Práctica 3: Distribuciones de Probabilidad Binomial, Poisson y Normal

Práctica 3: Distribuciones de Probabilidad Binomial,
Poisson y Normal
Ejercicio 1:
Todos los días se seleccionan de manera aleatoria 12 unidades de un proceso
de manufactura, con el propósito de verificar el porcentaje de unidades
defectuosas en la producción. Con base a informaciones anteriores se sabe
que la probabilidad de tener una pieza defectuosa es 0.05. La gerencia ha
decidido detener la producción cada vez que una muestra de 12 unidades
tenga dos o más defectuosas.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que en cualquier día la producción se
detenga?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que haya exactamente dos defectuosas?
X: “Nº de piezas defectuosas en 12 unidades”; X → B(12 , 0.05)
! P[La producción se detenga] = P[X≥2]
! P[Haya dos defectuosas] = P[X=2]
El cálculo de probabilidades en SPSS se hace a través de la calculadora del programa.
SPSS ofrece la posibilidad de calcular valores de las funciones de densidad así como
valores acumulados de la función de distribución.
Para la función Binomial en concreto, utilizaremos las siguientes funciones:
CDF.BINOM(cant, n, prob). Devuelve la probabilidad acumulada de que el número de
éxitos en los n intentos, con una probabilidad de éxito prob para cada uno, sea menor o
igual que la cantidad cant.
PDF.BINOM(cant, n, prob). Devuelve la probabilidad de que el número de éxitos en n
ensayos, con probabilidad de éxito prob en cada uno de ellos, sea igual a cant.
Atendiendo a la definición de esta función, las probabilidades que debemos calcular se
reformularían del siguiente modo:
P[La producción se detenga] = P[X ≥ 2] = 1- P[X < 2] = 1- P[X ≤ 1] =
= 1 – CDF.BINOM(1, 12 ,0.05) = 1- 0.88 = 0.12
P[Haya dos defectuosas] = P[X = 2] = PDF.BINOM(2, 12, 0.05) = 0.1
Ejercicio 2:
Un laboratorio descubre que en una población hay un 5% de probabilidad de
padecer una cierta enfermedad. Si se seleccionan 8 miembros de esta
población aleatoriamente,
a) ¿Cuál es la probabilidad de que no más de dos padezcan esta
enfermedad?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que no haya ningún miembro en la
muestra seleccionada que padezca la enfermedad?
X: “Número de personas que padecen la enfermedad de entre los 8 individuos
seleccionados”
X → B(8 , 0.05)
! P[X < 2] = P[X ≤ 1] =CDF.BINOM(1, 8 ,0.05) = 0.94
! P[X = 0] = PDF.BINOM(0, 8 ,0.05) = 0.66
Ejercicio 3:
Si X es una variable aleatoria con distribución de Poisson de parámetro 2,
calcular las siguientes probabilidades:
P[X > 6 ]
P[X < 4]
P[X = 5]
P[X ≤ 6 ]
P[0 ≤ X < 4]
P[3 < X]
P[5 > X]
P[2 < X < 5]
P[1 < X ≤3]
P[1 ≤ X ≤ 6]
P[1 < X < 3]
P[0 < X < 4]
P[1 < X < 6]
P[5 ≤ X ]
P[2 < X ]
PDF.POISSON(cant,media) . Devuelve la probabilidad de que un valor de la
distribución de Poisson, con el parámetro de tasa o media especificado, sea igual a cant.
CDF.POISSON(cant,media). Devuelve la probabilidad acumulada de que un valor de
la distribución de Poisson, con el parámetro de tasa o media especificado, sea menor o
igual que la cantidad cant.
" P[X > 6 ] = 1 - P[X ≤ 6 ] = 1 – CDF.POISSON ( 6, 2) = 1 – 1 = 0
" P[3 < X] = 1 - P[X ≤ 3 ] = 1 – CDF.POISSON ( 3, 2) = 1 – 0.86 = 0.14
" P[1 < X < 3] = P[X = 2] = PDF.POISSON ( 2, 2) = 0.27
" P[X < 4] = P[X ≤ 3] = CDF.POISSON ( 3, 2) = 0.86
" P[5 > X] = P[X ≤ 4] = CDF.POISSON ( 4, 2) = 0.95
" P[0 < X < 4] = P[X ≤ 3] - P[X = 0] = CDF.POISSON ( 3, 2) – PDF.POISSON (
0, 2) =
= 0.86 – 0.14 = 0.72
" P[X = 5] = PDF.POISSON ( 5, 2) = 0.04
" P[2 < X < 5] = P[X ≤ 4] - P[X ≤ 2] = CDF.POISSON ( 4, 2) – CDF.POISSON
( 2, 2) =
= 0.95 – 0.68 = 0.27
" P[1 < X < 6] = P[X ≤ 5] - P[X ≤ 1] = CDF.POISSON ( 5, 2) – CDF.POISSON
( 1, 2) =
= 0.98 – 0.41 = 0.57
" P[ X ≤ 6] = CDF.POISSON ( 6, 2) = 0.995
" P[ 1 < X ≤ 3 ] = CDF.POISSON(3, 2) – CDF.POISSON(1, 2) = 0.45
" P[ 5 ≤ X ] = 1 – CDF.POISSON(4, 2) = 0.05
" P[0 ≤ X < 4] = CDF.POISSON(3, 2) = 0.86
" P[1 ≤ X ≤ 6] = CDF.POISSON(6, 2) – CDF.POISSON(0, 2) = 0.86
" P[2 < X ] = 1 – CDF.POISSON(2, 2) = 0.32
Ejercicio 4
Se cree que el peso de las crías de cierta raza de perro es una variable
aleatoria normal de media 2.5 kg. y desviación típica 1. Se han tomado datos
de 10 camadas, obteniéndose los siguientes resultados:
Camada
Pesos
(kg)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
2.64 2.83 3.11 2.19 2.48 2.60 2.45 2.51 2.39 2.50
2.14 2.18 2.67 2.31 1.63 2.51 2.62 3.02 2.51 2.23
2.52 2.51 2.62 2.44
a) Representar gráficamente estos datos y comparar con la forma de la
distribución normal. ¿Se puede admitir gráficamente que estos datos
se distribuyen según una normal?
b) Calcular la probabilidad de que el peso de un cachorro sea mayor que
2 kilos.
c) ¿Qué peso tendrá el 20% de los cachorros que más pesan?
Seleccionamos
abriéndose entonces la ventana de diálogo:
Se obtienen los siguientes resultados:
En primer lugar se indican los detalles del contraste referentes a la distribución utilizada
y el procedimiento empleado para representar los datos, así como los parámetros
estimados a partir de los datos de la muestra
MODEL: MOD_1.
Distribución contrastada: Normal
Fórmula de estimación de la proporción utilizada: Blom
Rango asignado a empates: Media
_
Para variable PESO ...
Parámetros de la distribución normal estimado: ubicación = 2.48375 y
escala = .29823849
Y a continuación SPSS ofrece el gráfico Q-Q.
Normal gráfico Q-Q de PESO
3.2
3.0
2.8
Valor Normal esperado
2.6
2.4
2.2
2.0
1.8
1.6
1.8
2.0
2.2
2.4
2.6
2.8
3.0
3.2
Valor observado
Representamos los datos junto con la curva normal
10
8
6
4
2
Desv. típ. = .30
Media = 2.48
N = 24.00
0
1.63
1.88
1.75
PESO
2.13
2.00
2.38
2.25
2.63
2.50
2.88
2.75
3.13
3.00
X: “ Peso de las crías de una cierta raza de perro”; X → N (2.5; 1)
CDF.NORMAL(cant,media,desv_típ). Devuelve la probabilidad acumulada de que un
valor de la distribución normal, con la media y desviación típica especificadas, sea
menor que la cantidad cant.
P[X > 2] = 1 - P[X ≤ 2] = 1 – CDF.NORMAL(2, 2.5, 1) = 1 – 0.31 = 0.69
IDF.NORMAL(prob,media,desv_típ). Devuelve el valor de la distribución normal, con
la media y la desviación típica especificadas, para el cual la probabilidad acumulada es
prob.
P[X ≥ k] = 0.20
1 – P[X < k] = 0.20
P[X < k] = 0.80
k = IDF.NORMAL(0.80, 2.5, 1) = 3.34
Ejercicio 5
Simular una muestra de tamaño 50 de una distribución Binomial de
parámetros n = 5 y p = 0.95
RV.BINOM(n,prob). Devuelve un valor aleatorio de la distribución Binomial, con el
número de intentos y el parámetro de probabilidad especificados.
(Para simular K datos es necesario haber introducido K valores en una variable)
Ejercicio 6
Simular una muestra de tamaño 50 de una distribución de Poisson de
parámetro λ = 4
RV.POISSON(media). Devuelve un valor aleatorio de la distribución de Poisson, con
el parámetro de media especificado
Ejercicio 7
Simular una muestra de 50 valores de una distribución Normal N(14; 4).
Representar estos datos junto con la curva normal
RV.NORMAL(media,desv_típ). Devuelve un valor aleatorio de la distribución normal,
con la media y desviación típica especificadas.