Hoja 4

Departamento de Matemática Aplicada.
ECUACIONES EN DERIVADAS PARCIALES I, Curso 08–09
La ecuación del calor. Hoja 4

 ut − auxx = 0
u(0, t) = 0 = u(π, t) , con a > 0, x ∈ (0, π), t > 0. Utilizando la
u(x, 0) = u0 (x)
solución encontrada en términos de Series de Fourier, probar que se tiene:
35 Consideremos el problema

$
π
|u(t, x)|2 dx ≤ e−2at
0
y por tanto, para toda condición inicial u0 ∈
lı́m
L2 (0, π),
$
π
π
0
|u0 (x)|2 dx
se tiene
|u(t, x)|2 dx = 0
t→+∞ 0
36 Resolver
$

 ut − auxx = F (x, t)
u(0, t) = 0 = u(π, t) , con a > 0, x ∈ (0, π), > 0, siendo
u(x, 0) = u0 (x)
i) u0 (x) = x, F (x, t) = t sen(2x),
ii) u0 (x) = x, F (x, t) = 1.

37 i) Calcular explicitamente la única solución φ(x) del problema

 ut − auxx = 1
%
−aφxx = 1, 0 < x < π,
φ(0) = φ(π) = 0
u(t, 0) = 0 = u(t, π) , con a > 0, x ∈ (0, π), t > 0, efectuar el cambio de variable
u(0, x) = u0 (x)

 wt − awxx = 0
w(t, x) = u(t, x) − φ(x) y probar que la ecuación que verifica w es w(t, 0) = 0 = w(t, π)

w(0, x) = u0 (x) − φ(x)
iii) Probar que se tiene
lı́m $u(t, ·) − φ(·)$L2 (0,π) = 0
ii) En la ecuación

t→+∞
y además que la convergencia es exponencialmente rápida.
38 Vamos a probar un resultado de unicidad bastante general utilizando las llamadas técnicas de
energı́a. Consideremos el problema general
&
ut − (a(t, x)ux )x = F (t, x),
u(0, x) = f (x)
0 < x < L, 0 < t ≤ T
donde la función a(t, x) > 0, con las condiciones de contorno en x = 0,
i) u(t, 0) = ϕ(t), o bien
ii) ux (t, 0) = ϕ(t), o bien
iii) ux (t, 0) − α(t)u(t, 0) = ϕ(t), con α(t) ≥ 0
y en x = L,
iv) u(t, L) = φ(t), o bien
v) ux (t, L) = φ(t), o bien
vi) ux (t, L) + β(t)u(t, L) = φ(t), con β(t) ≥ 0.
donde las funciones ϕ(t), φ(t) y en el caso iii) y vi) α(t) y β(t) son dadas.
Probar que existe a lo sumo una sóla solución C 1 en tiempo y C 2 en espacio, del problema con
cualquiera de las condiciones mencionadas arriba. (Indicación: si hubiera dos soluciones u1 , u2 , definir
u = u1 − u2 y ver que u verifica la ecuación homogénea, es decir, con F = ϕ = φ = f ≡ 0. Probar
entonces que si definimos
I(t) =
$
0
se tiene que I $ (t) ≤ 0, 0 ≤ t ≤ T ).
L
|u(t, x)|2 dx
8

 ut − auxx = 0
ux (0, t) = 0 = ux (L, t) , con a > 0, x ∈ (0, L), t > 0.
u(x, 0) = u0 (x)
i) Resolver por separación de variables. Probar que los autovalores son no negativos y las autofunciones
son ortogonales. Calcular, en términos de la serier de Fourier, la solución de la ecuación.
ii) Probar la unicidad de soluciones por técnicas de energı́a.
$
d $L
iii) Integrando la EDP entre 0 y π, obtener que dt
u(x, t) dxt = 0 y por tanto 0L u(x, t) dx =
0
$L
0 u0 (x) dx.
$
iv) Justificar que lı́mt→∞ u(x, t) = L1 0L u0 (x) dx.
39 Sea

40 Para T > 0 denotemos por QT = {(t, x) : 0 < t ≤ T, 0 < x < L}, el rectangulo Q̄T = [0, T ] × [0, L]
al que se le ha quidado la base y los dos lados laterales. Denotemos por ∂p QT = Q̄T \ QT , la frontera
parabólica de QT . Observemos que ∂QT = ∂p QT ∪ {(T, x) : 0 < x < L}.
Sea w(t, x) una función continua en Q̄T , C 1 en tiempo y C 2 en espacio y sea a(t, x) > 0 y c(t, x) ≤ 0
en Q̄T . Probar lo siguiente
i) Si w verifica
wt − a(t, x)wxx − b(t, x)wx − c(t, x)w < 0,
(t, x) ∈ QT
entonces w no puede alcanzar un máximo local positivo en QT .
ii) Si w verifica
wt − a(t, x)wxx − b(t, x)wx − c(t, x)w ≤ 0,
w(t, x) ≤ 0,
(t, x) ∈ QT
(t, x) ∈ ∂p (QT )
entonces w ≤ 0 en Q̄T .
iii) Supongamos que F (t, x) está definida en QT y verifica |F (t, x)| ≤ N en QT . Supongamos también
que |w(t, x)| ≤ M en ∂p (QT ). Probar que si w verifica
wt − a(t, x)wxx − b(t, x)wx − c(t, x)w = F (t, x),
(t, x) ∈ QT
entonces |w(t, x)| ≤ M + N T .
41 En las condiciones del Ejercicio 40, probar que el problema de valores iniciales


 ut − a(t, x)uxx − b(t, x)ux − c(t, x)u = F (t, x),
u(t, 0) = ϕ(t), u(t, L) = ψ(t),


u(0, x) = f (x), 0 ≤ x ≤ L
t≥0
(t, x) ∈ QT
tiene a lo sumo una solución que sea continua en Q̄T , C 1 en tiempo y C 2 en espacio.
|x|2
1
− 4t
, con t > 0, x ∈ IR.
e
1/2
& (4πt)
0
si x '= 0
i) Probar K(t, x) > 0 y lı́m K(t, x) =
.
t→0
∞
si
x=0
'
ii) Para todo t > 0,
K(t, x) dx = 1. Dibujar aproximadamente la gráfica de K(t, x) para varios
42 Sea el Núcleo del Calor K(t, x) =
IR
valores de t > 0.
iii) Comprueba que Kt − Kxx = 0 en IR para t > 0.
iv) Probar que (K(t, ·) ∗ K(t0 , ·))(x) = K(t + t0 , x) para todos t, t0 > 0.
v) Demuestra K(t, x) es C ∞ en (t, x) y que para todo i, j ∈ IN , las derivadas verifican
∂ i+j
(K(t, x)) → 0
∂xi ∂tj
exponencialmente rápido con |x| → ∞ y polinomialmente rápido con t → ∞.
9
43 Generalizar los resultados del problema anterior para el caso N dimensional, teniendo en cuenta
|x|2
1
− 4t
que en este caso el Nucleo del Calor viene dado por KN (t, x) =
e
, con t > 0, x ∈ IRN .
(4πt)N/2
Observese que KN (t, x1 , . . . , xN ) = K(t, x1 ) · · · K(t, xN ), donde K es el nucleo del calor unidimensional del ejercicio anterior.
44 Consideramos la ecuación del calor con dato inicial continuo y acotado en IRN
ut − ∆u = 0,
u(0, x) = u0 (x),
i) Demostrar que si u0 (x) ≥ 0 y no idénticamente nula, entonces u(t, x) > 0. Concluye que si dos datos
iniciales verifican u0 (x) ≤ u1 (x) entonces las soluciones verifican la misma desigualdad.
ii) Demostrar que
|u(t, x)| ≤ %u0 %L∞
iii) Demuestra que si u0 ≥ 0 es además integrable entonces
!
IRN
u(t, x) dx =
!
IRN
u0 (x) dx
−
iv) Demuestra que si u0 = u+
0 − u0 es integrable entonces
!
IRN
y
!
|u(t, x)| dx ≤
!
u(t, x) dx =
!
IRN
IRN
IRN
|u0 (x)| dx
u0 (x) dx
v) Demuestra que si u0 es integrable
|u(t, x)| ≤ %u(·, t)%L∞ ≤
10
1
%u0 %L1
(4πt)N/2