Solutions

Tarea 8
Encuentre el área de el disco D de radio R usando el teoréma de Green.
De acuerdo con el teorema de Green, el área de la región D es;
1.
1
A=
2
Z
(1)
(xdy − ydx)
∂D
Como D es un discmo con centro en (0, 0) de radio R, la frontera ∂Dse puede
parametrizar mediante;
x = Rcos(θ) y = Rsin(θ),
0≤θ<2π
Entonces las derivadas dx y dy son;
dx = −Rsin(θ)dθ
dy = −Rcos(θ)dθ,
0≤θ<2π
Por lo tanto el área es;
1
A=
2
Z
2π
[(Rcos(θ))(Rcos(θ)) − (Rsin(θ))(Rsin(θ))] dθ
(2)
0
Reduciendo la expresiónnalmentese obtiene;
A=
1
2
Z
2π
R2 dθ = πR2
0
1
(3)
2. Verique el teorema de Green para el disco con centro (0, 0) y radio R y
la función P (x, y) = x + y, Q(x, y) = y .
Usando la parametrización;
x = Rcos(θ) y = Rsin(θ),
0≤θ<2π
Donde las derivadas dx y dy son;
dx = −Rsin(θ)dθ
dy = −Rcos(θ)dθ,
0≤θ<2π
El lado izquierdo de la identidad del teorema de Green es;
Z
Z
Z
(P dx + Qdy) =
∂D
(x + y)dx +
∂D
ydy
(4)
∂D
Sustituyendo la parametrización se obtiene;
Z
Z
(P dx+Qdy) =
∂D
2π
(−R2 cos(θ)sin(θ)−R2 sin2 (θ)+R2 sin(θ)cos(θ))dθ (5)
0
Reduciendo terminos se obtiene;
Z
(P dx + Qdy) = −R2
∂D
Z
2π
sin2 (θ)dθ = −R2 π
(6)
0
Por el teorema de Green la misma integral debe ser igual a;
Z Z D
∂Q ∂P
−
∂x
∂y
(7)
Se usará otra vez la parametrización de la Ec. (). Se puede escribir D
mediante 0≤r≤R y 0≤θ≤2π . Con esto se calcula ∂Q/∂x = 0 y ∂P/∂y = 1 y
con el jacobiano para coordenadas polarres J = r, el lado derecho del teorema
de Green se transforma en;
Z
0
2π
Z
R
(0 − 1)rdrdθ = −πR2
0
2
(8)
Encuentre el área del arco de cicloide x = a(θ − sin(θ), y = a(1 − cos(θ)
donde a > 0, y 0≤θ≤2π , y el eje x (use el teorema de Green).
El teorema de Green dice que el área es;
3.
1
A=
2
Z
(9)
(xdy − ydx)
∂D
De la parametrización para el cicloide se obtiene;
dx = a(1 − cos(θ) dy = asin(θ)dθ
Ya que el eje x forma parte de la frontera que se puede reescribir mediante
x = 2πa(1 − u) yy = 0 para 0≤u≤1. Tambien se observa que el cicloide va en
el mismo sentido que el giro de las manecillas del reloj, esto es; de izquierda a
derecha. Luego regresando de derecha a izquierda por el eje x. Como y = dy =
0, el área deseada es;
A=
1
2
Z
2π
[a(θ−sin(θ)·asen(θ)dθ−a(1−cos(θ)·a(1−cos(θ)dθ+
0
1
2
Z
1
(x·0−0dx)
0
Recudiendo terminos se obtiene;
1
A=
2
Z
2π
(a2 θsin(θ) − 2a2 θ+2a2 cos(θ)dθ
(10)
(11)
0
Usando integración por partes;
2 2π
Z
Z 2π
a2 2π
a
2
+
cos(θ)dθ + a
(−1 + cos(θ))dθ
A= −
2 0
2 0
0
(12)
Integrando nalmente nos queda;
2π
A = −a2 π + a2 [−θ+sin(θ)]0 = −3a2 π
(13)
Donde el signo menos que aparece es debido a que no se tomó la orientación
adecuada y debio tomarse en sentido contrario al giro de las manecillas del reloj.
Cambiando sólo el signo se obtiene el área contenida en un arco del cicloide,
3a2 π .
3
4.
Verique el teorema de divergencia para F = xi + yj y D el disco unitario
x2 + y 2 ≤1.
En coordenadas polares, sea;
x = rcos(θ) y = rsin(θ)
Donde se puede describir D mediante 0≤r≤1 y 0≤θ≤2π . Calculando la
divergencia de F se tiene que div(F) = 1 + 1 = 2. Como el jacobiano para
coordenadas polares J = r, se obtiene;
Z
Z
2π
Z
1
(2)rdrdθ = 2π
div(F)dA =
D
(14)
0
0
Por otro lado se sabe que la normal unitaria al círculo de radio 1 que apunta
hacia afuera es n = (cos(θ), sin(θ)), por lo tanto;
Z
2π
Z
F·nds =
(cos(θ), sin(θ))·(cos(θ), sin(θ))ds
∂D
(15)
0
Haciendo la integral nalmente se obtiene;
Z
F·nds = 2π
(16)
∂D
Por lo tanto se verica que;
Z
Z
div(F)dA =
D
F·nds
∂D
4
(17)
Evalue la integral de la componente normal de 2xyi − y 2 j alrededor de la
elipse denida por x2 /a2 + y 2 /b2 = 1.
Del enunciado anterior se pide evaluar;
5.
Z
(18)
F·nds
∂D
donde F = 2xyi − y 2 j. Por el teorema de divergencia, la integral anterior es;
Z
Z Z
F·nds =
(div(F)dA
∂D
(19)
D
Por lo tanto se tiene;
Z Z
Z Z
(2y − 2y)dxdy
(div(F)dA =
D
(20)
D
Finalmente;
Z Z
(div(F))dA = 0
D
5
(21)
6.Use el teorema de Green para encontrar el área de un lazo de la rosa de
cuatro pétalos r = 3sin(2θ).
Para formar uno de los pétalo de la rosa, se toma desde θ=0 hasta θ=π/2.
Con esto, el área esta dada por;
Z
1
A=
2
(22)
(xdy − ydx)
∂D
Usando coordenadas polares, sea x = rcos(θ) y y = rsin(θ). Como r es una
función de θ se obtiene dx = (∂θ (r)cos(θ) − rsin(θ)dθ y dy = (∂θ (r)sin(θ) −
rcos(θ))dθ. Sustituyendo en la igualdad del teorema de Green se obtiene;
A=
1
2
Z
π/2
(rcos(θ))(∂θ (r)cos(θ))−rsin(θ)−(rsin(θ))(∂θ (r)sin(θ)−rcos(θ))dθ
0
Realizando las operaciones correspondientes se obtiene;
1
2
A=
Z
π/2
(23)
(24)
r2 dθ
0
Sustituyendo la función de la rosa de cuatro pétalos;
A=
9
A=
2
Z
0
1
2
Z
π/2
π/2
(25)
2
(3sin(2θ)) dθ
0
1 + cos(4θ)
2
6
dθ =
9π
8
(26)
7. Sea n el vector normal unitario hacia fuera de ∂Bρ y ∂u/∂n = ∇u · n.
Muestre que;
Z
∂u
ds =
∂n
∂Bρ
Z Z
∇2 udA
(27)
Bρ
Usando la deifnición dada para ∂u/∂n;
Z
∂B
∂u
ds =
∂n
Z
∇u · nds
(28)
∂B
Aplicando el teorema de divergencia en el plano a la región B = Bρ ;
Z
∂B
∂u
ds =
∂n
Z
∇ · (∇u)dA
(29)
B
Por lo tanto;
Z
∂B
∂u
ds =
∂n
Z Z
∇2 udA
B
7
(30)
Suponga que u es una función denida sobre D (i.e., ∇2 u = 0 sobre D)
y que u tiene un máximo local (o mínimo) en el punto p en D. Muestre que u
debe ser constante en algún disco centrado en p.
Suponiendo que u(p) es un punto máximo sobre D dado que u es una función
armónica, entonces u(p) puede ser expresada como el promedio de su valor en
la circunferencia de cualquier disco centrado en p, esto es;
8.
1
u(p) =
2πR
Z
uds
(31)
∂B
Esto es posible solo si u(p) = u(q) para toda q en D.
Si u(q) < u(p) para alguna q en D, debe suceder que u(r) > u(p) para
mantener el promedio. Entonces, u debe ser constante en algún disco con centro
en p.
8