Capítulo 10 Combinaciones y permutaciones

Capítulo 10 Combinaciones y permutaciones
Los juegos de azar y las combinaciones
¿Has jugado alguna vez póquer? Por si aún no lo has hecho, aquí hay una pequeña explicación de cómo hacerlo:
El póquer se juega con un juego de naipes, el cual consta de 52 cartas, la cantidad de jugadores puede variar.
El juego comienza con la repartición de cartas, 5 a cada jugador. A estas 5 cartas se les llama “mano”. Una vez
se han repartido las cartas, los jugadores pueden observarlas. El objetivo principal del juego es obtener la
mejor combinación posible de cartas, es decir la mejor mano. De acuerdo a las reglas establecidas del póquer,
podemos saber qué manos (combinaciones) son válidas y la jerarquía de ellas, veamos el siguiente cuadro
que explica esto:
Este cuadro nos muestra diferentes combinaciones de póquer (se muestran en orden jerárquico de arriba
hacia abajo), junto a cada combinación aparece la probabilidad de obtener dicha mano. Como puedes ver,
mientras menos probable sea obtener una mano, su jerarquía es mayor. Por esta misma razón, una regla adicional del póquer, es que una vez se han repartido las cartas, se le da a cada jugador la opción de cambiar una
de sus cartas para aumentar sus probabilidades de éxito. De hecho, dependiendo de cómo se haya decidido
jugar, este procedimiento se repite una o dos veces más, aumentando así las probabilidades de obtener una
mano favorable para ganar el juego. Recuerda que todos los jugadores tienen la misma probabilidad de mejorar su mano, por lo que siempre se está jugando con probabilidades. Sin
embargo, es la decisión de cada jugador cambiar o no una carta y qué carta cambiar,
por lo que en dicho caso cuenta mucho el conocimiento del jugador en cuanto al
manejo de combinaciones y probabilidades.
Todo esto nos indica que podemos saber qué tan probable es obtener
una mano de póquer, y esto lo podemos saber gracias a la combinaciones y permutaciones en matemáticas. Las combinaciones no se
limitan únicamente al póquer, pueden aplicarse a muchos otros
casos en los que se usan distintos valores combinados para
determinar un resultado, como por ejemplo en un candado que tiene clave numérica, o por ejemplo las claves
personales que utilizas para acceder a tus cuentas de correo o de redes sociales en internet.
Pensemos en el ejemplo más trivial y luego
lo podremos expandir al mismo juego
de póquer para ver cómo funciona
éste.
Imagina un candado que
utiliza números para
abrirse, como el
siguiente:
Ahora supón que este candado en vez de tener tres espacios
para lograr la clave correcta, únicamente tuviese dos espacios;
observa que cada espacio consta
de 10 números (0, 1,2…9). Cuenta mentalmente cuántas combinaciones pueden haber para que
el candado pueda abrirse. ¿Ya lo
has hecho? Si contaste 100 distintas combinaciones lo hiciste correctamente. En este caso es fácil,
pues basta con combinar cada digito desde el cero hasta el 9 con
cada uno de los dígitos desde el
cero hasta el 9: 00,01,02…09,
10,11, 12,…20,21,…30,31,…hasta
90,91,92, 99.
Pero, ¿qué sucede cuando hay 10
espacios? Como se vuelve complejo el procedimiento, existe
uno ordenado para saber cuántas
combinaciones existen y no hace
falta contar la cantidad de combinaciones para saberlo. Veamos
bien cómo se realiza esto, simplifiquemos aún un poco más el caso.
Supongamos que tengo dos elementos que combinar (sin repetición): A y B. ¿Qué combinaciones
puedo obtener cuando no repito
ninguno de ellos? Observa:
AB
BA
Esto es muy fácil obtener, pues
hay únicamente 2 elementos y no
se pueden repetir. Ahora imagina
este caso con tres elementos, A,
B, C.
ABC
ACB
BAC
BCA
CAB
CBA
Como puedes ver, en vez de 2
combinaciones, ahora tenemos 6.
¿Cómo llegamos matemáticamente a este resultado? Observa la siguiente ilustración:
1
2
2
1
3
1
1
Para hacerlo gráficamente veamos la siguiente figura, tenemos
rectángulos de dos colores, marrón y amarillo. Al combinarlos
sin repetición de alguno de ellos
encontramos que tenemos dos
combinaciones en total, observa
que tenemos 2 rectángulos o posiciones que dejamos fijas, mientras
que varía una de ellas, esto se expresa entonces como 2×1.
En este caso, tenemos rectángulos
de tres colores: verde, amarillo y
marrón. Podemos observar que
al combinarlos sin repeticiones de
ninguno de los rectángulos, obtenemos 6 distintas combinaciones
y tenemos un arreglo más que
en el caso anterior; es decir, que
cuando tenemos tres posiciones
fijas, nos quedan dos elementos
para variar, y luego éstas se vuelven posiciones fijas para las cuales
tenemos un elemento que podemos variar, lo cual se expresa matemáticamente como 3×2×1.
¿Puedes imaginar cuántas combinaciones tendríamos si tuviésemos 4
distintos elementos? Si pensaste en 4×3×2×1, tu idea es correcta. De
hecho este concepto se expande a cualquier cantidad de elementos y
en matemáticas se llama factorial. El factorial de un número n se define
como el producto de todos los enteros positivos menores o iguales a n.
El factorial se denota como n!. Formalmente, la definición es:
, donde Π es el símbolo que indica producto.
Por ejemplo, el factorial de 5 es: 5!= 5×4×3×2×1 = 120
Observa qué tan rápido incrementan las combinaciones, de hecho el
factorial de 9 es 362,880 y el de 20 es ¡2,432,902,008,176,640,000! Con
esta información puedes imaginar qué tan difícil es obtener la mano más
alta en un juego de póquer (una flor imperial). Pronto veremos cómo
encontrar esto. Por ahora recordemos el ejemplo del candado con dos
o tres números. ¿Recuerdas que el candado de 2 posiciones tiene 100
combinaciones posibles? Esto también es parte de una combinación y la
podemos encontrar numéricamente. En este caso, la única variante con
respecto a los últimos ejemplos que vimos, por ejemplo en el que combinamos A y B, es que tenemos la posibilidad de repetir elementos, a la
vez que tenemos más elementos con la misma cantidad de posiciones.
Llamémosle a la cantidad de posiciones r, y a la cantidad de elementos
n. En ese caso la cantidad total de combinaciones está dada por:
nr
Así por ejemplo en el caso de 2 posiciones y 10 números,, la cantidad
total de combinaciones está dada por:
102= 100
Con esta información, se vuelve más fácil calcular la cantidad de combinaciones del candado que tiene tres posiciones, sin tener que contarlas
mentalmente, pues está dada por:
103= 1000
A un arreglo en el cual el orden es importante, y por ende indica más
posibles combinaciones, se le llama permutación. Por lo que estos candados que observamos en los ejemplos son llamados candados de permutación.
En este capítulo aprenderemos precisamente sobre combinaciones y
permutaciones y sus aplicaciones.
140
10.1
permutaciones
U
na permutación de un
conjunto finito de elementos se entiende
como cada una de las
posibles ordenaciones de todos
los elementos de dicho conjunto
e interesa el lugar que ocupa cada
uno. Existen dos tipos de permutaciones:
1. En las que se permite repetir
elementos del conjunto : por
ejemplo la clave del candado
de tres espacios de arriba, podría ser 2-2-2.
2. Sin repetición: por ejemplo
los tres mejores alumnos de
tu clase. Uno no puede ser el
primero y el segundo al mismo tiempo.
Una combinación es un arreglo de
los elementos de un conjunto finito en el que el orden no importa.
La principal diferencia entre una
combinación y una permutación,
es que el orden es importante en
las permutaciones y en las combinaciones no lo es. Así por ejemplo,
podría decir que mi ensalada es
una combinación de lechuga, tomate, pimientos y cebolla (a la vez
podría decir que es una combinación de cebolla, tomate, pimientos
y lechuga), pero no podría decir
que la combinación de mi candado
es 2-6-1, si éste se abre con 1-2-6;
es decir que estoy utilizando los
mismos elementos pero en distinto orden, y esto no es así cuando
se trata de una permutació n.
En este sentido, una permutación
de un conjunto finito S, de n elementos, es equivalente a la biyección de {1,2…n} a S, en el cual,
cualquier elemento i puede ser
mapeado al i-ésimo elemento de
la secuencia. En este sentido, existen n! permutaciones de S.
En términos sencillos, podemos
decir que : el número de permutaciones que tiene un conjunto
finito de elementos es igual al factorial de ese número de elementos. Así por ejemplo, el conjunto
S1={1,2,3}, tiene las permutaciones: {1,2,3}, {1,3,2},{2,1,3},{2,3,1},
{3,1,2},{3,2,1}, y el total de permutaciones está dado por
3!=6
Existen dos tipos de permutaciones, con repetición y sin repetición.
Recordemos
En las permutaciones el orden es importante (es
decir que cada arreglo aún si tiene los mismos elementos pero en
diferente orden se contabiliza),
mientras que en las combinaciones el orden no es importante (es
decir que dos arreglos con los mismos elementos en diferente orden
cuentan como uno solo).
141
A. Permutaciones con repetición
Éste es el caso que vimos en la introducción que se refería al candado de permutación en el que la
cantidad de permutaciones que se
puede obtener depende de la cantidad de elementos disponibles
para cada posición, y de la cantidad de posiciones. Llamemos de
nuevo a la cantidad de elementos
n, y a la cantidad de posiciones r,
entonces vemos que:
B. Permutaciones sin repetición
Ejercicio:
Basado en las permutaciones con repetición, calcula cuántas posibles claves
podría tener un sitio de
internet si te piden utilizar
8 caracteres. Te piden que
la clave tenga letras y números. Asume que hay 26
letras en el teclado y 10 dígitos posibles (del 0 al 9).
Respuesta:
368= 2,821,109,907,456
Es decir que tenemos n cantidad
de elementos en cada posición,
por lo que la cantidad de permutaciones, será n×n×n…multiplicado tantas veces como posiciones
existan, en este caso, como podemos ver en la ilustración, r veces.
Entonces, de forma general podemos decir que la fórmula para el
número de permutaciones con repetición es:
nr
142
Si probásemos manualmente cada clave posible,
asumiendo que nos toma
5 segundos ingresar la clave, enviarla y recibir una
notificación del sitio que
la clave es incorrecta, ¡nos
tomaría 447,284 años probar todas las claves!
Las permutaciones sin repetición
también las vimos en la introducción. En este caso las permutaciones no pueden ser tantas como
cuando hay repetición, pues a
cada espacio de la permutación
le corresponde un único elemento para cada arreglo del resto elementos de dicha permutación, en
vez de n posibles elementos. Recuerda nuestra ilustración de la introducción con rectángulos de colores al respecto de este concepto. Otra forma de visualizar esta
idea es la siguiente, tomemos el
conjunto de letras {C,R,O,S,A}, en
este caso los conjuntos {O,S,C,A,R}
y {R,O,S,C,A} son permutaciones
del conjunto mencionado, pero
la permutación {S,A,R,R,O} no lo
es pues en ella se repite un elemento (al menos no es una permutación sin repetición como las
que estamos tratando ahora). Con
esta idea en mente, tomemos un
conjunto S de tamaño n, para éste,
existen n posibles permutaciones
cuando dejamos fijo el primer elemento o variamos únicamente el
primer elemento. Después de haber utilizado el primer elemento,
nos quedan n-1 permutaciones
disponibles, después de haber utilizado el segundo nos quedan n-2,
y así sucesivamente hasta llegar a
la última permutación, 1. Por eso,
cuando estamos tomando todos
los elementos de un conjunto, el
cálculo del número de permutaciones posibles se realiza de la siguiente manera:
Lo cual en notación de permutaciones y factoriales se escribe de
la siguiente forma
• Factorial de
n(n-1)(n-2)(n-3)…1
En notación formal, se escribe n!
y como vimos antes, a esto se le
llama el factorial de un número.
Le llamaremos a la cantidad de
elementos de la permutación r
y recordemos que la cantidad
de elementos del conjunto es n,
como estamos utilizando en este
caso todos los elementos del conjunto, en este caso r=n. Entonces
la notación para la cantidad de
permutaciones es la siguiente:
Veamos un ejemplo. Toma el conjunto S={a,b,c,d}. Todas las permutaciones de 2 elementos sin
repetición que se pueden obtener
de este conjunto son las siguientes:
{a,b} ,a},{a,c},{c,a},{a,d},{d,a}
n (n-1) (n-2) (n-3)…(n-r+1)
Expresado de otra forma:
{b,c}{c,b}{b,d}{d,b}
{c,d}{d,c}
El total de permutaciones es 12.
Ahora calculemos la cantidad de
permutaciones con la fórmula que
aprendimos:
Veamos un ejemplo, tomemos por
ejemplo el caso en el que n=4 y
m=7, entonces:
P =n!, cuando r=n
n r
Ahora pensemos en otro caso,
¿qué pasa cuando r≠n? Es decir,
¿qué sucede si quiero saber cuántas permutaciones de tamaño 2
tiene un conjunto de tamaño 5?
Por ejemplo, para nuestro conjunto {C,R,O,S,A}, el subconjunto
{R,O,S,A} es una permutación de
tamaño 4, el subconjunto {R,A,S}
es una permutación de tamaño 3.
Entonces, la cantidad de permutaciones sin repetición de tamaño k
en un conjunto de tamaño n, está
dada por
Observa que con esta propiedad
también se cumple con la propiedad del factorial de 0.
Propiedades del factorial
• Se define el factorial de 0:
0!= 1
Esto es fácil de observar desde el
punto de vista que el factorial de
un número indica la cantidad de
permutaciones posibles o arreglos, y dado el elemento 0, existe
sólo una permutación posible.
De tal forma que podemos utilizar
la propiedad mencionada, pues
es evidente que se simplificarán
siempre en el aquellos factores en
el numerador con los del denominador que sean iguales o menores
a m.
• Factorial de n+1
(n+1)!= (n+1) n!
143
C. Combinaciones sin repetición
Para ilustrar cómo funcionan las
combinaciones sin repetición veremos cómo funciona la lotería.
En este caso estamos hablando de
la lotería en la cual se tiene una
tómbola con cierta cantidad de
bolas y a cada bola le corresponde
un número. Supongamos que el
resultado consta de un arreglo de
6 números y en muchas loterías
el orden de los números (elementos) no importa. Por ello estamos
hablando de una combinación.
También al salir una bola, ésta se
queda fuera y ya no puede volver
a salir, por eso estamos hablando
que es un evento sin repetición.
Veamos un ejemplo sencillo antes
de pasar a analizar las combinaciones y probabilidades de sacarse
la lotería. Tomemos el conjunto
S={a,b,c,d}. ¿Qué posibles combinaciones de dos elementos existen? Recuerda que a diferencia de
las permutaciones, en este caso
el orden no es importante, por lo
que decir {a,b} ó {b,a} es lo mismo,
es decir que es la misma combinación, pues no nos importa el
orden. Veamos entonces las diferentes combinaciones:
Otra notación que se utiliza comúnmente para referirse a una
combinación es la siguiente
, la cual se lee n de r en r.
Calculemos las combinaciones del
siguiente ejemplo:
{a,b},{a,c}{a,d}{b,c}{b,d}{c,d}
Como puedes ver en este caso hay
solamente 6 combinaciones (a diferencia de 12 permutaciones en
el caso equivalente).
El número de combinaciones se
calcula a través de la siguiente fórmula
Recordemos: que el conjunto
S, tenía 4 elementos, y queremos
saber cuántas combinaciones existen de 2 elementos, entonces, n=4
y r=2, por lo que:
Hemos encontrado la misma cantidad de combinaciones que la
que encontramos anteriormente.
NOTA
Muchas calculadoras pueden ejecutar las funciones de combinación
y permutación directamente, busca
las teclas, que por lo regular indican
“nPr” y “nCr”, para permutaciones
y combinaciones respectivamente, tal como se muestra en la imagen.
144
Ejercicio: calcula la cantidad
de combinaciones de 3 elementos que pueden haber
en un conjunto de 5 elementos, es decir 5C3.
Veamos cómo se realiza esto en la calculadora (observa que en este ejemplo se está utilizando una calculadora Casio fx-82ES, por lo que el procedimiento variará
según el modelo, pero la idea general es la misma).
Paso 1: Presiona la tecla del número correspondiente a n, en este caso 5.
Paso 2: Presiona la tecla “shift” y luego presiona la tecla “×” (o aquélla en la que se encuentre
designada “nCr”)
2
Paso 3: Presiona el número correspondiente a
r, en este caso 3.
Paso 4: Presiona la tecla “=” y obtén el resultado.
Como puedes ver el resultado es 10. Compruébalo:
1
2
3
4
145
EJEMPLO 10.1
E
n una lotería determinada
se cuenta con una tómbola que tiene 49 bolas
numeradas. Para ganar la
lotería, es necesario tener la combinación correcta de 6 bolas. Esto
significa que basta con que tengamos los mismos números en nuestro billete de lotería, pero no hace
falta que aparezcan en el mismo
orden. Calcula cuántas combinaciones posibles existen y luego
determina la probabilidad de que
alguien gane la lotería.
Solución:
Como tenemos 49 bolas numeradas y necesitamos saber cuántas
combinaciones de 6 elementos
existen, diremos que n=49 y r=6.
Entonces:
Esto significa que en ese caso existen 13,983,816 combinaciones,
por lo que la probabilidad de ganar la lotería con un billete es de 1
en 13,983,816. Expresado en porcentaje sería lo siguiente:
naciones que hay inicialmente:
si tenemos un total de 52 cartas
y nos reparten 5, significa que el
total de combinaciones está dado
por 52C5. Luego, debemos encontrar cuántas combinaciones de
póker se pueden obtener, para lo
cual debemos observar que existen 13 distintos tipos de cartas
(A,2,3,4,5,6,7,8,9,10,J,Q,K) y necesitas obtener 1 de estos tipos.
Además de ello necesitas que se
repita ese tipo de carta 4 veces
con los 4 distintos manjares que
hay; corazones, diamantes, tréboles y espadas, por lo que la cantidad de combinaciones de póker
que hay está dada por 13C1×4C4.
Posterior a eso recordemos que
aún falta que nos repartan 1 carta
más, pues una mano de un póquer
tiene 5 cartas. Como en teoría tenemos un póquer en la mano ( o al
menos hemos contabilizado todas
las posibles manos de póquer),
sabemos que quedan 12 tipos de
cartas en vez de 13, y necesitamos
obtener 1 carta cualquiera de los
4 manjares que hay, por lo que la
cantidad de combinaciones que
hay del resto de cartas está dado
por 12C1×4C1. Si utilizamos estas
combinaciones, la probabilidad de
obtener un póquer está dada por
la siguiente expresión
Ejemplo:
Ahora regresemos al tema de la
introducción de este capítulo,
¿cómo calcular la probabilidad de
obtener un póquer una vez nos
han repartido una mano? Veamos entonces lo siguiente, necesitamos saber el total de combi-
146
Así que en porcentaje, la probabilidad de obtener un póquer en
una mano, es de 0.024%.
D. Combinaciones con repetición
Supón que puedes elegir 3 ritmos
de música para las siguientes canciones que van a sonar en la fiesta
y sabemos que hay un total de 5
ritmos disponibles. ¿Cómo podríamos saber cuántas combinaciones
hay en total? En esta ocasión los
podemos repetir.
Supongamos que los ritmos disponibles son los siguientes:
a.
Dubstep
b.
Salsa
c.
Reggae
d.
Punk Rock
e.
Reggaetón
ciones de avanzar cada vez que no
queremos un ritmo y parar cada
vez que queremos uno. Al avance
lo simbolizaremos con una flecha
“→”, y al detenimiento con un
círculo “○”. Entonces, como queremos 3 canciones de reggae, le
daríamos la siguiente instrucción:
Podría ser que eligieras 3 canciones de corrido de reggae, o bien 1
canción de salsa y 2 de reggaetón.
No importa, el punto es las combinaciones que podemos hacer.
Veamos esta idea con una ilustración
Dubstep Salsa
Reggae
Punk
rock
→
→
Supón que tenemos un robot al
cual le damos la instrucción de seleccionar los ritmos, y en este caso
le pedimos que escoja 3 canciones
de reggae. Los ritmos est án colocados en una consola tal como
aparecen en el cuadro de arriba, y
para pedirle al robot que seleccione las canciones le damos instruc-
○
○
○
Y con esto el robot termina la lista
de canciones. Veamos qué sucede
si quiero 1 canción de Dubstep , 1
de reggae y 1 de Punk Rock:
○
○
Reggaetion
→
→
→
→
→
○
→
¿Qué tal si quiero 2 de salsa y 1 de
reggaetón?:
→
○
○
○
→
→
→
¿Has notado algo en común entre
todas las instrucciones que se le
dieron al robot? Si observas, hay
siempre 7 instrucciones que le
tenemos que dar al robot, 3 que
tomamos de 5 que son el total, y
si a este 5 le restamos 1 ya que se
refiere al resto del recorrido, podemos notar que las instrucciones
son:
3+5-1=7
Lo cual podemos generalizar como
r+n-1
Esto indica que siempre que queremos saber las combinaciones
con repetición, tenemos r+n-1 posiciones, y si deseamos saber las r
combinaciones que existen usaremos la siguiente fórmula:
,
combinación con repetición
Si resolvemos nuestro ejemplo de
los ritmos de música, veremos que
tenemos la siguiente cantidad de
combinaciones con repetición
147
Ejercicios.
1. Las placas de circulación de
vehículos de Guatemala constan
de 3 letras y 3 dígitos, respectivamente. ¿Cuántas placas diferentes
pueden construirse?
2. ¿De cuántas formas pueden colocarse 6 libros en una librera?
3. ¿Cuántos números telefónicos
de ocho dígitos existen si ninguno
de ellos puede empezar con cero
o con 1?
4. Luis planea pasar a comer y luego ir al cine. ¿En cuántas maneras
puede planificar esto si dispone de
5 menús diferentes y 3 películas?
5. En una clase de 30 alumnos,
20 juegan fútbol y el resto baloncesto. ¿De cuántas maneras se
pueden seleccionar 3 alumnos de
entre los que juegan al fútbol y 2
de entre los que juegan al baloncesto?
148
6. En una reunión de un grupo de
amigos hay cinco hombres y seis
mujeres. Para la hora del almuerzo
deciden que cuatro de ellos irán al
supermercado cercano a comprar
comida.
8. En una urna hay 9 bolas, 3 blancas, 2 rojas y 4 negras. ¿De cuantas
formas distintas se pueden extraer
las bolas de la urna?
a) ¿De cuántas maneras se pueden elegir a los cuatro amigos que
irán?
9. En una pastelería hay 6 tipos
distintos de pasteles. ¿De cuántas
formas se pueden elegir 4 pasteles?.
b) ¿Y si tienen que ir dos hombres y dos mujeres?
7. Cuatro libros de matemáticas,
seis de física y dos de química se
van a colocar en una estantería
a)¿Cuántas colocaciones distintas
son posibles si:
b) ¿Los libros de cada materia han
de estar juntos?
c) ¿Sólo los de matemáticas tienen
que estar juntos?
10. ¿De cuántas maneras puede
Susy seleccionar su ropa para una
fiesta entre 5 vestidos y dos sacos
de un ropero de 9 vestidos y 3 sacos?