Series numéricas (II)

Series de términos positivos (cont.)
Series alternadas
Reordenación de términos
Producto de series convergentes
Series numéricas (II)
Series de términos positivos (cont.)
Series alternadas
Reordenación de términos
Producto de series convergentes
La serie condensada
Series de términos positivos (cont.)
Series alternadas
Reordenación de términos
1
Series de términos positivos (cont.)
2
Series alternadas
3
Reordenación de términos
4
Producto de series convergentes
Series de términos positivos (cont.)
Series alternadas
Reordenación de términos
Producto de series convergentes
Producto de series convergentes
Criterio de Raabe
Definición
P
Dada una serie de términos positivos,
an , llamaremos serie condensada
asociada a ella a la serie
X n
2 a2n = a1 + 2a2 + 4a4 + 8a8 + 16a16 + · · ·
n≥0
Teorema
P
Sea
an con an > 0 ∀n y tal que {an } es decreciente. Entonces,
X
X n
an converge ⇐⇒
2 a2n converge
n≥1
Ejercicio: Estudiar
X
1
n log(n)
n≥0
Sea
P
an una
serie de
términos positivos y sea
an+1
− 1 . Entonces:
σ = lı́m n
an
P
Si σ < −1 entonces
an converge.
P
Si σ > −1 entonces
an diverge.
P
Si σ = −1 entonces
an puede ser convergente o
divergente.
Ejercicio: Estudiar el carácter de la serie
X 2 · 5 · 8 · · · (3n − 1)
.
3n
Corolario
X 1
n≥1
nα
converge ⇐⇒ α > 1
(Demostrar)
n!
=
2
2·5
2·5·8
+ 2
+ 3
+ ···
3 3 2!
3 3!
Series de términos positivos (cont.)
Series alternadas
Reordenación de términos
Producto de series convergentes
Series de términos positivos (cont.)
Series alternadas
Reordenación de términos
Producto de series convergentes
Criterio integral de Cauchy
Sea {an } decreciente con an > 0, ∀n, y sea f : [1, +∞) −→ R+
decreciente tal que f (n) = an , ∀n. Entonces,
+∞
X
Z
1
Series de términos positivos (cont.)
2
Series alternadas
3
Reordenación de términos
4
Producto de series convergentes
+∞
an converge ⇐⇒
f (s)ds converge
1
n=1
Ejercicio: Estudiar la convergencia de la serie
X
Series de términos positivos (cont.)
Series alternadas
1
.
1 + n2
Reordenación de términos
Producto de series convergentes
Definición
Series de términos positivos (cont.)
Series alternadas
Reordenación de términos
Producto de series convergentes
Criterio de Leibniz
Teorema
Sea una serie alternada, a1 − a2 + a3 − a4 + a5 − a6 + − · · · ,
con cada ai > 0, tal que
Definición
Una serie se dice alternada si es del tipo:
a1 − a2 + a3 − a4 + a5 − a6 + − · · · ,
Ejemplo:
X
n≥1
n−1 1
(−1)
n
con cada ai > 0.
lı́m{an } = 0 y
{an } es decreciente.
Entonces, la serie es convergente.
(Demostrar)
Ejercicio:
Prueba que la serie armónica alternada
P
n−1 1 es convergente.
(−1)
n≥1
n
Series de términos positivos (cont.)
Series alternadas
Reordenación de términos
Producto de series convergentes
Series de términos positivos (cont.)
Series alternadas
Reordenación de términos
Producto de series convergentes
Reordenación de la armónica alternada (Laurent)
La serie armónica alternada se sabe que converge a log(2):
1
Series de términos positivos (cont.)
2
Series alternadas
3
Reordenación de términos
4
Producto de series convergentes
log(2) = 1 −
1
1
1
1
1
1
1
+ − + − + −··· +
−
+ −··· =
2
3
4
5
6
2n + 1
2n + 2
Veamos, por reducción al absurdo, que sus términos no se pueden
reordenar:
Si pudieran reordenarse tendrı́amos que (poniendo un término positivo
seguido de dos negativos):
1
1
1
1
1 1 1 1 1 1 1
−
−
+−−· · · =
= 1− − + − − + − − +−−· · ·+
2 4 3 6 8 5 10 12
2n+1 4n+2 4n+4
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
−
−
−
+−−
= 1−
− +
− +
− +−−· · ·+
−
2
4
3
6
8
5
10
12
2n+1
4n+2
4n+4
1
1
1
1
1
1
1
1
− + − +
−
+ −··· +
−
+ −··· =
2
4
6
8
10
12
4n+2
4n+4
1
1
1
1
1
1
1
1
1
=
1 − + − + − + −··· +
−
+ − · · · = log(2)
2
2
3
4
5
6
2n + 1
2n + 2
2
=
Series de términos positivos (cont.)
Series alternadas
Reordenación de términos
Producto de series convergentes
Series absolutamente convergentes
CONTRADICCIÓN
Series de términos positivos (cont.)
Series alternadas
Reordenación de términos
Producto de series convergentes
Algunas observaciones
Definición
P
Diremos que una serie
an es incondicionalmente convergente si cualquier
serie obtenida tras reordenar sus términos es también convergente y con la
misma suma.
Definición
P
Diremos que
an es absolutamente convergente si la serie de sus
P una serie
módulos,
|an |, es convergente.
Teorema
P
Una serie
an es incondicionalmente convergente si, y sólo si, es
absolutamente convergente.
Ejemplos:
P 1
= 11 + 14 +
n2
P 1
= 11 + 12 +
2n
P −1 n
= 11 −
2
1
9
1 + 1 + ···
+ 16
25
1
4
1 + 1 + · · · = 2 (geométrica de razón K = 1 )
+ 18 + 16
32
2
1
2
1 − 1 + · · · = 2 (geométrica de razón K = −1 )
+ 14 − 18 + 16
32
3
2
P
Si
an es una serie de
Ptérminos
Ppositivos, esto es, an > 0
para todo n, entonces
|an | =
an , por lo que
convergente y absolutamente convergente son
equivalentes.
P
Para series en general, tenemos que si an es
absolutamente convergente entonces es convergente,
pues an ≤ |an | para todo n y aplicamos el primer criterio de
comparación.
El recı́proco no es cierto, pues la serie armónica alternada
es convergente pero no es absolutamente convergente
Series de términos positivos (cont.)
Series alternadas
Reordenación de términos
Producto de series convergentes
Series de términos positivos (cont.)
Series alternadas
Reordenación de términos
Producto de series convergentes
Producto
1
Series de términos positivos (cont.)
2
Series alternadas
3
Reordenación de términos
4
Producto de series convergentes
P
P
Sean
an ,
bn dos series convergentesPcon sumas A, B respectivamente.
Queremos construir una serie, digamaos
cn , que represente al producto
de ambas.
b0
b1
b2
...
bn
...
a0 a0 b0 a0 b1 a0 b2 . . .
a0 bn . . .
a1 a1 b0 a1 b1 a1 b2 . . .
a1 bn . . .
a2 a2 b0 a2 b1 a2 b2 . . .
a2 bn . . .
..
..
..
..
..
..
.
.
.
.
.
.
...
an an b0 an b1 an b2 . . .
an bn . . .
..
..
..
..
..
..
..
.
.
.
.
.
.
.
c0 = a0 b0
c1 = a0 b1 + a1 b0
c2 = a0 b2 + a1 b1 + a2 b0
c3 = a0 b2 + a1 b2 + a2 b1 + a3 b0
···
cn = a0 bn + a1 bn−1 + a2 bn−2 + a3 bn−3 + · · · + an−1 b1 + an b0
···
Series de términos positivos (cont.)
Series alternadas
Reordenación de términos
Producto de series convergentes
Definición
Dadas dos series
X
n≥0
an ,
X
bn , llamaremos Serie Producto (de
n≥0
Cauchy) de ambas a la serie
X
cn , con
n≥0
cn = a0 bn + a1 bn−1 + a2 bn−2 + a3 bn−3 + · · · + an−1 b1 + an b0 ∀n.
Si las series empiezan en n = 1, entonces
cn = a1 bn + a2 bn−1 + a3 bn−2 + · · · + an−1 b2 + an b1 .
Teorema de Mertens
P
P
Si
an ,
bn son series convergentes con sumas A, B,
respectivamente, y al menos una de ellas es absolutamente
convergente, entonces la serie producto de Cauchy de ambas
es convergente y suma AB.