curvas cónicas intersección de cono recto y plano elipse

UNIVERSIDAD TECNILÓGICA NACIONAL
FACULTAD REGIONAL AVELLANEDA
CÁTEDRA DE
ÁLGEBRA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA
CURVAS CÓNICAS
INTERSECCIÓN DE CONO
RECTO Y PLANO
ELIPSE
HIPÉRBOLA
PARÁBOLA
DIRECTOR DE CÁTEDRA: ING. MARCELO PEYREGNE
PROFESORA: AGRIM. ADA DALLA CANEVA
UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA NECIONAL
FACULTAD REGIONAL AVELLANEDA
CÁTEDRA DE ALGEBRA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA
EJE DE ROTACIÓN
CURVA
DIRECTRIZ
RECTA
GENERATRIZ
VÉRTICE
CÓNICA:
CURVA PLANA INTERSECCIÓN DE CONO Y PLANO
ECUACIÓN GENERAL DE SEGUNDO GRADO EN DOS VARIABLES:
a11 x2 + a22 y2 + 2 a12 x y + 2a13 x + 2 a23 y + a33 = 0
ADC
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CÁTEDRA DE ALGEBRA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA
ADC
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CÁTEDRA DE ALGEBRA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA
CONO RECTO INTERSECCIÓN CON PLANOS PARALELOS AL EJE
HIPÉRBOLA
DOS
RECTAS
DISTINTAS
ELIPSE REAL
ELIPSE PUNTO
PARÁBOLA
RECTA DOBLE
HIPÉRBOLA
PAR DE RECTAS
ADC
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CÁTEDRA DE ALGEBRA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA
CONO RECTO INTERSECCIÓN CON PLANOS PARALELOS A LA GENERATRIZ
DIRECTRIZ
GENERATRIZ
EJE
RECTA
DOBLE
PARÁBOLA
g
ELIPSE REAL
ELIPSE PUNTO
PARÁBOLA
RECTA DOBLE
HIPÉRBOLA
PAR DE RECTAS
ADC
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CÁTEDRA DE ALGEBRA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA
CÓNICAS : ELIPSE
X
a
2
2
Y
+
b
2
2
= 1
ECUACIÓN CANÓNICA
CON CENTRO EN EL ORIGEN DE COORDENDAS Y EJES COINCIDENTES CON
LOS EJES COORDENADOS
Y
B
d1
P
d2
XP
YP
a
A’
O
F1
A
c
a
c
X
F2
b
B’
ELEMENTOS DE LA ELIPSE
a = OA = OA’: semidiámetro mayor
b = OB = OB’: semidiámetro menor
c = OF1=OF2 : semidistancia focal
e = c / a < 1 : excentricidad
d1 y d2 : directrices de ecuación d1,2 → x = ± a / e
F1 , F2
: focos
2
2
2
TRIÁNGULO CARACTERÍSTICO : b + c = a
(RELACIÓN PITAGÓRICA)
|PF1|+| PF2 |=2 a:
Expresión de la elipse como lugar geométrico de
los puntos del plano cuya suma de las distancias a dos puntos
fijos del mismo, llamados focos, es igual a una constante: 2a.
ADC
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CÁTEDRA DE ALGEBRA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA
CÓNICAS: HIPÉRBOLA
X
a
2
2
Y
−
b
2
2
= 1
ECUACIÓN CANÓNICA
CON CENTRO EN EL ORIGEN DE COORDENDAS Y EJES COINCIDENTES
CON LOS EJES COORDENADOS
Y
d2
d1
ASÍNTOTA
ASÍNTOTA
P
YP
B
a
A’
F2
c
c
b
A
F1 XP
X
B’
ELEMENTOS DE LA HIPÉRBOLA
a = OA = OA’: semidiámetro real ( transverso)
b = OB = OB’: semidiámetro imaginario
c = OF1=OF2 : semidistancia focal
e = c / a > 1 : excentricidad
d1 y d2 : directrices de ecuación d1,2 → x = ± a / e
F1 , F2
: focos
2
2
2
TRIÁNGULO CARACTERÍSTICO : a + b = c (RELACIÓN PITAGÓRICA)
| | PF1| - | PF2 | |= 2 a
: Expresión de la hipérbola como lugar
geométrico de los puntos del plano cuya diferencia de las
distancias a dos puntos fijos del mismo, llamados focos, es
igual a una constante: 2a.
ADC
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FACULTAD REGIONAL AVELLANEDA
CÁTEDRA DE ALGEBRA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA
CÓNICAS: PARÁBOLA
: Expresión de la parábola como lugar geométrico de
los puntos del plano que equidistan de un punto fijo del
mismo llamado foco y una recta fija llamada directriz.
PF = PD
POSICIÓN CONÓNICA CON VÉRTICE EN EL ORIGEN DE COORDENDAS
ELEMENTOS DE LA PARÁBOLA
PARÁBOLA DE EJE Y
d: directriz (recta)
Ecuación:
F: foco (punto)
Eje de simetría: perpendicular a d
V: Vértice
Base: recta perpendicular al eje
de simetría que contiene a V
p: parámetro (distancia foco-directriz)
y = a x2 (función cuadrática)
Y
P
F
d
a = 1/ 2p : amplitud
X
V
e = 1= c / a :excentricidad
PARÁBOLA DE EJE X
2
Ecuación: y = 2 p
d
x
Y
P
YP = D
p/2
V
p/2
F
X
XP
d
ADC
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