P4_suma de procesos

LICENCIATURA DE ESTADÍSTICA
CURSO DE SERIES CRONOLÓGICAS I - 2005
PRACTICO 4
Ejercicio 1
Sea x t una variable aleatoria que sigue un proceso de medias móviles de orden uno,
x t = ut - δ ut-1 siendo ut un proceso del tipo ruido blanco
σ 2u para j = 0
E(ut , ut-j )
0 en otro caso
la función de autocovarianzas de x t es:
E(xt , xt-j )
(1 + δ2) σ 2u
δ σ 2u
0
para j = 0
para j = ± 1
en otro caso
Sea vt un proceso ruido blanco tal que
σ 2v para j = 0
E(vt , vt-j )
0 en otro caso
Suponga además que ut y vt están incorrelacionados , por tanto E(ut , vt-j ) = 0, lo que
implica que E(xt , vt-j ) = 0
Considere la serie yt = xt + vt, que representa la suma de un proceso MA(1) más un ruido
blanco.
Se pide:
Determine las propiedades de la serie yt .
Ejercicio 2
Sea x t un proceso MA(q1) con media cero
xt = δ (L) ut
σ 2u para j = 0
E(ut , ut-j )
0 en otro caso
Sea w t un proceso de medias móviles de orden q2, MA(q2) ,con media cero
wt = κ (L) vt
σ 2v para j = 0
con
E(vt , vt-j )
0 en otro caso
Suponga que las variables wt y xt están incorrelacionadas, de modo que E(xt , w t-j ) = 0
para todo j.
Considere ahora yt = w t + xt
Se pide:
1) Verifique las propiedades de la serie yt para q1 y q2 sean 1 en ambos casos o asuman
cualquier otro valor mayor que cero.
Ejercicio 3
Sean xt y wt dos procesos autoregresivos de primer orden
(1 - πL) xt = ut
(1 - ρL) wt = vt
donde ut y vt están incorrelacionados, sea zt la suma de los procesos xt y wt .
Se pide:
Verifique las propiedades de zt .
Ejercicio 4
Mostrar que de la suma de dos procesos AR(2) independientes resulta un proceso
ARMA(p,q). Cuáles son los máximos valores que pueden asumir p y q.
Ejercicio 5
Sea Yt  un proceso estacionario con media cero.
Sea
X t = Yt - 0.4 Yt-1
Wt = Yt - 2.5 Yt-1
Se pide:
1) Expresar la función de autocovarianzas de X t y de Wt en términos de las
autocovarianzas de Yt .
2) Mostrar que Xt  y Wt  tienen la misma función de autocorrelación.
3) Mostrar que el proceso Ut = -∑ ∞j=1 (0.4)j Xt+j satisface la ecuación en diferencias
X t = Ut - 2.5 Ut-1
Ejercicio 6
Sean xt y wt dos procesos autoregresivos de segundo orden
(1 - π1L - π2L2) xt = ut
(1 - ρ1L - ρ2L2) w t = vt
donde ut y vt están incorrelacionados, sea zt la suma de los procesos xt y wt .
Se pide:
1)Verifique las propiedades de zt .
2) Verifique las propiedades del proceso zt para el caso más general donde xt y wt sean dos
procesos del tipo AR(p1) y AR(p2 ).
Ejercicio 7
Es invertible el siguiente proceso bivariado:
Xt = εt + 0.5 -0.3  εt-1
0.7 0.6 
Calcule la función de autocorrelación del proceso.