El pórtico ABCD de la figura es de sección rectangular de 30

El pórtico ABCD de la figura es de sección rectangular de 30 cm de ancho y 60 cm
de canto, y el módulo de elasticidad del material del que está fabricado es 20 GPa.
Entre las secciones A y D hay un tirante de acero de 2 cm2 de sección y 210 GPa
de módulo de elasticidad, cuya longitud puede variar por medio de un manguito
roscado. En el dintel del pórtico actúa una sobrecarga uniforme de 15 kN/m. Antes
de aplicar la sobrecarga, y por medio del manguito roscado, se acorta la longitud
AD del tirante lo preciso para que, al aplicar la sobrecarga, la distancia AD vuelva
a ser 16 m. Determinar el valor de la tensión en el tirante y de las máximas tensiones
de tracción y compresión en la sección H (sección media del dintel).
q
B
C
H
8m
A
D
6m
4m
6m
q
B
C
8m
A
F
F
6m
4m
D
6m
El desplazamiento horizontal de D, al aplicar la sobrecarga, debe ser nulo.
q
B
C
=
A
F
F
D
q
B
C
B
C
+
A
D
ESTADO 1
A
F
F
ESTADO 2
D
Estado 1:
q
B
A
C
D
4q/2
4q/2
Calcularemos el desplazamiento horizontal de D considerando:
a) la reacción vertical en D
b) la sobrecarga en el dintel
Estado 1(a):
(4q/2)10
(4q/2)10
(4q/2)6
(4q/2)16
(4q/2)6
B
A
C
D
4q/2
4q
4q
⎡
⎤
+
10
6
⎢
⎥
1 1
4q
2
1
4q
1
4q
r
2
2
⋅
⋅
⋅
+
⋅
⋅
+
⋅
⋅
⋅
+
⋅
⋅
⋅
u D ( reacción en D ) =
8
10
6
8
10
10
4
10
6
8
4
⎢
⎥=
EI ⎢ 2
2
2
2
3
2
2
3
⎥
⎣
⎦
1792q
=
EI
Estado 1(b):
8q
4q.2=8q
q
C
B
32q
A
D
r
1 ⎡1
1
1
⎤
u D ( sobrecarga ) = − ⎢ 4 ⋅ 8q ⋅ 8 + 10 ⋅ 24q ⋅ 8 + 10 ⋅ 8q ⋅ 4⎥ =
EI ⎣ 3
2
3
⎦
725 ,33q
=−
EI
Estado 2:
8F
8F
8F
8F
C
B
F
F
r
u D ( fuerza
=−
682 ,66 F
EI
F )=−
1
EI
D
⎡ ⎛1
⎤
2 ⎞
2
+
⋅
⋅
=
⋅
⋅
10
8
F
8
4
8
F
8
⎜
⎟
⎢ 2
⎥
3 ⎠
⎣ ⎝
⎦
r 1792q 725 ,33q 682 ,66 F
uD =
−
−
= 0 ⇒ F = 23 ,4375 kN
EI
EI
EI
Tensión en el tirante:
23437 ,5
σ=
= 117 ,19 MPa
−4
2 ⋅ 10
Tensiones en la sección H:
Esfuerzo axil (compresión): 23,4375 kN
Momento flector: (4q/2)8-2q-F.8=22,5 kN.m
σcompresión
=
H
σ
traccíón
H
23437 ,5 22500 ⋅ 0 ,3
+
= 1,38 MPa
0 ,3 ⋅ 0 ,6 1 0 ,3 ⋅ 0 ,63
12
23437 ,5 22500 ⋅ 0 ,3
=−
+
= 1,12 MPa
1
0 ,3 ⋅ 0 ,6
0 ,3 ⋅ 0 ,63
12