Concepto y Propiedades - Instituto Nacional de Estadistica.

ESTADlSTICA ESPAÑOLA
Vol. 30, Núm. 1 1 9, 1989, págs. 407 a 434
La función generadora de índices de precios
(FGIP) :
Concepto y Propiedades
por
ENRIQUE OLIVER PEREZ-SANTA CRUZ
Profesor Titular de Universidad (Teoría Económica)
Facultad C. C. Económicas y Empresariales. Universidad de Zaragoza
RESUMEN
En este artículo se define una función generadora de índices de
precios (abreviadamente FG I P) que
por satisfacer los axiomas
de un índice de precios
se constituye en un índice de precios
de carácter general, del que resultan, como valores particulares,
los índices de precios más importantes (Laspeyres, Paasche,
Marshall-Edgeworth, ideal de Fisher) así como el índice "verdadero" del coste de la vida (índice de Kon^s). Además de generar
estos índices, la FG I P posee ia importante propiedad de implicar
el "teorema del número índice", así como los límites observables del índice de Kon^is
Palabras clave.^ Generalización índices precios - teoría consumidor.
Clasíficación A MS: 6 2 P 2 0, 6 2 PXX.
0.
INTRODUCCION
En el presente artículo se pretende conseguir un tratarniento intec^rador
de los principales índices de precios, y del coste de la vida, empleados en la
parte de la Teoría Económica conocida bajo la denominación de teoria del
consumidor (o teoría de la demanda). En nuestro enfoque, los índices de
precios de Laspeyres, Paasche, Edgeworth, ideal de Fisher, y el índice
i til ^()I^il^ 1 t^f'^tic)1 1
verdadero" del coste de la vida, son elementos de una familia de índices,
que
par caracter^zar o generar a aquellos
la denominaremos FUNCiON GENERADORA DE INDICES DE PRECIOS (abreviadamente
FGIP) (1).
Si bien ta FG I P se formula en el campo de los índices funcionales,
haciendo abstracción de las relaciones entre precios y cantidades, en su
aspecto formal podemos situar a la FG I P en el árnbito de los índices
estadísticos. De este modo se demuestra que las expresiones, resultantes
de someter a la FG I P a las condiciones en que se formulan las definiciones
y axiomas adoptados por Eichhorn, constituyen índices estadísticos.
Volviendo al campo dé los índices funcionales, se demuestra que la FG I P
también se particulariza en el "'verdadero" índice dei coste de la vida. Para
demostrar que el índice de Koni;s también es generado por la FG I P, empleamos dos métodos: el convencional de la teoría de la utilidad ordinal y el
de la preferencia revelada en su versión fiexibfe de J. R. Hicks. Utilízando
ambos métodos por separado, se logra la determinación de Ios valores de
los parámetros, de los que depende la FG I P, para los que esta se particulariza en el índice de Kon^s. Con ello queda demostrado que ei índice de
Koniis es un valor particular (inobservable) de la FGIP.
Una vez obtenido el resultado anterior, es inmediato el establecimiento
de los límites del índice "verdadero" del coste de la vida que, por el
primer método (la teoría de la utilidad ordinal) se expresará mediante
desigua{dades estríctas, mientras que por el segundo método (la teoría de
la preferencia revelada) vendrá dado en términos de desigualdades débiles,
al alcanzarse una expresión más general que la obtenida con el primer
método. En cualquiera de {os dos casos está implicado el teorema del
número índice.
Por último, el desarrollo teórico precedente se completa con la ilustración
de la forma de la superficie con que se representa la FG I P. Definido el
dominio de la FGIP mediante un recinto cuya frontera son los lados de un
cuadrado, es curioso observar que los índices de precios de Laspeyres,
Paasche, e ideal de Fisher son los valores que toma la FG I P en los puntos
extremos del recinto, mientras que el índice de Marshall-Edgeworth es el
valor que toma la FG 1 P en la intersección de las diagonales del cuadrado.
De otra suerte, los valores de !os parámetros, para los que fa FG I P se
particulariza en el índice de KOIVUS, se encuentran en la diagonal que
conecta el extremo inferior izquierdo con el superior derecho. En definitiva
que la forma de la superficie con que se representa la FG { P i{ustra tanto ef
tearema del número índice como los límites de los índices funcionales.
L;^ t^^l'^v(^I(>^i t,E-tiEIZ^ACX^R:^ T)E: I^C^)I(^E^^S [)F^ NFtf.( IC)S IfC,1F^' ^
1.
LA FUNCION GENERADORA DE INDICES DE PREC^OS (FGIPj
Supongamos una situación inicial, o de referencia, definida por el triple
ordenado S° =(p°, y°, q°), en donde p° es el vector de precios iniciales, y° la
renta monetaria percibida por el consumidor en la situación inicial, q° el
complejo adaptado en el sentido de Roy (1 941 ), es decir, la combinación
de cantidades de bienes elegida por el su jeto para los anteriores datos de
precios y renta nominal.
Consideremos una situación de camparación S' p= (p', y' P q' P), en
donde, para un nuevo sistema de precios (p' ), la renta monetaria (y"^ es
tal que el complejo adaptado (q' ^ es el punto del hiperplano (2) y° = p°q
por el que pasa la curva en el espacio especificada mediante { q ^ U,/p; _
U2/p2 =...= U„/pñ }, en donde U,, i= 1, ... n, denotan las derivadas parciales de la función de utilidad ordinal U= U(q), cuya existencia resulta de la
axiomática del consumidor. Para el caso de dos bienes, la representación
del punto q' P viene dada en la figura 1. Nótese que el superíndice " 1" va
seguido del superíndice "'P" para expresar que, en el tránsito de q° a q' P
permanece constante la renta real-Paasche (o renta nominal deflactada
mediante el índice de precios de Paasche de la situación de comparación
respecto a la de referencia), según se ilustra, para el caso de dos bienes, en
el gráfico que sigue
(Figura 1 )
.^io
^^r.^^^sric^^^ EsW^tior..^
Una vez fijados los puntos q° y q'P definimos las combinaciones lineales
convexas
qz=(1-a) q°+aq^P
,
,q^ - (1 _^) qo + ^q^P ,
pa ra 0 < a< 1
(1.1)
para0<^3< 1
(1.2)
en donde a y^3 (que pueden ser iguales o distintos) son superindices
mediante los que se indica que, por ejemplo, la combinación q^` está compuesta de un tanto por uno (1-a) de q°, y de un tanto por uno a de q'P.
Consideremos los índices simples de precios ( o ratios de precios p; / p°,
para i= 1,2, ..., n), en términos de los cuales puede definirse un índice de
precios conjunto, o compuesto, como algún tipo de media ( aritmética,
geométrica, armónica, etc.), ponderada de algún modo que consiga dar
mayor importancia, en el índice compuesto, a los precios de los bienes de
mayor consumo, y que exprese en un solo número ( el índice compuesto) el
promedio de las n ratios, p; ,i p°. Con tal objeto, definamos
- ó - "x ,
pq
pa ra
^ W;'.^ = 1 ,
1,2,. . ., n
(1.3)
E W;^^ -- 1 , i=1,2,. . ., n
(1.4)
Y
W ;r^ _
p'^ ^^^
, para
Pq
como pesos, o ponderaciones, que indican el tanto por uno de gasto
efectúado por el sujeto en el bien Q;, si
hipotéticamente
se hubiese
situado en qz Io en q^) a los precios de referencia, p°, (o de comparación,
p' ), respectivamente.
Para las ponderaciones anteriores, Ilamaremos función generadora de
indices de precios, (abrev. FGIP^, a una función de los índices simples,
definida por la media geométrica de las medias aritmética (a) y armónica
(H) de índices simples de precios, ponderadas con los pesos W°`x y W;^f,
respectivamente. En efecto:
pt qx
po
po q x
(1.5)
LA h'l'NC'ION C;ENERA[x)RA DE INDIC'ES DE PKEt'I(iS IF(;IP)
1
p' Q ^
^
n
^ W'
^^ ^
po q^f
(
`
1
0
p, f P,
(1.6)
^
En consecuencia, la media geométrica de a y H es
ló (a,^3) =
a.H =
ip'qx/p°q^) . lp'q^/p°q^)
11.7)
que constituye una expresián general de los indices de precios de la teoría
de la demanda, al permitir
para distintos valores de los parámetros a y
obtener los índices de precios de Laspeyres, Paasche, Edgeworth, e
J3
el índice
aunque inobservable en la práctica
"ideal" de Fisher, así como
de Kon^s. En efecto:
- para a=^3=0 ; ló (0,0)= p'qo/poqo , que es el INDICE DE LASPEYRES
ILó )
- pa ra a=^=1 ; I ó(1,1)= p^q^P^poqrP , que es e! INDICE DE PAASCHE
( Po )
- para a= _ ^ ; I' ( ^, ^)_ { p' (qo+q'^ } 1{ po Íqo+ 'o) }, ue es el
^ 2 0 2 2
q
q
INDICE DE EDGEWORTH (Eó )
- para a=-1, ^3=0 ; ló (1,0)= ^l Ló • Pó , que es el INDICE IDEAL DE FISHER
IFo )
- para a!-0, ^3=1 ; ló (0,1)= ló ( 1,0) , que es el INDICE IDEAL DE FISHER
(Fó )
Como ha podido apreciarse, el indice general I^ (a,^3) puede representarse
mediante una superficie definida en el recinto 0< a, ^ < 1 siguiente
^
r
/d,
/^'^
(Figura 2)
1/2
1/2
. F
1 ^
a
EST.^t)IST I('A E SPAti(:)l_,A
de modo que cuando el par ordenado (x,^3) cae en los puntos L, P, E, F, la
función ló (x,^) nos da los índices de LASPEYRES, PAASCHE,
EDGEWORTH, e ideal de FISHER, respectivamente.
Por otra parte, la función ló (a,^3) puede definirse de dos formas alternati-
vas equivaientes con la anterior (^`).
( il Llamemos H, y Ho a las medias armónicas de los índices p; / p° y de
sus inversos (p°/ p; ), ponderadas con los pesos W;^ y W°^, respectivamente. Se sigue que
1
^ W'^^
,
;_ ^
1
P' q^
po q^i
1
^
o
P, ^ p,
,^
oa
^ ;_^^ W % ^
1
p^o / p^^
^
P' q `^
po q ^
11.9)
de dande
ló (a,^) _ (H^/Ho)^^2
(1.10)
(ii) Llamemos ao a la media aritmética de los índices simples p'/ po
ponderada con los pesos W°x, y designemos con a, a la media aritmética
de los índices p°/ p; ponderada con W'^. Consecuentemente, se tiene
I ó( a,^) _( ao/ a^)^ ^2
^ 1.1 1)
de donde (1.10) y(1.1 1) son equivalentes a(1.7).
2.
FGIP E INDICES DE 6ASE ESTADISTICA
Bajo el título del presente epígrafe, consideramos la FG I P en el contexto
de !a aproximación "atornística"' de Ragnar Frisch 11936) o, empleando la
terminología de P. Samuelson (1947), en el marco de la teoría estadística
de los números índices, como contraposición a la aproximación funcional
(Frisch) o teoría económica de los números índices (Samuelson).
(')
^or sugerencia del evaluador.
l..A Fl"ti<'IOti ( ;E^.^+F_Rr1[^OR.-^ [^^ ItiDI('ES DF^. F'KE^^^IO^ tF^(,IF')
La FG I P ha sido definida en el campo de los índices funcionales, ya que
que permiten establecer las
los puntos extremos del segmento (q°,q'pÍ
están ligados mediante una
combinaciones lineales convexas q' y q^`
funcián de demanda general. Sin embargo, en el presente apartado (como
excepción al tratamiento dado a la FG I P en el resto del artículo) se hace
abstracción de tal relación funcional para contemplar la FG I P sólamente
en su aspecto formal, al objeto de averiguar si satisface los axiomas de un
índice estadístico de precios.
AI considerar la expresión formal de la FG I P en el ámbito de los índices
estadísticos, los precios y las cantidades de !os bienes se suponen pertenepor lo
cientes a colectivos distintos e independientes, pudiendo dar lugar
a tres situaciones. (1 ) Cuando la
que respecta a los índices de precios
función con que se define el índice depende solamente de los precios, sin
que las cantidades entren a formar parte de sus argumentos; por ejemplo,
el caso del índice de Sauerbeck,
Iç _ ^ ^ (
n ,_,
que según E. García España (1 980) se atribuye también a Carli (1 764). (2)
Cuando el índice depende de los precios de referencia y de comparaci^ón en
condiciones de constancia de las cantidades de bienes. (3) Cuando el índice
depende de precios y de cantidades, pero ambos son independientes entre
sí, de modo que 1os primeros no influyen en las segundas.
Como prueba de que la FG I P es una familia de índices de precios, debe
de las cinco definiciones adoptadas par Wolfgang Eichhorn
señalarse que
(1978) para dar respuesta a la pregunta: zqué es un índice de precios?
los valores de la FG I P satisfacen a todas ellas con la excepción de la
cuarta, dedicada al índice de Divisia, ya que este índice no tiene por objeto
comparar dos situaciones precio-cantidad sino reflejar los cambios en los
precios y en las cantidades, en todos los momentos que median entre
ambas situaciones. Por tanto, empleando la expresión abreviada '" FG I P'"
para referirnos tanto a la familia de índices como a cualquier elemento de
la misma, se tiene
2.1 Primera proposición.
La FG I P es un cociente de niveles de precios en el sentido de Eichhorn
(4).
p^ q^
p^ qi^
^ p^ qz . p^ q^s
N(p^ I qx,qis)
(2.1 )
P° q x
p° q^`
` p° q^' p° q^`
N( p° I q X, q^f )
^I^
E:.STr^DISTIt^^:^ E:SPAaULA
en donde N(p' ^ q',q^j) _^' p' q' • p' q^ es un nivel de precios de comparación, y N(po ^ qX q^^) _,^ po qz . p° q^` es un nivel de precios de referencia.
Escribiendo N(p ^ q',q^1) _^; pq^ • pq^f para referirnos a cualquiera de los dos
n^veles de precio^, se tiene:
(i) N(p ^ q z,q^j) es una función que, manteniendo constantes los vectores
qz y q^, asigna a cada vector de precios p E R+ un número real
N(p ( q^,q^) E R+ . Más abreviadamente, N:R+--^ R+, tal que p E R+, implica
N(P ^ q^,q^l E R+ .
(ii) La función N(p ^ qz,q^^) satisface el axioma de monotonía del nivel de
precios, en virtud del cual
N(P ^ qX-q^`) ^ ^I Pqx ' Pq^^ > tir Pqz ' ^q^j ^ N(^ ^ q^`.q^}, para p>^ (2.2)
significado que la función N(p ^ qz,q^f) es estrictamer^te creciente. Nótese
que la desigualdad p>^ debe entenderse en el sentido p, >p,, ..., pn >p,,,
siendo p^ p.
(iii) La función N(p ^ qx,q^j) satisface el axioma de homogeneidad lineal
del nivel de precios, es decir
N (^^p ^ qx,q^j} _
(^ p) q x•(^. p) q^^ _
^^ Pqx ' Pq^3 =^. N(P ^ qx-q^); para ^, E R+
( 2.3 }
de donde, si todos los precios absoiutos varían en la misma proporción, el
nivel de precios N también varía en dicha proporción.
2.2 Segunda proposición.
La FG I P satisface la definicián A de un índice de precios, formulada por
Eichhorn en los siguientes términos: "Un índice de precios es una función l
tP en el texto original), l:R++ > R,^ ,(p°,p) > l(p°,p), dada por l(p°,p) _
N(p1 / N(p°), en donde N es el nivel de precios ^L en el texto original), p° es
el vector de precios del periodo base (o vector de precios de referencia) y p
el vector de precios de comparación ".
De acuerdo con la definicicán A anterior, la FGIP, dada por la expresión
^/[ (p' qz) / ( po qX) ] • [ ( p' qif) / (p° qif) ], puede interpretarse como una
función I:R++ > R,^ tal que, para cualquier ( p°,p' ) E R++ , se tenga una
imagen I(p°,p' ^ qx,qjf) E R.^.} igual al cociente de los nivPles de precios de
comparación y de referencia, es decir
p^ qz
p^ q^s
_
i(p°,p' ^ qx,q^`) _
P° qz
Po q^j
.^ p^ qx . p^ q^1
_
_
ti Po qz ' Po q^f
N(p^ I qx^q^t)
(2.4)
N (p° ^ qx,q^^)
LA FUNC'I{)N (;f:NER.^[X)RA UE-. Iti[)IC ES DF PRECIOS IF(;IF 1
^^S
en donde el símbola I(p°,p' ^ qz,q^f) denota el índice de precios de la situación de comparación respecto de la situación de referencia, cuando se
toman como dadas las combinaciones de cantidades de los bienes considerados. De ahí que, en el marco de la definición A de Eichhorn, nuestros
vectores qz y q^ no figuren como argumentos en la función con que se
expresa el índice de precios. Por dicho motivo, en lugar de eliminar qx y q^f
de tal función, hemos situado los argumentos (p°,p') a la izquierda de la
línea vertical, mientras que los vectores de cantidades los hemos colocado
a la derecha de la línea, con el objeto de advertir, no solamente de la
constancia de sus componentes, sino de su no pertenencia a los argumentos de la función con que se define el índice de precios en cuestión.
Teniendo en cuenta la definición A de índice de precios y los das axiamas que, por definición, satisface el nivel de precios en el sentido de
Eichhorn (nota 4), se demuestran las cuatro propiedades siguientes:
2.2.a Propiedad de monotonía del índice de precios, en virtud de la cual
la función I(p°,p' ^ qz,q^`) es estríctamente creciente respecto a los precios
de comparación y estríctamente decreciente respecto de los precios de
referencia. En efecto, por el axioma de monotonía del nive! de precios,
^
N(p ^ q z,q^f )> N(í3 ^ q z,q^f ) cuando p> p.^ Consecuentemente, para p>
p^^
se tiene
N(p' ^qz,q^s)
N( p' ^ q x' q^j )
^( p ° , P ' ^ q x , q j^}
N(P° ^ qx.q^`)
^
N(P° ^ qz.q^f )
_ I( o~^
z s
_
p,p ^ q,q ^ )
(2.5)
mientras que, para p° > p°, resulta
I (p° , p' ^ qx , q^f} -
N (p' I qx'q^f )
x^r )
N(po ^ q,q
`^
N (p' ^ q^'q^^)__._ _
_ ^( ^o ^
X ^
^
^
p,
p
^
q,
q^)
z )
^ o ^ q,q
N(p
(2.6)
Por tanto, la FG I P satisface la propiedad de monotonía del índice de
precios correspondiente a la definición A de Eichhorn. Esta proposición
resulta facilmente de la expresión
p^ qx
poqz
p^ q^t
poq^^
>
<
p'qz
po q z
p^q^f
po q/f
Po = po
para p' >
_ P' Y
para P° > P° Y P' = p'
por lo que la FG I P verifica el cumplimiento de (2.5) y(2.6)
(2.7)
^:sr^^r^is^^r^c^.^ E^^^^F^.^^;c^l_-^
^lf^
2.2.b Propiedad de homogeneidad lineal del índice de precios. Se establece que, si se multiplican todos los precios de comparación por i^^ (siendo
^^ R,^), entonces, el valor del índice queda rnultiplicado por ^+^. En efecto,
apiicando el axiama de homogeneidad lineat del nivel de precios, se tiene
_
o
I 1 p^. P^ q-q
I z^^ 1 -
N(^ p' ^ Q^^ q^f }
N(p° ( qz,q^^l
^t N( p' ^ q x, q^'}
_
^. I(p', P° ^ q^, q^}
N (p° ( qz,qu}
(2.8}
en virtud de la cual la FG I P satisface la propiedad de homogenéidad lineal del í ndice de precios correspondiente a la definición A de Eichhorn.
Esta proposición puede verificarse, facilmente, teniendo en cuenta que
(^, p^^qX (^, p^}qi^
po q^^
p° q ^s
r.
p^ qz
p^ q<<
pOqx
pOqJt
(2.9)
2.2.c Propiedad de identidad. Partiendo de la definición A, que concibe ai
índice de precios como un cociente de niveles de precios, puede escribirse
Ilp',p° I qz,q^S) = N(p' ^ qX,qJf} / N(p° ( qz,q^!} =1, para p' = p°, de donde la
F G I P satisface la propiedad de identidad. I( p°, p° ^ q z, q^f }=1, lo que, ta mbién puede comprobarse haciendo p' = p° en la FGIP.
2.2.d Propiedad de dimensionalidad de las precios absolutos. De acuerdo
con esta propiedad, un cambio en la unidad monetaria, con que se expresan los precios de los bienes, no altera el valor dei índice. En efecto, para
r^ R^, la definición A de índice de precios y el axioma de hornogeneidad
lineal del nivel de precios permiten establecer
1°^ ^ x jf i(^p'^`p Iq 'q }_
N( i^^ p' ^ q x, qu }
z ^^
^ o
Nl^±p ^q ,q }
í^ N( p' ^ q^, q^^}
í^N(p° ^ qz,q^j}
-
Í p', p° ^ q^, q^`)
(2.10}
La verificación de esta propiedad en la FGIP se obtiene, de forma trivial,
multiplicando por ^^ los vectores de precios de referencia y de comparación,
en ia raíz con que se expresa tal función generadora. Así pues, la FGIP
satisface la propiedad de dimensionalidad de los precios absolutos.
2.3 Tercera proposición
La FGIP satisface la definición B de Eichhorn. Con arreglo a la misma,
"una función 1.^R2n+ => R^, (p°,p) -> I(p°,p), se denomína índice de precios si
l satisface el axioma de monotonía j2.2.a), el axioma de hornogeneídad lineal
j2.2. b), el axioma de identidad j2.2. c), y el axioma de dimensionalidad (2.2, d).
L,A F^l "ti( IO`r (;[^.tiER,AC)O[tA [)F Itifal(^[.S C)f Nftf ( I<)S If ( ^ 1F'M
417
De este modo e/ va/or /(p°,p^ representa e/ va/or de/ índice de precios en la
situación de precios (p°,p^". Nótese que las cuatro propiedades, que se
deducen de los axiomas del nivel de precios y de la definición A de un
índice de precios, se toman como axiomas en la definición B. Por ello, en el
contexto de esta definición nos referiremos a tales propiedades como los
axiomas de la definición g. Puesto que la FG I P satisface aquellas, entonces, también satisface estos. Par tanto, la FG I P satisface la definición B
de Eichhorn de índice de precios.
2.4 Cuarta proposición
La FG I P también es un índice de precios de conformidad con la definición C de Eichhorn, establecida en los siguientes términos: "Una función
I.^RQ+ -^ R,^, siendo (qo,po,q, p^ ^/^qo po q, p^, se denomina índice de precios
(dependiente de /os precios y de /as cantidades) si / satisface los cinco
axiomas siguientes para todo (q°,p°,q, p) E R4+ ". De entre estos cinco axiomas, los cuatro primeros son análogos a los establecidos en la definicíón B.
EI quinto axioma se refiere a ias cantidades de bienes. En efecto, los
axiomas de la definición C de índice de precios son:
2.4.a "Axioma de monotonía.
l(p°, p°, q, p) >/(q°,p°, q^, p^
si p > p`
/(p°, p°, q, p^ </(q°,p°, q, p1
si p° > p°
2.4.b Axioma de homogeneídad /ínea!
/(q°,p°,q, ^.pi = ^^l(q°,p°,q, p1
2.4.c Axioma de ídentidad
/rq°,p°, q, p°i = 1
2.4.d Axioma de dimensíona/idad
/(q°,,^^p°,q, i^^p) _ /(q°,p°,q, p)
2.4.e Axioma de conmensu^abilidad"
De acuerdo con este último axioma, se establece que un cambio en las
unidades físicas, en que se miden cada uno de los bienes, no altera el valor
de la función I. En efecto, teniendo en cuenta que hay que redefinir los
precios absolutos, al objeto de que representen el núrnero de unidades
monetarias que se entregan por cada una de ias nuevas unidades de los
bienes, se tiene:
f:^TAf)I^TI( A f:SP,AÑOI.A
I (q°, /1.,,..., q^ /^.n;,^^, p°, ,...,^.,,p^; q,/^t,,...,q„
_ ! (q°,p°,q,p) , para ^.,,...,^.,, E R,^
^^^
, p , , . . ., ^.,, p„ ) _
(2.1 1)
La FG I P satisface los axiomas ( 2.4.a) a(2.4.d), por razones formalmente
análogas a las expuestas para verificar el cumplimiento, por la mencionada
función generadora, de las propiedades ( 2.2.a) a (2.2.d).
La FG i P también satisface e! axioma ( 2.4.e). Para verificar esta afirmación, hay que recordar que tanto a como ^3 representan superíndices ly no
potencias) que son independientes de las unidades en que se exprese cada
uno de los bienes. Por ejemplo, la componente i-ésima del vector q^ es
(1-a) q,°+ aq^ con las unidades físicas iniciales, pero si estas unidades se
incrementan al doble, entonces, dicha cornponente pasa a ser 11 -^1
{q°/2 ^ + a{ q,'p/2 )_{q^/2 ). Por otra parte. también seré doble el precio de
la nueva unidad física del bien Q;. Por tanto
P' q^
po q^
De las consideraciones anteriores se sigue que la FG I P satisface ef
conjunto de los cinco axiomas independientes (5), bajo el que se establece la definición C de índice de precios.
Por último, consideremos el conjunto de los tests de Fisher que Ragnar
Frisch (1936, p.5) considera como más importantes: F.1, identidad {ló! 1);
F.2, reversibi^idad (ló I,°= 1); F.3, circularidad (ló I; = ló ); F.4, comensurabilidad (el índice no se altera al cambiar la unidad de medida de los bienes);
F.S, determinabilidad {si algún precio, o cantidad, se anula, entonces, el
índice de precias na ha de hacsrse nulo, ni infinito, ni indeterminado); F.6,
proporcionalidad (6) (si los precios de la situación de comparación son
proporcionales a los de la situación de referencia, entonces, el índice coincide con el factor de proporcionalidad). Es sabida que no existe ningún índice
de precios que satisfaga todos los tests anteriares (F.1 a F.6) {7). Por ello,
LA f^^l'^('I(7^J (^E:^iERAC)ORA DE ItiC^I(^ES [)E PKF^^a"IOS IF^^(;II'I
41 y
el mencionado sistema de tests de Fisher no es satisfecho íntegramente
por ninguno de los índices de precios generados por la FG ! P, es decir,
por ninguno de los índices de precios que resulta de dar valores particulares a los parámetros a y^3 de la función ló (a,^3).
3.
FGIP E INDICE DE KQNl1S
Consideremos el índice de Kon^s (1924), Ilamado por este índice "verdadero" del coste de la vida. Escribamos Kó (UR) = K(p°, p', UR) para denotar el
índice de Kon^s de una situación de precios de comparación (p' 1 respecta
de una situación de precios de referencia (p°), bajo la claúsula de constancia de la satisfacción en el nivel prefijado (UR) para la situación de referencia. Por definición, Kó 1UR) es la razón de los mínimos gastos necesarios
para alcanzar la misma hipersuperficie de indiferencia (8), UR=U (q), en las
situaciones de precios p' y p°. En símbolos:
Kó (UR) _ K(po^p^^UR
G (p', UR)
G (p°, UR)
(3.1)
en donde G=G (p, U) es la función de gasto empleada en la teoría de la
dualidad. En adelante, supondremos que UR^ U°^ U(q°)
EI problema, que nos ocupará en este apartado, consistirá en determinar,
si existen los valores a=a* y^3=.^3* para los que la función generadora de
índices de precios, l ó(a,^3), se particulariza en el índice "verdadero" de!
coste de la vida (o índice de Kon^s). Para abordar esta cuestión seguirernos
dos caminos. Para recorrer el prirnero ernplearemos la axiomática convencional de la teoría de la conducta del consumidor, tal como la establece
Wold (9) (1953). Para el segundo, seguiremos la axiomática de la teoría de
la preferencia revelada en el sentido flexible o débil de Hicks (10) (1956).
3.1 Determinación de los valores de los parámetros para los que, bajo
la axiomática convencional del consumidor, la FGIP se particulariza
en el índice de Konus
La obtención de los valores a=a* y/3=^3*, para los que se verifica
algunos de los cuales
ló (a*,^3* )= Kó , requiere recorrer una serie de pasos
se ilustran en la figura siguiente
^^^)
F ti1 ^t^l^^T i( .1 F.SP•^titll..•^
(Figura 3)
-que nos aproxirnarán al resu{tado que resuelve el problema planteado en
el párrafo anterior
l_A F'['ti('IOti (iF:NF:R^IDOR.^ DE-. ItiDI('f_.S DF PRE(^IOS It GIf'^
^i 2 I
a} Se Ileva a cabo la determinación del vect©r q° que resuelve el
problema Max. U=U (q) sujeto a y°=p°q, en donde y° es la renta monetaria
de la situación de referencia o inicial.
bj La determinación del vector q'P (el prirner superíndice se refiere al
sistema de precios, el segundo a una posición particular dentro de la
correspondiente trayectoria de expansión) se efectúa del modo que sigue:
Considerando un cambio del sistema de precios de p° a p', la intersección,
de la curva de Engel en e1 espacio de bienes (U,/p; =...=U„/p^ ), con ei
hiperplano de balance de la situación de referencia, y°=p°q, constituye el
vector q'P cuya determinación buscamos. Por tanto, teniendo en cuenta
que y° _ p°q° junto con y'P= p' q'P se sigue
q'P ^ ^ q^ P°q°=P°q ^ n{ q ^ P' q'P=P' q}
(3.2)
c} La determinación del segmento [qo,q ^P^ ^ ^ q I poqo_poq }, cuyos
puntos representan los diversos vectores en que pueden particularizarse las
combinaciones lineales convexas definidas en (1.1) y(1.2}.
d^ La determinación del vector q'K que, para el nuevo sistema de
precios p', minimiza el gasto ( o coste) de alcanzar el mismo nivel de
satisfacción U(q°) de la situación de referencia. En otros términos, q'K es el
vector que resuelve el problema de min G=p'q sujeto a U(q°)=U(q), por lo
que U ( q'K)=U (q°}
e) Llamemos qz* al punto que resulta de la intersección del segmento
I qo,q^P ^ C^ q ^ poqo_ poq } con la recta ( fig. 3) que, a su vez, viene dada
por la intersección de los planos poqo=poq y p^q^K_p^q. Por pertenecer qa^
al segmento ^ qo,q'P ^ puede representarse mediante la combinación lineal
convexa
q^* _(1 - a* ) q°+ a* q' P,
O< a< 1
13.3i
Por otra parte, por pertenecer qz* a la recta, que resulta de la intersección
de poqo= poq y p^q^K= p^q, satisface a la segunda de estas, es decir
p'q'K=p' [ (^ -a*) q ° + a* q'P ] _
p'q°+a* j p^q^P_p^q°)
(3.4}
de donde
p^qo _ p^q^K
a* _ p^qo _ p^q 1P
(3.5)
E.ST•^^I^T I(^A E:SE'Ati()E.A
que es el valor ,z=a• buscado. Este valor ( representable por un punto del
eje Oa, de la fig. 2) se designará con ^3* cuando se represente en el eje 0^3,
es decir a* = j3*.
f) Si a=a*=^3*=^3, entonces, ló (a*,^*) _ ló la',a*)=Kó ( U°). En efecto: para
a=^3=a*, la expresión ( 1.7 ) de la FG i P se convierte en
p,q^.
i ^ (a*
0
poq ^.
P' [(1- a* ) q° + a* q'P ]
P° [( ^- a* ^ q °+ a* q' P]
p^qo _ a* ( p^qo _ p^q^P)
poqo _ a* (poqo _ poq^P)
(3.s)
Teniendo en cuenta que q'P ^{ q ^ p°q°=p°q }, es decir p°q'P=poqo, y sustituyendo en (3.6) ia expresión que resulta de despejar la diferencia
p'q°-p'q'P en (3.5), se tiene
p^q^K
I ^( a* , a* 1-- ^ P"q"
yrK
Y°
^[ P',^(q°1 ]
^ = K(p°,p',U°)=Kó (U°)
(3.7)
G [ P°- U (q°) ^
en donde p'q'K es el menor gasto con que, a los nuevos precios p', puede
alcanzarse el nivel U(q°) inicial, dado que U(q°)=U (q'k) es la condición
impuesta de constancia del nivel de vida; mientras que y'K e y° son los
niveles de renta que, a precios p' y p°, se gastarían íntegramente de modo
óptimo en q'K y q°, respectivamente. Nótese que (3.7) expresa, tautológicamente, que la FG I P"genera" el índice de Kon^s a partir de un valor (a*)
obtenido suponiendo conocida la estructura de gastos (p' q'K) de la situación de Kan^s, que desde el punto de vista práctico es inobservable.
3.2 Determinación, a partir de la FG I P, de los límites del índice de
Koniis en el contexto de la axiomática convencionaf.
Dado que q° soluciona el problema de max. U=U (q) sujeto a y°=p°q,
siendo q'PE { q ^ y°=p°q }, la axiomática adoptada (Wold, 1953) garantiza
que q° es un óptimo único, por lo que U(q°) > U(q'P). Teniendo en cuenta
que la función de gasto es creciente (1 1) en U, y que e1 menor gasto de
obtener (a precios p' ) el nivel de satisfacción U(q°) es el mismo que el
menor gasto de alcanzar (a los precios mencionados) el nivel U(q'K), se
tiene
G [ p^, U ( q ^K) ] _ G [ p^, U (qo) ] > G [ p^, U (q ^P) ]
(3.8)
LA, Et'NC'IO^1 GENERADORA DE INDICES DE PRECIC)S (FC^IP1
^? ^
Por otra parte, dado que a precios p' y bajo la condición de constancia
de la renta real aparente (12) de Slutsky (191 5), especificada mediante la
claúsula p'q°=p'q'^, la combinación q'^ es la que resuelve ei problema de
max. U=U (q) sujeta a p'q°=p'q, resulta U(q'^1 > U(q°), de donde
"
G [ P^, U (q ^^ ) ^ > G
[ P', U iq°) ^
(3.9)
por lo que, de (3.8) y(3.9) se sigue
G [ p^^U(q^c) ^ > G [ p^^U(q^K) ^ > G [ p^^U(q^P) ^
(3.1 fJ)
que podemos escribir en la forma
p^qo > p^q^K > p^q^P
(3.1 1 )
Consecuentemente, multiplicando por (-1) los tres miembros de la cadena
de desigualdades anterior, sumando p'q° a cada uno de los miembros de la
cadena resultante, y dividiendo por el tercer miembro cada uno de los tres
miembros de la cadena que resulta de la segunda transformación, se obtiene
0<a*< 1
(3.12)
Por
tanto, ^(a*,/3* ) E{(a, f3) ^ 0^< a=^3 < 1}
tal
que
l ó(a*,^3* )_
K[ p°,p', U(q°) ], es decir que, bajo la axiomática de la teoría tradicional
de la conducta del consumidor, existe un punto interior del segmento
{(a,J3) ^ O< a=^ < 1} para el que la función generadora de índices de
precios ( FGIP) se particulariza en el índice de Konus o índice '"verdadero" del coste de la vida.
3.3 FG I P e índice de Konus, desde el punto de vista de la versión
flexible de la preferencia revelada
Bajo la axiomática de la teoría de la preferencia revelada, en la versión
flexible de Hicks (1956), consideremos las siguientes situaciones:
3.3.a Sea q°(p°,y°) el vector de cantidades de bienes que elige el sujeto,
cuando el sistema de precios viene dado por el vector p° y la renta
monetaria por el escalar y°. Si, en estas condiciones, el agente elige q°
(que, en adelante, expresaremos mediante el símbolo Eq°), entonces, q° se
revela estríctamente preferido a las combinaciones asequibles de rnenor
gasto, y preferido o indiferente (es decir, no inferior) a las combinaciones
asequibles de igual gasto. En símbolos
ES1.^^[)f1il( ^ fSF'^ti<)t_A
:^?^
[ Eq° ^P°.y°) E^ q ^ Y°=P°q }^
[q°R^brq ^ {q^P°q^ y°}](3.13)
en donde RÑ denota que el término que figura a su izquierda se revela
preferido o indiferente al término de su derecha.
3.3.b Sea y'P el nivel de renta monetaria para el que, a precios p', el sujeto
elige una combinación q'P tal que
q^^ (p^, y^P) E{ q M y^P _ p^ q} { q ^ y°^p°q }
Í3.141
en donde con el superíndice "P"' se hace referencia a la situación cuya
en que se sitúa el sujeto a precios p', gastándo
combinación óptima (q'P)
podría adquirirse a los precios iniciales
íntegramente su nivel de renta y'P
p°. La razón de elegir, precisamente, la letra P para designar dicha situación, estaba en que en el tránsito de la combinación q° a la q'P se mantenía
constante !a renta real-Paasche, o renta real que resulta de deflactar la
renta rnonetaria y'P mediante el índice de precios de Paasche de la mencionada situación respecto de la inicial.
Por pertenecer q'P a la intersección anterior, se tiene que q'P E
o Por tanto, dado que, por 3.3.a, ^I
{ q ^ yo^p 0 q}, significando que p0^P_
q
po q.
sujeto eligió q°, entonces, se revela que q° es preferido o indiferente a q'P.
En símbolos, q°R^q'P. De ahí que, si el sujeto elige q'P(p',y'P^ , entonces,
P' q'P c P' q°
el
a precios p'
3.3.c Sea y'K el nivel de renta monetaria para el que
sujeto elige una combinación q'K. Si, como exige la definición de índice de
^ Koni^s (y como procede J. R. Hicks para determinar sus pruebas de indiferencia), las combinaciones q° y q'K son indiferentes entre sí, entonces las
pruebas de indiferencia de Hicks ^ 13) vienen dadas por las desigualdades
Eq° siendo p°q° < P°qrK
Eq'K siendo p' q'K < p' q°
(1.^ prueba de indiferencia)
(2.a prueba de indiferencia)
(3.1 5)
(3.16)
La primera prueba de indiferencia nos dice que q° no puede revelarse
preferido a q'K. Ahora bien, por 3.3.b, la elección de q°(p°,y°) reveló que q°
es preferido o indiferente a q'P. Dado que q° es indiferente con q'K (por
hipótesis), también se revela que q'K es preferido o indiferente a q'P. Por
el1o, si el sujeto elige q'K1p', y'K), e1 gasto en q'K deberá ser mayor o igual
que ef gasto en q'P. En símbolos
Eq'K, siendo p'q'K> p'q'P .
(3.17)
LA Fl'tiC'1011 ( iEtiE^R,A[^ORA DE=. ItiDIC'FS DE PRE^C IOS IF(iIP)
Restando p' q°, en ambos miembros de la expresión anterior, se tiene
p'q'K-p'q°> p'q'P-p'q° Por la segunda prueba de indiferencia el primer
miembro dé esta desigualdad es no positivo. Por las conclusiones obtenidas en el punto 3.3.b, el segundo miembro de dicha desigualdad, también
es no positivo. Consecuentemente, considerando que el segmento ^q°,q'P
no es degenerado, se sigue que p'q'P-p'q° < O, de rnodo que multiplicando ambos miembros de la susodicha desigualdad por la cantidad negativa
1/( p' q'P-p' q°) resu Ita
0 < a* _
P' q' K- P' q°
<
1
(para p'q'p_p'q° < 0)
(3.18^
P' q' P- P' q°
que para los valores a=^3=a* particulariza la FGIP en el índice "verdadero"
del coste de la vida.
La cadena de desigualdades O< a* < 1, obtenida en (3.18), proporciona
los límites en que debe de estar comprendido el valor a*, que permite
establecer el par ordenado (a*,^3*) ^( a*,a*) cuya imagen, según la FGIP, da
lugar al índice de Koniis, es decir ló (a*,a*) = Kó . Por otra parte, las imágenes, según la FG I P, de los pares ordenados (a,^3)=(0,0) y (a,^i=(1,1 ), son
los índices de precios de Laspeyres (Ló ) y de Paasche {Pó ), respectivamente.
La desigualdad 0< a* ^ 1 se refiere a elementos del dominio de l ó(a,^l,
pero no a sus imágenes. Para comparar estas, de (3.16) y(3.17), se
obtiene
P' q' ^ < P' q' x< P' q°
(3.19)
dividiendo por p°q'P el primer miernbro de la desigualdad
de donde
anterior y, habida cuenta que poq^P=poqo, dividiendo por p°q° el segundo y
resulta
tercer miembro
Pó<Kó<
(3.20)
que es la expresión de la conocida generalización de J. R. Hicks (14)
(1 956). Poniendo esta última cadena de desigualdades en términos de
nuestra FG I P, se tiene
ló (1,1) < l ó(a*, a*) < ló ( O,o)
sobre la diagonal LP de las figuras 2 y 4.
(3.21)
ESTADIS T IC'A ESPA VOLA
4.
REPRESENTACIQN GRAFICA DE LA FGIP
Para determinar la forma de la superficie, con que se representa a la
función generadora de índices de precias, deberá tenerse en cuenta que
poq ^P_poqo=^ y p^ q^P_ p^ q° .^ 0. Sobre estas bases queda determinado el
signo de las siguientes derivadas:
Las derivadas parciales de l á(a,(3) respecto de a y de ^3
a ló 1 a,^3)
c^ a
1
p' q^
P' q' P- P' q°
2 lá (a,^31
p°q^
p°qx
1
P'qX
P'q'P-P'q°
2 ló (a,^31
p°qx
po q^r
< 0
(4 . 1)
< 0
(4 . 1)
y, analogamente,
a ló (a,^1
a j^
de donde se sigue que son decrecientes las curvas resultantes de seccionar
la superficie ló (a,^3) con planos perpendiculares al coordenado a0^, y cuyas
tra2as en este último sean rectas paralelas a los ejes Oa y 0^3.
Las segundas derivadas parciales de I© (a,^) respecto de a y de ^:
ó21ó (a,^)
a a^
1
P'q^
2
P°q^
P' q'P-P' q°
P°qz'[!ó (a-^j1]2
a l ó ( a,^3)
aa
< 0 (4.3)
y análogamente a21 ó(a,^3) / a j^2 < 0, según resulta de intercambiar a por _^
en la expresión anterior. Conse_cuentemente, !as curvas l ó(a,^), para ^3
constante, o bien l ó(a,^3), para a constante, son estríctamente cóncavas
respecto al eje Oa, o respecto ai eje Oj^.
Las líneas de nivel de la superficie con que se representa la FG 1 P,
ló (a,/31=constante, son cu rvas decrecientes y estrícta mente cóncavas respecto del origen. En efecto, partiendo de la condición dló (a,j3)=o, resulta
d j3
da
p ^ q^;
^ x
Pq
(4.4)
<0
de donde, la segunda derivada a lo largo de la misma curva de nivel
d2,^
d a2
= 2( p' q' p- p' q° ^
p' g ^f
^.z 2
(Pq1
(4.5)
LA FIJN('ION (,ENERA[^(JRA DE I!'VDICES DE PRE('IO^ fF^;IPf
4?7
expresa, con su signo negativo, la concavidad estricta de la línea de nivel
respecto del eje Oa, lo que
unido al hecho de ser dicha línea decreciente
equivale a que la línea de nivel (o isaíndice) sea estríctamente cóncava
respecto al origen
La FG I P es simétrica respecto a la diagonal {(a,^3) ^ 0 _
< ^3=a _< i}, es
`
`
decir
(4.6)
ió (a.^) = ló (^3,a)
cuya demostración es trivial.
Por último, toda curva que resulta de seccionar la superficie ló (a,^)
mediante un plano perpendicular al coordenado a0 j3, y cuya traza en este
último es una recta perpendicular a la diagonal {(a,^3) ^ 0_< J^=a< 1}, tiene
un máximo en cada punto en que dicha diagonal e ^ cortada por su
perpendicular. En efecto, derivando ló (a,^) totalmente respecto a a, cuando a y f3 están ligados a través de ^=-a+b, para b> 0, se tiene
dló (a,^3)
da
al
áa
al
a^3
, para a=^
(4.7)
que
por cumplirse en cada punto de intersección de las rectas ^3=-a+b y
^3=a, que tiene lugar dentro del recinto de coordenadas ( a,J3) no negativas y
no mayores que la unidad
constituye ia condición necesaria de un máximo de ló (a,-a+b). Por otra parte, obteniendo la segunda derivada total,
respecto a a, cuando a y^3 están ligados por la misma relación ^3=-a+b,
resu Ita
cf l ó( a, ^3)
` 0
d a^
14.8)
como expresión de la condición suficiente de máximo.
Teniendo en cuenta (4.1) a(4.8), se obtiene Ia superficie del gráfico que
sigue
^?K
f.:ST ^^[)ISTI( ^1 f ^P^1tiO[ ^^
que constituye la expresión gráfica de la función generadora de índices
de precios (FGIP)
1..^1 F^l'ti('IOti ( ;F^.tiF^F2.A[x)K^^ F)F= I^,[71C'F-S [)E: F'RF( IOS If:(;IF')
NOTAS
(1) Nuestro tratamiento es distinto del que, partiendo del índice estadístico de
Bowley, obtiene los índices de precios de Laspeyres, Paasche, Edgeworth, así como,
desde un punto de vista formal, el índice de Bowley funcional. Véase García España,
E. y Serrano Sanz, J. M. (1 980), pp. 305-8.
(2) Téngase en cuenta que el producto interior de p y q, es decir p'q, fo expresamos mediante pq, en donde el vectar que premultiplica se considerará vector fila,
mientras que el que postmultiplica expresará un vector coiumna.
^3) La 5.a definición de Eichhorn (1978, p.1 7) corresponde a su definición E de
índice de precios, por la que establece un concepto muy general de índice del coste
de la vida, del que solamente consideraremos el caso más importante (en que
permanece constante la dimensión del espacio de bienes y el nivel de satisfacción
en el tránsito de la situación de referencia a la de comparación) tratado por la
literatura económica
(4) En virtud de la definición de nivel de precios de Eichhorn ( 197$, p.6) "una
función
L.^R+ => R+ , p --^ L (p)
se denomina nivel de precios --en donde L(p1 representa e/ valor del nive/ d'e precios
en la situación de precios p
si, para todo p^=^ R+ , L satisface los dos axiomas
siguientes.^
axioma de mvnotonía, por el cual la función L es estríctamente creciente
L(p) ^^ L(p ) si p> p
axioma de homogeneidad /ineal, en virtud del cual, si se multiplican por ^. todos y
cada uno de los precios, entonces, el valor de L queda multiplicado ^., es deeir
L(^.p1 = r.L(p) , (^. ^ lq^ .,
( 5) E I "'teorema (3. 71 " d e E i c h horn ( 1 9 7 8, p.10 ): "los axiomas de monotonía, homogeneidad lineal, identidad, y dimensionalidad son independientes en el sentido siguíente.^ una función l( P e n e I orig i n a I) puede satisfacer a tres de es tos axiomas sin
satisfacer a/ restante".
EI "teorema (3.18)" de Eichhorn ( 1 978, p.1 4) por el que se establece que "/os
axiomas de monotonía, homogeneidad lineal, identidad, dimensionalidad, y comensura6ilidad, son independientes en el sentido del 'teorema (3.7)' ".
(6^ EI test de proporcionalidad considera que si todos los precios del periodo de
referencia se multiplican por ^_, 1^: E R.}.,_), entonces el valor del índice de precios es
igual a^. En símbolos I(q°,p°,q,^.p°)-r., para ^. E R^, (véase Eichhorn, Op. Cit., p.14).
EI test de proporcionalidad es consecuencia de los axiomas de homogeneidad lineal
y de identidad. En efecto, por el primer axioma (( qo,po q^, )_^ I(qv^pa q,p) que, para
p=p°, se convierte en I(q°,po,q, f p°)=^ I(qv,po,q,po), de donde, por el axioma de
identidad, resulta igual a^. La FG I P satisface este test. La demostración es trivial.
^30
ES T A DIST 1CA ESRA ÑOL_A
(7^) 5eñala Eichhorn (Op. cit., p.14j, 'inientras los axiomas de monotonía, homogeneidad lineal, identidad, dimensivnalidad, y comensurabilidad, son independientes y
consístentes en el sentido de que hay funciones l (P en el original) que satisfacen a
todos el%s. Sin embargo, el famoso sistema de l. FISHER, por el que se establecen lvs
tests con que se aprecia !a ca/idad de un posib/e índice de precios, es incansistente"
Esta inconsistencia tiene lugar en virtud del "teorema (3.24/" enunciado por Eichhorn
(Op. Cit. p. ^ 5), y demostrado por Eichhorn y Voeller (1976, secciones 3.2 a 3.5).
Este teorema establece que "/os tests de comensurabilidad, proporciona/idad, circularidad, reversibi/idad y determinabi/idad, son inconsistentes en el sentido de que nv exíste
una funcián /(P en el originaC) que satisfaga a todos e/%s. Además existen subconjuntos incansistentes de estos tests siendo los más peq ^uer3os e/ formada por /os tests
(proporciona/idad, circularidad, y reversibilidad/, y e! constituido por los tests (corrensurabi/idad, pro/^orcionalidad, circu/aridad, y determinabilidad^"
j8) En la versión al castellano del artículo de A. A, Koniis (1924, p.4$), se señala
q u e 'á/ ca/cular e/ índíce ^ea/ de/ coste de !a vrda campa^ ^^mos e/ cos te mvnetario
de dos combinaciones diferentes de bienes que únicamente están reiacionadas por el
hecho de que, durante el consumv de estas dos cambinacianes, el estado general de /a
^atisfaccián de /as necesidades' (e/ nivel de vida) es e/ mismo" R especto de este
texto de Kon^s, deben hacerse las siguientes consideraciones: 1) el término "real"
debe entenderse en e1 sentido de "verdadero", por lo menos este es el sentido que
se da en ta traducción al inglés (del origina! ruso) que para el profesor Henry Schultz
hizo Jacques bronfenbrenner; 2) el estado general de 'satisfacción de las necesidades' lo refiere Kon^s a una familia media perteneciente a un estrato dado de la
población (©p. cit., p,45), por ello no existe inconveniente en referir tal índice al caso
del consumidor como unidad de decisión; 3) ei "coste monetario de una combinación de cantidades de bienes", a que se refiere el anterior texto de Kon^s, debe
entenderse en e! sentido de menor coste con que --a unos precios dados
puede
alcanzarse dicho nivel de vida. Esta última consideración da pie a que, actualmente,
se exprese el índice "verdadero" del coste de la vida como ef cociente entre 1a
función de gast© (o de coste), definida para el sistema de precios y el nivel de
satisfacción de la situación de comparación, y el valor de la función de gasto
correspondiente al vector de precios y nivel de satisfacción de la situación de
referencia, cuando ambos nive{es de satisfacción coinciden. (Véase A. G. Deaton y J.
Muellbauer (1 983, p.1 ?0)
^9) En el sistema axiomático de Herman WoCd (1953, pp.82-3), se distingue entre
axiomas de la conducta económica (constituidos por los axiomas de comparación, transitividad y elección) y los supuestos de regularidad --Ilamados así
porque permiten aplicar los instrumentos, o herramientas usuales, de) análisis matemático-- constituidos por los supuestos de insaciabilidad, continuidad de las preferencias, y diferenciabilidad (suavidad). Los axiomas de comparación (que emplea la
disyunción exclusiva), de transitividad, y los supuestos de insac^abilidad y de continuidad de las preferencias, garantizan la existencia de una función de valores reales
Ilamada función de utilidad ordinaC, con la propiedad de ser continua (H. N. Weddepolh, 1970, pp.104-6). EI supuesto de diferenciabilidad garantiza que cualquier
hipersuperficie de n dimensiones (siendo n la dimensión de1 espacio de bienes),
LA Fl1NCION GENERADORA DE INDICES DE PRECIOS ( F'^;IP1
431
obtenida a pariir de la anterior función de utilidad, es doblemente diferenciable.
Adicionalmente se garantiza la convexidad de las preferencias mediante el supuesto de que la función de utilidad es estríctamente cuasicóncava, equivalente al
axioma de convexidad estrícta de las preferencias tal como lo formula H. Varian (v.c.
1980, p.95), el cual constituye una generalización del principio Hicksiano del decrecimiento de la relación marginal de sustitución.
(10) En la primera parte de su "Revisión de /a Teorra de /a demanda" 11956), J. R.
Hicks considera que la ordenación rigurosa o fuerte no puede mantenerse salvo
en el caso especial en que la cantidad de M(bien compuesto, constituido por el
"dinero gastado en todos los demás bienes" distintos de Q^, que incluye el ahorro, y
cuyo precio es igua I a la unidad, p,y-..1) y la cantidad q^ del bien Q,, varíen de
forma discreta. En otros términos, que si se admite que M varía de modo contínuo
y que el sujeto, para el mismo q^, prefiere tener més cantidad de M que menos,
entonces hay que abandonar la ordenación rigurosa. AI adoptar Hicks la ordenación
flexible, o débil, considera el caso de dos bienes (en el que deben de satisfacerse
las condiciones de congruencia y de transitividad, la continuidad del bien (M) tomapara la
do como base, y la insaciabilidad respecto de M, en el sentido de que
el sujeto desee más cantidad de M que menos), y el caso de n
misma cantidad q^
aparte de satisfacer los supuestos correspondientes al caso de dos
bienes (que
presenta la dificultad de que, conforme aumenta la lista de bienes q,,...,q^,
bienes
los argumentos para considerar un bien M(que varíe de forma cantinua y satisfaga
la condición de no saturación) son cada vez menos significativos. Sin ernbargo,
admite Hicks, aún en el caso extremo de que tenga lugar esta dificultad, la ordenación flexible o débil puede mantenerse siempre que se encuentre un bien real
finamente divisible que actúe como el "bien base" M.
(11) La funcián de gasto es: (1 ) contínua en U y p; (2), cóncava en p; (3), no
decreciente en p y creciente en U; (4) homogénea de grado uno en p. Véase R. R.
Russell y M. Wilkinson (1979, p.83, nota 5). En la nota, que acabamos de referenciar, hay una errata. Por ello, véase H. Varian (v.c. 1980, p.107), que completa la
relación de propiedades de la función de gasto
^ 12) EI término renta real aparente asociado a Slutsky, si bien es empleado por
autores como Friedman (1962), Ekelund, Furubotn y^ramm (1 972), etc., na aparece expiícita dicha denominación en el artículo de Slutsky. Sin embargo, sí aparece el
término de "pérdida aparente" (p.39 de la v.c.), de modo que la renta real aparente
puede interpretarse como la que, ante variaciones en los precios, resulta de efectúar
acomodaciones hipotéticas en el ingreso manetario que compensan la pérdida aparente. Friedman (1954, p.263) expresa la renta real aparente deflactando el ingreso
monetario, de la situación de comparación, mediante el índice de precios de Laspeyres, de dicha situación respecto a la de referencia. Se trata, si designamos a la renta
real can la denominación del defiactor empleado, de la renta real-Laspeyres.
(13 ) EI razona miento de H icks (1 9 56, v.c. de 19 58, p.13 3) es el sigu iente: "Consideremos el paso de una posición (q°), e%gida a preeios (p°), a una posición (q' )
e%gida a precios (p' ^, cuando e/ cambío en e/ ing^eso entre /as dos posíciones es
ta/ que se mantiene /a indiferencia. Sabemos, por la teoría de la congruencia que si
^i^?
r 5r ^^^^^sric^^ E.s^^:^tic^t.^^
(p °q' 1<(p °q°1, s e re vela que (q°J es preferida a(q' J,- mientras que si (p' q°) <(p' q' J,
se revelaría que (q'J es preferido a(q° ^ . Si (q°/ y(q' j son indiferentes, ninguna de
estas desigualdades debe mantenerse. De este modo, si (q°J y(q' J son indrferentes, se
sigue que
(p°q'J > (p°q°J y (p' q°J > (p' q'J
(El casv en que ambas desigualdades se transforman en igua/dades es admitido,
inc/uso si (q°J y(q' ) no son idénticos. .. Será útil designar a ta/es desigua/dades con un
nombre: las llamaremos pruebas de indiferencia' : Nótese que las pruebas de
indiferencia no revelan la indiferencia entre q° y q', sino que -por el contrario- si
q° y q' son indiferentes, entonces, se satisfacen las pruebas de indiferencia. Por atra
parte, debe advertirse que, en la notación que hemos seguido en el texto principal
del presente trabajo, la combinación elegida, siempre la situamos en el primer
rniembro de la expresión (igualdad o desigualdad) que relaciona el gasto en dicha
combinación y e1 gasto en 1a combinación y el gasto en la combinación rechazada.
Este proceder difiere del seguido por Hicks que sitúa la cambinación elegida en el
segundo miembro de la desigualdad, tal como se ilustra en las anteriores pruebas de
indiferencia.
(14) En esta generalización de Hicks se establecen los límites inferior y superior al
índice "verdadero" del coste de la vida, así como el "teorema del número indice"
por el cual el límite impuesto por el indice de Paasche no puede exceder al que resulta
del índice de Laspeyres. De ahí que J. R. Hicks (1956, p.202J designe con tal denominación (de teorema de/ número indice) a/a desigualdad p°q' • p r q,o > poqo , p 1 q 1 D ividiendo ambos miembros por p°qr , poqo, se tiene la desigualcTad (p^qo^poqo) ]
(p'q'/p°q') en términos de índices de precios. Por el contrario, dividiendo pór
{p°q° • p'q°}, resufta que el índice cuántico de Laspeyres tiende a ser mayor que el
índice cuántico de Paasche.
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434
ESTAI^ISTIC'A ESPAÑOLA
SUMMARY
THE GENERATiNG FUNCTION OF PRICES INDEX: CONCEPT
AND PROPERTIES
!n this paper, I will define a generating function of prices index
tFGIP). This function satisfies the axioms of the definition of a
prices index and therefore it es possible to consider it as a
general pricex index. As specific values, we can get from this
MarshallPaasche,
the
Laspeyres,
function
generating
Edgeworth, and Fisher ideal indexes. This function can also be
used to compute the "true" living cost index. The FG I P holds
the "index number theorem" and the property of the observables limits of Konyus index.
Key wards: Generalization prices indexes-consumer theory
AMS C/asificatíon: 62 P20 Econometrics í62 PXX-Aplications)