22 

• los esfuerzos están más cerca del óptimo
(con información simétrica)
Reforma del seguro del desempleo
Riesgo moral: Seguro de desempleo
• Justificación de las políticas de seguro de
desempleo:
– perturbaciones económicas tienen efectos significativos
sobre la productividad de las empresas
– cambios de productividad afectan a las decisiones de
las empresas relativas al paro
– para el trabajador estas perturbaciones se traducen en
incertidumbre respecto a la situación laboral
(probabilidad de perder trabajo). Si los trabajadores son
aversos al riesgo existen ganancias potenciales
importantes en el bienestar si se comparte el riesgo
• pero: adversos efectos sobre los incentivos de
buscar trabajo
Hopenhayn & Nicolini
• analizan para España una reforma del sistema de
desempleo en la cual varían tanto el beneficio de
desempleo como la cotización a la seguridad social
• demuestran que en el contrato óptimo el beneficio de
desempleo disminuye cuando más tiempo está
desempleado un trabajador y la cotización a la seguridad
social aumenta
• una análisis de los datos demuestra que en el caso español
– las tasas de salida mensual de desempleo oscilan entre un 8% y un
19% para los distintos trabajadores y que para estos oscilaciones
el contrato óptimo es muy similar
– el ahorro puede ser muy elevado oscilando entre un 20% y un 30%
del presupuesto actual
– el sistema actual proporciona demasiado cobertura: con la reforma
las tasas de salida del desempleo aumentarían sustancialmente
(reducción del desempleo)
Compensación por desempleo
•
•
•
•
Riesgo moral repetido (modelo de 2 períodos)
principal neutral al riesgo
agente averso al riesgo: U’>0, U’’<0
instrumentos de política económica del gobierno:
– compensación por desempleo d i i=1,2(puede variar
con el período)
– cotización a la seguridad social
•
•
t1 en 1,2 si empleado en 1
t 2 en 2 si empleado en 2
• si se encuentra empleo en 1 no se pierde en 2
Desarrollo temporal
esfuerzo Empleo
o no
pagos
esfuerzo si Empleo
desempleado o no
período 1
pagos
período 2
El agente decide si esforzarse (coste=c) o no (coste =0) en la
busqueda de trabajo. Probabilidad de encontrar empleo si se
esfuerza pi es más grande si no se esfuerza qi
supongamos que el salario w no varia en los períodos y que no
hay descuento
Formulación matemática:
max p1(t1 + t1) +(1− p1) p2(t2 −d1) +(1 − p1)(1− p2)(−d1 − d2)
t1,t2,d1,d2
t.q. p1( u(w− t1) +u(w−t1) −c) +(1 − p1) p2(u(d1) +u(w− t2 ) −2c)
+(1 − p1)(1− p2 )(u(d1 ) +u(d2 ) −2c) ≥ U
C1
(µ1) p1(u(w−t1) + u(w− t1) −c) +(1 − p1) p2( u(d1) + u(w− t2) −2c)
+ (1− p1)(1 − p2)( u(d1) + u(d2) − 2c) ≥
q1(u(w−t1) + u(w− t1)) +(1 −q1) p2(u(d1 ) + u( w−t2 ) − c)
C2
+(1 −q1)(1− p2)(u( d1) + u(d2) − c)
C3 (µ2)
p2u(w−t2) +(1 − p2)u(d2 ) −c ≥ q2u(w− t2) +(1−q2)u(d2 )
Cotizaciones y compensaciones óptimas
• el subsidio en el segundo período cubre poco
sueldo.Podemos reformular C3 cómo
( p 2 − q 2 )( u( w − t 2 ) − u( d 2 ) ) ≥ c
⇒ w − t 2 > d2
• el subsidio decrece del período 1 al período 2
∂L
= − ((1− p1 ) p2 + (1 − p1 )(1− p2 ) ) + λ (1 − p1) u' (d1 ) + µ1 (q1 − p1 )u' ( d1) = 0
∂d1
∂L
= −((1 − p1)(1 − p2 ) ) + λ (1 − p1 )(1 − p2 )u '( d 2 ) + µ1 ( q1 − p1)(1 − p 2 )u' ( d2 )
∂d 2
+ µ2 (q 2 − p2 )u '( d 2 ) = 0
1
(q − p1)
= λ + µ1 1
u' ( d1)
(1 − p1 )
1
(q 1 − p1)
(q 2 − p2 )
= λ + µ1
+ µ2
u' ( d2 )
(1 − p1 )
(1 − p1 )(1 − p2 )
1
1
⇒
>
⇔
d1 > d 2
u' ( d1) u '( d 2 )
Cotizaciones y compensaciones óptimas
• La cotización en el período 1 es menos grande en el
período 2 si no es costoso dar incentivos en 2 ( µ2 pequeño)
∂L
= 2 p1 − 2 λ p1 ( u'( w − t1 )) − 2µ1 ( p1 − q1 ) u' ( w − t1 ) = 0
∂t1
∂L
= (1 − p1 ) p2 − λ(1 − p1 ) p2 u' ( w − t 2 ) − µ1 p 2 (q1 − p1 )u'( w − t 2 )
∂t 2
− µ2 ( p2 − q2 ) u' ( w − t2 ) = 0
1
( p −q )
= λ+ µ1 1 1
u'( w − t1 )
p1
1
(q1 − p1 )
( p 2 − q2 )
= λ + µ1
+ µ2
u'( w − t2 )
(1 − p1 )
( 1 − p1 ) p2
Cotizaciones y compensaciones óptimas
• Mostrar cuando w − t 1 ≥ d 1
C2 podemos escribir cómo
( p1 − q1) (u (w − t1 ) +u (w − t1 ) ) + p2 (q1 − p1 )(u( d1) + u( w −t2 ) − c)
+ (1− p2 )(q1 − p1 )(u( d1 ) + u(d 2 ) − c) ≥ c
⇔
( p1 − q1) (u (w − t1 ) −u (d1) ) + ( p1 − q1)(u( w − t1 ) − ( p2u( w − t2 ) + (1− p2 )u( d2 ) − c) ≥ c
14444444
4244444444
3
B
si B es pequeño tenemos que w − t 1 ≥ d 1
los incentivos del período 2 hacen menos fuertes los del
período 1
Racionamiento de crédito:
Racionamiento en el mercado de crédito
• Si una empresa no puede obtener crédito a pesar
que está dispuesto a pagar el tipo de interés R
vigente está racionado de crédito
• modelo:
–
–
–
–
–
–
un banco y N empresas neutrales al riesgo
dos proyectos de inversión I: a y b
a es más seguro y más rentable en esperanza,
b paga más si es exitoso
interés R pagado únicamente en caso de éxito
el banco tiene dinero L
Racionamiento en el mercado de crédito
p a X a >> p b X b >> I
X b >> X a
U ( R , i ) == p i ( X i −− R )
Π
Π ( R , i ) == p i R −− I
I ≤≤ L << NI
Información simétrica:
• banco exige proyecto a
• U(R,a)=0 no hay racionamiento de crédito
Riesgo moral:
• dado R la empresa elige el proyecto que más le conviene
• empresa elige a si y sólo si R≤ R̂ donde
pa ( X a −− Rˆ ) == pb ( X b −− Rˆ ) ⇔
⇔ Rˆ ==
pa X a −− pb X b
p a −− pb
Racionamiento en el mercado de crédito
Beneficios del banco: ∏(R)=
pa R − I si 0 ≤ R ≤ Rˆ
pb R − I si Rˆ < R ≤ X b
El banco fijará: R = Xb si pa Rˆ < pb Xb ⇒ U = 0
ˆ si pa Rˆ > pb Xb ⇒ U = pa ( Xa − R
ˆ)> 0
R=R
∏
Todos los empresarios piden crédito
hay racionamiento L<NI
pb
pa
Xb
R̂
R