Ejercicios Resueltos de Cálculo III.

Ejercicios Resueltos de Cálculo III.
1.- Considere
y
.
a) Demuestre que las rectas dadas se cortan. Encuentre el punto de intersección.
Solución:
b) Encuentre una ecuación del plano que contiene a esas rectas.
Solución:
Como las rectas de cortan resulta que determinan un plano. Consideremos el punto de
intersección que pertenecerá al plano buscado. Necesitamos el vector normal al plano.
Lo podemos hallar con:
2.- Demuestre, usando el producto triple escalar, que los cuatro puntos
, son coplanarios.
Solución:
3.- Demuestre que la distancia entre planos paralelos
y
viene dada por la fórmula:
Solución:
La distancia entre ambos planos
4.- Considere el plano
y
vendrá dada por la distancia de
dado por
. Determine el valor de
y la recta
tal que el plano
y la recta
a
, donde:
de ecuación
sean paralelas.
Solución:
5.- Determine un punto que equidista (es decir, que se encuentra a la misma distancia) del
plano
y el punto
.
Solución:
6.- Calcule el volumen de la región limitada por el cono
.
y el paraboloide
Solución:
7.- Determine el valor de
, si
y
.
Solución:
8.-Obtenga el trabajo realizado por la fuerza
partícula desde el punto
Solución:
al
a lo largo de la curva
, para mover una
.
9.- Calcule la integral de línea
, siendo
región rectangular cerrada, con vértices en los puntos
el contorno de la
y
.
Solución:
10.- Demuestre que:
Solución:
11.- Encuentre un vector perpendicular al plano determinado por
. Encuentre el área del triangulo
.
Solución:
y
12.- Considere los planos
ecuaciones paramétricas, si existen, para la intersección.
. Encuentre las
Solución:
13.- Sean
y
, las ecuaciones de una recta y un
plano respectivamente.
a) Encontrar
Solución:
b) Determinar la ecuación de la recta contenida en π, que pasa por
perpendicular a .
Solución:
14.- Encontrar
Solución:
sabiendo que:
y
.
, y es
15.- Dados los planos
Encuentre la ecuación
vectorial de la recta determinada por la intersección de los planos
y
Solución:
16.- Dada la curva
y el punto
. Hallar la ecuación de la
recta tangente en dicho punto.
Solución:
17.- Dados los vectores
paralelepípedo con lados adyacentes
Solución:
. Encuentre el volumen del
.
18.- Si los vectores
modo que
y
forman entre si un ángulo de
grados y
. Calcule
de
sea perpendicular a .
Solución:
19.- Calcular la distancia entre los dos planos:
Solución:
Los planos son paralelos. Ahora bien, la distancia entre los dos planos paralelos será la
distancia de un punto de uno de los planos al otro plano . Elegimos entonces un punto
del plano :
Del plano
sabemos que:
20.- Calcular la distancia entre el punto
y la recta
.
Solución:
21.- Hallar la curvatura de
Solución:
en
e
.
Derivando implícitamente respecta a :
Derivando implícitamente respecto a x de nuevo:
Cuando
e
:
Así, reemplazando en la fórmula:
22.- La masa de un cuerpo laminar se describe por
, donde
se
muestra en la figura:
a) Usando el cambio de variables:
, graficar el dominio del plano
Solución:
Haciendo el cambio de variable, tenemos:
Observe que la transformación
dada es la inversa de
.
b) Aplicando el teorema del cambio de variables, calcular
Solución:
23.- Encontrar el volumen del sólido limitado por:
Solución:
usando las variables
24.- Sea
la trayectoria
. Demuestre que
es independiente de
que pasa por dos puntos dados.
Solución:
25.- Use coordenadas cilíndricas para hallar el volumen de la región encima del plano
.
cilindro
y el
Solución:
26.- El área de una hoja es de
. Se desea escribir un texto, el cuál debe estar centrado
con márgenes de
a ambos lados y
arriba y abajo. Determine cuáles son el largo y
el ancho que maximizan el área del texto.
Solución:
27.- Sea
. Calcule
.
Solución:
28.- Determine el volumen del sólido acotado por las curvas
.
Solución:
,
,
29.- Si
, donde
;y
tiene derivadas parciales continuas de segundo
orden, pruebe que:
Solución:
30.- Calcule el máximo de la función
con el cilindro
del plano
Solución:
sobre la curva de intersección
.
Así,
31.- Cambie el orden de integración y calcule la siguiente integral:
Solución:
32.- Escriba en coordenadas rectangulares, cilíndricas, esféricas la integral:
Solución:
33.- Encuentre el valor de la derivada direccional de la función
punto
en la dirección que va desde hasta el punto
en el
.
Solución:
34.- Si
, determine el valor de la expresión:
Solución:
35.- Calcule el ángulo entre los gradientes de las funciones
en el punto
.
y
Solución:
36.- Determine la ecuación del plano tangente a la superficie
punto
.
Solución:
en el
37.- Encuentre los valores extremos de la función
.
si
está en la elipse
Solución:
38.- Use integrales triples para calcular el volumen del sólido que está dentro del cilindro
y en el elipsoide
.
Solución:
39.- Considere la función
mínimos si es que existen de la función dada.
Solución:
Puntos críticos:
. Determine el o los máximos y
Evaluando:
40.- Verifique el Teorema de Green para
, donde
es la
frontera, tomada con orientación positiva, de la región acotada por las gráficas
.
y
Solución:
41.- La ecuación de estado de un Gas Ideal está dada por
, donde y son
constantes. Considere el volumen como una función de la tempratura y la presión .
a) Calcule
Solución:
b) Demuestre que
Solución:
42.- Sea
cambio de variable
. Calcule la integral usando el
.
Solución:
Así, el cambio de variable transformará la región
dadas en la región del plano
encerrada por
del plano
, encerrada por las rectas
.
43.- Hallar el volumen de la región sólida
formada por la intersección de la esfera
con el cilindro
.
Solución:
44.- Demuestre que:
Solución:
45.- Calcular el área de la superficie dada por:
Solución:
46.- Si
y
entonces:
Solución:
47.- Hallar la máxima distancia al origen de la recta obtenida al interceptar los planos
.
Solución:
48.- Determine el volumen del sólido limitado por las curvas
.
Solución:
49.- Encuentre el volumen de la región limitada por el plano
.
Solución:
50.- Calcular el área comprendida entre las curvas
Solución:
y el paraboloide
51.- Sea
, donde
y
. Determinar
el valor de la integral.
Solución:
52.- Determinar el área de la superficie de la esfera
.
Solución:
interior a
53.- Sea
. Encuentre el plano tangente, si existe, a la
en el punto
superficie
.
Solución:
Como
y
diferenciable en
Luego
es diferenciable en
Así, el plano tangente a
son funciones diferenciables en
y:
en
dirección de la normal exterior a la esfera
Solución:
es
(sus derivadas parciales existen y son continuas).
está dado por:
54.- Encontrar la derivada direccional de la divergencia de
.
, entonces
en el punto
, donde
en la
55.- Permutar el orden de integración de:
Solución:
56.- Sea
un campo escalar y un campo vectorial dado por
. Suponga que existen las derivadas parciales y que éstas son
continuas. Demuestre que:
Solución:
57.- Use coordenadas polares para combinar la suma dentro de una integral doble y
resuelva:
Solución:
58.- Utilice el Teorema de Green para evaluar la integral de línea a lo largo de la curva
orientada de manera positiva:
Donde
con
consiste del segmento de recta que va desde
.
Solución:
Se tiene, usando el Teorema de Green en el plano:
Aquí:
Se tiene:
a
y de la curva
59.- Determine el volumen del sólido que está encima del cono
y debajo de la esfera
.
Solución:
60.- Demuestre que la integral de línea dada es independiente de la trayectoria y evalúe la
integral.
Donde
Solución:
es cualquier trayectoria que va desde –
Es decir, existe
con
hasta
.
. Así, la integral es independiente de la trayectoria se tiene:
Integrando con respecto a se tiene:
Se tiene:
61.- Dadas las funciones
y
. Demostrar que las ecuaciones diferenciales
se pueden escribir en coordenadas polares como:
Solución:
62.- Calcular la derivada direccional de
en el
en la máxima dirección.
Solución:
63.- Una caja rectangular descansa sobre el plano
con un vértice en el origen. Determinar
el volumen máximo de la caja si su vértice opuesto al origen pertenece al plano
.
Solución:
64.- Sea
a) Demuestre que
es un campo conservativo
Solución:
b) Encuentran el potencial escalar
Solución:
c) Calcule
Solución:
donde
está dada por:
65.- Calcule
gráficas de
, donde
y
es la frontera de la región situada entre las
.
Solución:
66.- Un alambre de longitud se divide en dos trozos de modo que con el primer trozo se
construye un cuadro y con el segundo una circunferencia. Determine la longitud de cada
trozo de modo que la suma de las áreas de las figuras geométricas sea mínima.
Solución:
67.- Sea
. Determine el valor de , si existen, de modo que:
Solución:
68.- Utilice el Teorema de Green para calcular la integral
es la frontera de la región situada en el interior del rectángulo limitado por
y en el exterior del cuadrado limitado por
Solución:
, donde
.
69.- Calcular
para
los planos coordenados y el plano
Solución:
,y
.
la región sólida acotada por
70.- Calcular
para
primer octante del plano
Solución:
y
.
la porción del
71.- Dada una curva en el espacio por las ecuaciones paramétricas
hállese la ecuación del plano que pasa por el punto
de la curva y que es
perpendicular a la tangente a la misma en dicho punto.
Solución:
72.- Una placa circular, cuyo contorno es
, se calienta de tal modo que la
es
. Determine los puntos más calientes
temperatura en el punto
y más fríos de la misma y hállese la temperatura en cada uno de ellos.
Solución:
73.- Determine el volumen del sólido cuya base es la región del plano
que limitan la
y la recta
, mientras que su tejado es el plano
.
parábola
Solución:
74.- Al expresar el volumen situado por debajo del plano
plano
se obtuvo la siguiente suma de integrales iteradas:
Dibuje la región y exprese
orden de integración.
en cierta región
del
mediante una integral iterada, en la cual se haya invertido el
Solución:
75.- Calcular
del cono
Solución:
, siendo
encima del plano
y
.
la superficie
76.- Calcular la integral
.
Solución:
, donde
pertenece a
77.- Determinar el exponente constante λ, de modo que:
Sea independiente de la trayectoria, si la función está definida en una región simple
convexa.
Solución:
Para que la integral sea independiente de su trayectoria es necesario que:
78.- Calcular
región
Solución:
, en que
y
.
es la frontera de la
Por teorema de la divergencia:
Pero:
Aplicando coordenadas esféricas:
79.- Sea
en que
Solución:
Por teorema de Stokes:
Pero:
Análogamente:
y
, demuestre que:
80.- Dada la función z = u ( x, y )e ax +by y
∂ 2u
= 0 , halle los valores de la constante a y b,
∂x∂y
∂ 2 z ∂z ∂z
tales que
− −
+ z = 0.
∂x∂y ∂x ∂y
Solución:
∂z
∂u ax +by
e
= a * u ( x, y )e ax +by +
∂x
∂x
∂z
∂u ax +by
e
= b * u ( x, y )e ax +by +
∂y
∂y
∂2z
∂u ax +by ∂ 2 u ax +by
∂u
ax + by
e
= abu ( x, y )e
+b e
+
+ a e ax +by
∂x∂y
∂x
∂x∂y
∂y
Por lo tanto
∂ 2 z ∂z ∂z
+z
− −
∂x∂y ∂x ∂y
∂u
∂u
∂u
∂u
= abue ax +by + b e ax +by + a e ax +by − aue ax +by − e ax +by − bue ax +by − e ax +by + ue ax +by
∂y
∂x
∂y
∂x
= e ax +by (abu + b
∂u
∂u
∂u
∂u
+a
− au −
− bu −
+ u)
∂x
∂y
∂x
∂y

∂u
∂u
= e ax +by (ab − a − b + 1)u + (b − 1)
+ (a − 1)
∂x
∂y

Por lo tanto,
a =1
b =1
ab − a − b + 1 = (1)(1) − (1) − (1) + 1 = 0
]
81.- Determine los valores extremos de la función f ( x, y, z ) = xy + yz + xz sobre la esfera
x 2 + y 2 + z 2 = 3.
Solución:
Sea F = xy + yz + xz + λ ( x 2 + y 2 + z 2 − 3)
(i.)
∂F
= y + z + 2λx = 0
∂x
(ii.)
∂F
= x + z + 2λ y = 0
∂y
(iii.)
∂F
= y + x + 2λ z = 0
∂z
(iv.)
∂F
= x2 + y2 + z2 − 3 = 0
∂λ
De (i.) –(ii.):
y + 2λ x − x − 2λ y = 0
y (1 − 2λ ) − x(1 − 2λ ) = 0; Si 1 − 2λ ≠ 0
x=y
De (i.)-(iii.)
z + 2λx − x − 2λz = 0
z (1 − 2λ ) − x(1 − 2λ ) = 0, Si 1 − 2λ ≠ 0
z=x
Reemplazando en (iv.): x 2 + x 2 + x 2 − 3 = 0
x = ±1
y = ±1
z = ±1
Max: F (±1, ± 1, ± 1) = 3
Min: F (±1, ± 1, ± 1) = −2
82.- Halle el valor de la integral
∫∫∫ x
2
y 2 z dx dy dz con R definido por
R
x + y ≤ 1, 0 ≤ z ≤ 1 .
2
2
Solución:
2 2
∫∫∫ x y zdx dy dz =
R
2∏ 1
=
1
∫ ∫ ∫ρ
θ ρ
5
2∏ 1
1
( ρ cos θ )
∫
∫
∫
θ ρ
2
( ρ senθ ) 2 ( z ) ( ρ dz dρ dθ )
= 0 =1 z = 0
cos 2 θ sen 2θ z dz dρ dθ
= 0 =1 z = 0
2∏
=
1 1
* ∫ cos 2 θ sen 2θ dθ
6 2 θ =0
De senθ cos θ =
sen 2θ
2
Tenemos sen 2θ cos 2 θ =
De sen 2α =
1 − cos 2α
2
Tenemos: sen 2 2θ =
Por lo tanto,
=
1
12
2∏
∫
0
sen 2 2θ
4
1 − cos 4θ
2
sen 2 2θ 1 − cos 4θ
=
= sen 2θ cos 2 θ
4
8
1 − cos 4θ
∏
1
dθ = [2 ∏ ] =
8
96
48
83.- Calcule la integral
 

F
*
n
dS
con
F
= ( x, y,2 z ) y S es la superficie externa del sólido
∫∫
S
acotado por x + y = 1 − z
2
y z = 0.
2
Solución:

∂ ∂ ∂
∇ ⋅ F = ( , , ) ⋅ ( x, y , 2 z ) = 1 + 1 + 2 = 4
∂x ∂y ∂z
∫∫
 

F ⋅ n ds = ∫∫∫ ∇ ⋅ F dv = ∫∫∫ 4 dv
R
S
2∏
=4
R
2
1 1− ρ
∫ ∫ ∫ ρ dz dρ dθ
θ =0 ρ =0 z =0
1
= 4 ⋅ (2 ∏) ∫ ρ (1 − ρ 2 ) dρ
ρ =0
1 1
= 8 ∏ −  = 2 ∏
2 4
84.- Calcule la integral de línea
∫ ye
xy
dx + xe xy dy , donde C es la curva formada por los
C
siguientes segmentos de rectas:
Punto Inicial (2,1) → (1,2) → (−1,2) → (−2,1) → (−2,−1) → (−1,−2) → (1,−2) → (2,−1)
Punto Final
Solución:
Como el campo asociado al diferencial es conservador, ya que
∂
∂
( xe xy ) = e xy + xye xy =
( ye xy ), se tiene que la integral de línea es independiente de la
∂x
∂y
trayectoria, y por lo tanto:
∫ ye
xy
dx + xe xy dy =
∫ ye
xy
dx + xe xy dy
C+
C
1
= − ∫ 2e 2t dt = −e 2 +
−1
1
e2
Donde C* : γ (t ) = (2, t ), − 1 ≤ t ≤ 1
85.- Qué puede decir de
 
xy
xy
ye
dx
+
xe
dy
,
donde
C
*
:
r
(
t
)
=
2
i
+ tj , − 1 ≤ t ≤ 1.
∫
C ∪C *
Solución:
La integral de línea es nula, ya que
∫ ye
xy
dx + xe xy dy
C ∪C *
∂θ
∂P
∫∫ ( ∂x − ∂y )dA
=

Teorema deGreen D
=

0
Campo Conservador
Donde D es la región plana limitada por la curva cerrada C ∪ C * y
P( x, y ) = ye xy , Q( x, y ) = xe xy
86.- Calcular

 



F
⋅
n
ds
donde
y C es la frontera de la parte del
=
+
2
+
3
F
xz
i
xy
j
xy
k
∫
C
plano 3 x + y + z = 3 que está en el primer octante.
Solución:
Por Teorema de Stokes, se tiene que:

 


∂g
∂g

⋅
=
⋅
=
−
−
F
dr
rot
F
n
ds
P
+
Q
R
∫C
∫∫S
∫∫D  ∂x ∂y  dA
Donde S : z = 3 − 3 x − y = g ( x, y ) orientada hacia arriba limitada por la curva C en el primer
octante. D es la proyección de S en el plano xy




rot F = 3
xi + ( x − 3 y ) j + 2
yk


P
Q
R

∴ ∫ F ⋅ dr = ∫∫ (10 x − y ) dA
C
D
1 3−3 x
1
0
0
=∫
∫ (10 x − y)dy dx =∫ (10 xy −
0
1
= ∫ (10 x(3 − 3 x) −
0
y2
)
2
1
(3 − 3 x) 2
(9 − 18 x + 9 x 2 )
)dx = ∫ (30 x − 30 x 2 −
)dx
2
2
0
1
1
1
1
= ∫ (60 x − 60 x 2 − 9 + 18 x − 9 x 2 )dx = ∫ (78 x − 69 x 2 − 9)dx
20
20
=
1 78 x 2 69 x 3
1
(
−
− 9 x) = (39 x 2 − 23x 3 − 9 x)
2 2
3
2
=
1
7
(39 − 23 − 9) =
2
2
87.- Determinar el valor de la integral
cilindro
y los planos
, donde
, arriba del plano
Solución:
88.- Evaluar, usando algún tipo de coordenadas, la integral:
Solución:
es la región limitada por el
.
89.- Dado el campo vectorial
afirmar que
. ¿Es posible
es nula si , definida por
es una curva simple cerrada?
Solución:
90.- Si
calcule el trabajo realizado por
lo largo del segmento de recta que va desde el punto
utilizar una función de potencial.
al desplazar una particula a
al punto
. Evalúe sin
Solución:
91.- Si
Solución:
y
, donde α es constante, mostrar que:
92.- Dada la elipse
con centro en el origen. Encuentre los puntos más
alejados del origen, determinando así su eje mayor.
Solución:
93.- Calcular:
Solución:
94.- Determinar el volumen del sólido limitado superiormente por
, y debajo por el plano
.
por
Solución:
, lateralmente
95.- Calcular la integral
para
y
.
Solución:
Usando el teorema de la divergencia, se tiene:
96.- Hallar el plano tangente a la recta normal a la superficie
.
en el punto
Solución:
Sea
la superficie
, es
97.- Dada
Solución:
. Entonces, el vector
es normal a
. En particular, el vector normal a la superficie dada en el punto
.
, hallar el valor de la expresión
.
98.- Resolver la integral doble
.
Solución:
99.- Determinar el valor de la integral
la región encerrada por
Solución:
, donde
.
es la frontera de
100.- Hallar el valor de la integral
y
Solución:
, donde
es la superficie de la esfera de centro el origen y radio .