Electrones en sólidos cristalinos.

Clase 3
82.03
Física III
Responsables de la materia:
Profesor: Guillermo D. Santiago
JTP: Martín G. González
Clase N° 3
Clase 3
Temas a tratar en esta clase
Esta clase da una introducción a los siguientes temas:
* Caso 2: escalón de potencial
* Interpretación de los resultados para distintos valores de
energía
* Coeficiente de reflexión
Clase 3
El escalón de potencial
1
Un caso más difícil.
0.8
0.6
0.4
0.2
0
-10
-5
0
5
10
La curva azul es una «trepada suave». La roja una abrupta. No existe
en el mundo real pero es «fácil de resolver»
Clase 3
El escalón de potencial E>V0
Tenemos cuatro situaciones a considerar:
a) Lado izquierdo y lado derecho
b) Energía E superior o inferior a la altura V0 del escalón.
Comenzamos con E>V0, ψI lado izquierdo, ψII lado derecho
−  2 d 2ψ I
= Eψ I
2
2m dx
 2mE 

2mE 
=
ψ I A exp  j
x  + B exp  − j
x
2
2






ψ I A exp ( jk I x ) + B exp ( − jk I x )
=
−  2 d 2ψ II
Eψ II
+ V0ψ II =
2
2m dx
 2m ( E − V0 ) 

2m ( E − V0 ) 
=
ψ II C exp  j
x  + D exp  − j
x
2
2






=
ψ II C exp ( jk II x ) + D exp ( − jk II x )
Clase 3
El escalón de potencial E>V0
¿Cómo «enganchamos» las soluciones?
Declaramos (luego demostraremos) que la solución y su primera
derivada deben ser continuas.
¿Qué significa cada término?
A es «algo» que va de izquierda a derecha, así como C.
B y D son «algo» que viaja hacia la izquierda.
Análisis clásico: Si la energía del objeto es superior a la altura de la
«colina», el objeto la sube y sigue viaje con menor velocidad.
Esto diría que B debería ser nulo (nada volvería). Sin embargo si
elegimos así es imposible respetar las condiciones de contorno.
Para simplificar un poco consideramos que el objeto viene desde la
izquierda, nada viene desde la derecha (D=0).
Clase 3
El escalón de potencial E>V0
Usemos las condiciones de contorno en x=0
0 ) ψ II ( 0 ) ⇒ A +=
B C;
ψ I (=
dψ I
dψ II
B jk II C
=
⇒ jk I A − ik I=
dx x 0=
dx x 0
=
Estamos mal por partida doble. Las soluciones no son normalizables (aunque ya
sabemos cómo arreglar ese tema) pero tenemos tres constantes y dos ecuaciones y
no hay más ideas.
Pero no nos quedamos sin hacer nada y en lugar de buscar valores absolutos,
pasamos a buscar relativos. Elegimos A=1 y B y C pasan a estar en veces de A.
Analizaremos el significado.
B
V0
2k I
2
k I − k II
B 1− 1−γ C
=
A C
=
A
= =
γ
k I + k II
k I + k II
A 1+ 1−γ A 1+ 1−γ
E
Terminó la primera parte del problema
Clase 3
El escalón de potencial E<V0
Segunda parte: E<V0
La solución de la izquierda es la misma. A la derecha tenemos un
cambio importante. Ahora tenemos exponenciales reales:
 2m (V0 − E ) 
 2m (V0 − E ) 
ψ II C exp 
x  + D exp  −
x
2
2










ψ=
C exp ( k II x ) + D exp ( −k II x )
II
El término en C es sospechoso, más nos alejamos y más crece (sin
límite). Mejor elegimos C=0
Clase 3
El escalón de potencial E<V0
Ahora vuelvo a pedir la continuidad de la solución y de la primera
derivada y obtenemos los coeficientes en términos de «lo que llega» A
ik II
1−
kI
2A
B A=
D
=
ik II
ik II
1+
1+
kI
kI
Ahora hay que interpretar estos resultados
Primero hagamos unos dibujos para distintos valores de V0 y E,
tomando 2m  2 = 1
Clase 3
Interpretación de resultados
¿Cómo interpretamos esto?
|ψ (x) |2, E= 1, V 0= 2
6
5
4
3
2
1
0
-10
-5
0
x
5
10
Clase 3
Coeficiente de reflexión
(B/A)2 es proporcional a la relación entre «lo que vuelve» y «lo que llega».
Precisamente definimos el coeficiente de reflexión R como la razón entre «lo que
llega» |A|2 y «lo que vuelve» |B|2
V (u.a.), R
2
1.5
1
0.5
0
0
0.5
1
1.5
2
2.5
E (u.a.)
3
3.5
4
¿Por qué vuelve algo si la energía cinética excede a la potencial?
Clásicamente NO puede ser. Pero hay algo en la Óptica.