Matriz Adjunta y Determinación de la Matriz Inversa.

Álgebra Lineal XXIV: Matriz Adjunta y Determinación de la
Matriz Inversa.
José Marı́a Rico Martı́nez
Departamento de Ingenierı́a Mecánica
Facultad de Ingenierı́a Mecánica Eléctrica y Electrónica
Universidad de Guanajuato
email: [email protected]
En estas notas definiremos la matriz adjunta y mostraremos su relación con la determinación de la
matriz inversa de una matriz no singular.
1.
Matriz adjunta.
En esta sección definiremos la matriz adjunta de una matriz cuadrada.
Definición. Sea M ∈ Mm×m , con m arbitrario y sea
cof actorM = (M ij ).
la matriz de cofactores de la matriz original M y donde el cofactor M ij está localizado en la i-ésima fila
y la j-ésima columna de la matriz de cofactores. Entonces la matriz adjunta de M , denominada adjM ,
es la transpuesta de la matriz de cofactores; es decir
adjM = (cof actorM )T = (M ij )T
Teorema. Sea M ∈ Mm×m y sean i, j enteros tales que i = j, 1 ≤ i ≤ m y 1 ≤ j ≤ m. Entonces
m
mik M jk = 0
y
k=1
Prueba: El término
m
mki M kj = 0.
k=1
m
mik M jk = 0,
k=1
puede interpretarse como la expansión en base a la j-ésima fila del determinante de una matriz M̂
obtenida a partir de la matriz original M sustituyendo la j-ésima fila con la i-ésima fila. Para mostrar
este resultado, considere la matriz M̂ mostrada a continuación,
⎤
⎡
m11 m12 · · · m1m
⎢ m21 m22 · · · m2m ⎥
⎥
⎢
⎢ m31 m32 · · · m3m ⎥
⎥
⎢
⎥
⎢ ..
..
..
..
⎥
⎢ .
.
.
.
⎥
⎢
⎢ mi1 mi2 · · · mim ⎥
M̂ = ⎢
⎥
⎥ i − ésima fila
⎢ ..
..
..
..
⎥
⎢ .
.
.
.
⎥
⎢
⎢ mi1 mi2 · · · mim ⎥
⎥ j − ésima fila
⎢
⎥
⎢ .
..
..
..
⎦
⎣ ..
.
.
.
mm1 mm2 · · · mmm
1
Note que M̂ jk = M jk . Además, puesto que M̂ tiene dos filas iguales det M̂ = 0, por lo tanto
S=
m
mik M jk = detM̂ = detM̂ T = 0.
k=1
Un procedimiento semejante permite probar el valor de la otra sumatoria.
Teorema. Sea M ∈ M m×m . La inversa de M denotada por M −1 está dada por
M −1 =
adjM
detM
Prueba: Considere el producto
adjM
detM
Entonces, los elementos de la matriz N están dados por
N =M
1. Elementos en la diagonal,
nii =
n
mij
j=1
m
1 M ij
=
mij M ij = 1 ∀ 1 ≤ i ≤ m.
detM
detM j=1
2. Elementos fuera de la diagonal,
nij =
n
k=1
m
1 M ij
=
mij
mij M ij = 0
detM
detM j=1
∀ 1 ≤ i ≤ m,
donde
i = j.
De aquı́ que,
N =M
adjM
= Im
detM
Finalmente
M −1 =
2.
adjM
.
detM
Problemas Resueltos.
Problema 1. Suponga que la matriz M está dada por
⎡
⎤
1 3 −1
M = ⎣ 2 −1 3 ⎦
1 2 −3
Determine la inversa de esta matriz mediante el método de la matriz adjunta.
Solución. De acuerdo con el método, se debe obtener primero la matriz de menores de la matriz M ,
⎡
⎤
−3 −3 5
menorM = ⎣ −7 −4 5 ⎦
8
5 −7
La matriz de cofactores de M está dada por
⎡
⎤
−3 3
5
cof actorM = ⎣ 7 −4 −5 ⎦
8 −5 −7
2
Finalmente, la matriz inversa de M , dada por M −1 , está dada por
M −1 =
(cof actorM )
|M |
donde | M |= 3, por lo tanto
⎡
M −1
3.
−3 3
⎣ 7 −4
8 −5
=
3
⎤T
5
−5 ⎦
−7
⎡
⎤
−3 7
8
1
= ⎣ 3 −4 −5 ⎦
3
5 −5 −7
Problemas Propuestos.
Problema 1. Considere la matriz del problema propuesto 3, de las notas Álgebra Lineal XIX:
Rango de una Matriz y Matriz Inversa, dada por
⎡
⎤
1 −2 2
1 0 ⎦
M1 = ⎣ 3
−1 2 1
Determine su matriz inversa.
3