Variables Aleatorias

Variables Aleatorias
Introducción
Concepto de variable aleatoria
Es conveniente que los resultados
de un experimento aleatorio estén
expresados numéricamente.
Se prueban tres componentes
electrónicos, y se observa el
carácter de defectuoso o no.
S={NNN, NND, NDN, DNN, NDD, DND, DDN, DDD}
Concepto de variable aleatoria
Una función de S en R (reales):
X:”número o cantidad de defectuosos”
S={NNN, NND, NDN, DNN, NDD, DND, DDN, DDD}
−4
−3
−2
−1
0
1
2
3
R X = {0 , 1, 2 , 3}
4
5
R
Concepto de variable aleatoria
Se sacan dos bolillas de manera
sucesiva sin reemplazo de una urna
que contiene 5 bolillas blancas y 4
bolillas rojas.
Y:”número de bolillas rojas extraídas”
S={NN, NR, RR, RN}
Espacio
muestral
y
NN
0
NR
1
RN
1
RR
2
R Y = {0 , 1, 2 }
Definición de variable aleatoria
Una variable aleatoria es una función
que asigna un número real a cada
elemento del espacio muestral.
Notación:
Letras
imprenta, X, Y, Z
mayúsculas
de
Ejemplos
El número de personas que llegan a un
local en un periodo de tiempo dado.
El resultado obtenido al lanzar un
dado.
El número de piezas defectuosas
obtenidas en una muestra de 200
unidades de un proceso productivo.
Ejemplos
El tiempo que tardan en ser atendidas
las personas que llegan a un banco.
Los pesos de los novillos que salen a la
venta en una estancia.
Los tiempos de producción de piezas
seriadas.
La resistencia a la rotura de distintas
muestras de hilos.
Clasificación de las variables aleatorias
Variables Aleatorias
DISCRETAS
CONTINUAS
Cantidad de perros
Altura
Clasificación de las variables aleatorias
Discreta: Si esta asociada a un espacio
muestral con un número finito de
elementos o una cantidad infinita
numerable.
Continua: Si esta asociada a un
espacio muestral con un número
infinito de puntos igual al número de
puntos en un segmento de línea.
Variable aleatoria discreta
Distribución discreta de probabilidad
Una variable aleatoria discreta toma
cada uno de sus valores con cierta
probabilidad.
Dicha probabilidad es la misma que
la probabilidad con que ocurre el
suceso que genera el valor de la
variable.
Distribución discreta de probabilidad
Se
prueban
tres
componentes
electrónicos, y se observa el carácter
de defectuoso o no. Supongamos que
la probabilidad de que la componente
este defectuosa sea p
P(D)=p
P(N)=1-p=q
S={NNN, NND, NDN, DNN, NDD, DND, DDN, DDD}
Distribución discreta de probabilidad
Suceso
elemental
NNN NND NDN DNN NDD DND DDN DDD
probabilidad
q3
q2p
qpq pqq qp2
pqp ppq p3
x (cantidad de
defectuosos)
0
1
2
3
P( X = x)
q3
3q2p
3qp2
p3
Distribución discreta de probabilidad
x (cantidad de
defectuosos)
0
1
2
3
P( X = x)
q3
3q2p
3qp2
p3
P ( X = 0) = P{NNN } = q
3
P ( X = 1) = P{DNN , NDN , NND} = 3q p
2
P ( X = 2) = P{DDN , NDD, DND} = 3q p
P ( X = 3) = P{DDD} = p
3
2
Distribución de probabilidad o función de
probabilidad de una v. a. discreta
El conjunto de pares ordenados (x, f(x)) es una
función de probabilidad, función de masa de
probabilidad o distribución de probabilidad de la
v.a. X, si para cada resultado posible de x
1.
2.
f ( x) ≥ 0
∑
f ( x) = 1
x
3.
P( X = x ) = f (x)
Distribución de probabilidades
p=0.4
f (x)
0.5
1
2
3
4
Distribución de probabilidades
p(x)
n =12
p = 0.7
x
Distribución Acumulada de
probabilidades
La distribución acumulada F(x) de una variable
aleatoria discreta X con
distribución
de
probabilidad f(x) es
F ( x) = P( X ≤ x) = ∑ f ( x)
t≤x
−∞ < x < ∞
Ejemplo
La distribución acumulada F(x) de la variable
aleatoria X cantidad de defectuosos
0

3
(
0
.
6
)


F ( x) = (0.6) 3 + 3 (0.6) 2 (0.4)

3
2
2
(
0
.
6
)
+
3
(
0
.
6
)
(
0
.
4
)
+
3
(
0
.
6
)
(
0
.
4
)


(0.6) 3 + 3 (0.6) 2 (0.4) + 3 (0.6) (0.4) 2 + 8(0.4) 2
si
x<0
si 0 ≤ x < 1
si 1 ≤ x < 2
si 2 ≤ x < 3
si
x≥3
Gráfico
1.0
0.5
−1
1
2
3
4
Distribución continua de probabilidad
Si X es una variable aleatoria continua
P( X = x) = 0
P ( a < X < b)
P(a ≤ X ) P(Y > c)
P ( a < X < b) = P ( a ≤ X < b) =
P ( a < X ≤ b) = P ( a ≤ X ≤ b)
Función de densidad de probabilidad
Si X es una variable aleatoria continua
1.0
0.5
1
2
−2
f (x)
−1
1
función de densidad de probabilidad
2
Función de densidad de probabilidad
P ( a < X < b)
b
P(a < X < b) = ∫ f ( x) dx
a
función de densidad de probabilidad
La función f(x) es una función de densidad de
probabilidad de la v.a. continua X, definida en el
conjunto de los números R
1.
2.
3.
f ( x) ≥ 0
∫
∞
−∞
f ( x) dx = 1
b
P(a < X < b) = ∫ f ( x) dx
a
Distribución Acumulada de
probabilidades
La distribución acumulada F(x) de una variable
aleatoria continua X con densidad de probabilidad
f(x) es
x
F ( x) = P( X ≤ x) = ∫ f ( x) dx
−∞
−∞ < x < ∞
Esperanza Matemática o Media
de una v. a. X
Sea X una variable aleatoria con distribución de
probabilidad f(x). La media o valor esperado de X
es
µ = E ( X ) = ∑ x f ( x)
si X es discreta
x
∞
µ = E ( X ) = ∫ x f ( x) dx
−∞
si X es continua
Ejemplo
x (cantidad de
defectuosos)
f (x)
0
1
2
3
q3
3q2p
3qp2
p3
µ = E ( X ) = 0 * q 3 + 1 * 3q 2 p + 2 * 3qp 2 + 3 * p 3
= 3q 2 p + 6qp 2 + 3 p 3
Varianza de una v. a. X
Sea X una variable aleatoria con distribución de
probabilidad f(x) y media µ. La varianza de X es
[
]
σ = Var ( X ) = E ( X − µ ) = ∑ (x − µ ) f ( x)
2
2
2
x
[
]
si X es discreta
σ = Var ( X ) = E ( X − µ ) = ∫
2
2
∞
(
x − µ)
−∞
2
f ( x) dx
si X es continua
La raíz cuadrada positiva de la varianza, se llama
desviación estándar de X.
Varianza de una v. a. X
Modo de cálculo
σ 2 = E [X 2 ] − µ 2
E ( X 2 ) = ∑ x 2 f ( x)
si X es discreta
x
∞
E ( X ) = ∫ x 2 f ( x) dx
2
−∞
si X es continua
Ejemplo
x (cantidad de
defectuosos)
0
1
2
3
x2
02
12
22
32
f(x)
q3
3q2p
3qp2
p3
E ( X 2 ) = 0 2 * q 3 + 12 * 3q 2 p + 2 2 * 3qp 2 + 3 2 * p 3
= 3q p + 12qp + 9 p
2
2
σ 2 = E [X 2 ] − µ 2 =
[
] [
3
= 3q p + 12qp + 9 p − 3q p + 6qp + 3 p
2
2
3
2
2
]
3 2