Inducción Matemática: Sucesiones y Sumatorias

Inducción Matemática: Sucesiones y
Sumatorias
Departamento de Matemáticas
Inducción Matemática: Sucesiones y Sumatorias– p.1/15
Sucesiones: Idea
Imagine que una persona decide contar sus ancestros.
Inducción Matemática: Sucesiones y Sumatorias– p.2/15
Sucesiones: Idea
Imagine que una persona decide contar sus ancestros. Él
tiene dos padres,
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Sucesiones: Idea
Imagine que una persona decide contar sus ancestros. Él
tiene dos padres, cuatro abuelos,
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Sucesiones: Idea
Imagine que una persona decide contar sus ancestros. Él
tiene dos padres, cuatro abuelos, ocho bisabuelos,
Inducción Matemática: Sucesiones y Sumatorias– p.2/15
Sucesiones: Idea
Imagine que una persona decide contar sus ancestros. Él
tiene dos padres, cuatro abuelos, ocho bisabuelos,
dieciseis bisabuelos, y así sucesivamente.
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Sucesiones: Idea
Imagine que una persona decide contar sus ancestros. Él
tiene dos padres, cuatro abuelos, ocho bisabuelos,
dieciseis bisabuelos, y así sucesivamente. Estos números
podrían escribirse en una lista ordenada:
2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, . . .
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Sucesiones: Idea
Imagine que una persona decide contar sus ancestros. Él
tiene dos padres, cuatro abuelos, ocho bisabuelos,
dieciseis bisabuelos, y así sucesivamente. Estos números
podrían escribirse en una lista ordenada:
2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, . . .
El símbolo “. . . " se llama puntos suspensivos y son una
abreviatura para “y así sucesivamente".
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Sucesiones: Idea
Imagine que una persona decide contar sus ancestros. Él
tiene dos padres, cuatro abuelos, ocho bisabuelos,
dieciseis bisabuelos, y así sucesivamente. Estos números
podrían escribirse en una lista ordenada:
2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, . . .
El símbolo “. . . " se llama puntos suspensivos y son una
abreviatura para “y así sucesivamente".
Para expresar el
patrón de los números, suponga que cada uno etiqutado
por un entero indicando su posición en el renglón:
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Sucesiones: Idea
Imagine que una persona decide contar sus ancestros. Él
tiene dos padres, cuatro abuelos, ocho bisabuelos,
dieciseis bisabuelos, y así sucesivamente. Estos números
podrían escribirse en una lista ordenada:
2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, . . .
El símbolo “. . . " se llama puntos suspensivos y son una
abreviatura para “y así sucesivamente".
Para expresar el
patrón de los números, suponga que cada uno etiqutado
por un entero indicando su posición en el renglón:
Posición en el renglón
1
2
3
4
5
6
7
...
Número de ancestros
2
4
8
16
32
64
128
...
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Sucesión: definición
Definición
Una sucesión es una lista ordenada de elementos:
am , am+1 , am+2 , . . . , an
(1)
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Sucesión: definición
Definición
Una sucesión es una lista ordenada de elementos:
am , am+1 , am+2 , . . . , an
(1)
Cada elemento ak (léase “a sub k”) se llama
término.
Inducción Matemática: Sucesiones y Sumatorias– p.3/15
Sucesión: definición
Definición
Una sucesión es una lista ordenada de elementos:
am , am+1 , am+2 , . . . , an
(1)
Cada elemento ak (léase “a sub k”) se llama
término. La letra k en ak se conoce como subíndice
o índice.
Inducción Matemática: Sucesiones y Sumatorias– p.3/15
Sucesión: definición
Definición
Una sucesión es una lista ordenada de elementos:
am , am+1 , am+2 , . . . , an
(1)
Cada elemento ak (léase “a sub k”) se llama
término. La letra k en ak se conoce como subíndice
o índice. m es el subíndice del término inicial.
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Sucesión: definición
Definición
Una sucesión es una lista ordenada de elementos:
am , am+1 , am+2 , . . . , an
(1)
Cada elemento ak (léase “a sub k”) se llama
término. La letra k en ak se conoce como subíndice
o índice. m es el subíndice del término inicial. n es
el súbíndice del término final.
Inducción Matemática: Sucesiones y Sumatorias– p.3/15
Sucesión infinita: definición
Definición
Una sucesión infinita es un conjunto ordenados de
elementos que se pueden describir mediante una
lista:
am , am+1 , am+2 , . . .
(2)
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Sucesión infinita: definición
Definición
Una sucesión infinita es un conjunto ordenados de
elementos que se pueden describir mediante una
lista:
am , am+1 , am+2 , . . .
(2)
Una fórmula explícita o fórmula general para una
sucesión es una fórmula en función de k que
evaluada en k da el término ak .
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Ejemplo
Determine los 5 primeros términos de la sucesión
definida por la fórmula:
n
an = 3 b c, para n ≥ 4
3
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Ejemplo
Determine los 5 primeros términos de la sucesión
definida por la fórmula:
an = blog2 (n)c, para n ≥ 4
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Ejemplo
Determine en orden la fórmula general de la
sucesión a1 , a2 , a3 , . . . dados los términos iniciales:
a) 21 , − 32 , 34 , − 54 , 56 , − 67 , . . .
3 4
5
6
, 81 , 243
, 729
,...
b) 13 , 29 , 27
c) −6, 6, −6, 6, −6, 6, . . .
Ubicándola en la lista
1. an = 3nn
2. an = 6 × (−1)n
3. an = 3 (−1)n (−1 + n)
n
4. an = (−1)(1+n) 1+n
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Notación de Suma
La notación:
n
X
ak
(3)
k=m
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Notación de Suma
La notación:
n
X
ak
(3)
k=m
representa la suma desarrollada
am + am+1 + am+2 + · · · + an
Inducción Matemática: Sucesiones y Sumatorias– p.8/15
Notación de Suma
La notación:
n
X
ak
(3)
k=m
representa la suma desarrollada
am + am+1 + am+2 + · · · + an
Notación introducida en 1772 por el matemático francés J. L.
Lagrange.
Inducción Matemática: Sucesiones y Sumatorias– p.8/15
Notación de Suma
La notación:
n
X
ak
(3)
k=m
representa la suma desarrollada
am + am+1 + am+2 + · · · + an
Notación introducida en 1772 por el matemático francés J.
L. Lagrange. En la notación de sumatoria, k se llama índice,
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Notación de Suma
La notación:
n
X
ak
(3)
k=m
representa la suma desarrollada
am + am+1 + am+2 + · · · + an
Notación introducida en 1772 por el matemático francés J.
L. Lagrange. En la notación de sumatoria, k se llama índice,
m se llama el índice inferior de la suma,
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Notación de Suma
La notación:
n
X
ak
(3)
k=m
representa la suma desarrollada
am + am+1 + am+2 + · · · + an
Notación introducida en 1772 por el matemático francés J.
L. Lagrange. En la notación de sumatoria, k se llama índice,
m se llama el índice inferior de la suma, n se llama el índice
superior de la suma.
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Notación del Producto
La notación:
n
Y
ak
(4)
k=m
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Notación del Producto
La notación:
n
Y
ak
(4)
k=m
representa la producto desarrollada
am · am+1 · am+2 · · · an
Inducción Matemática: Sucesiones y Sumatorias– p.9/15
Notación del Producto
La notación:
n
Y
ak
(4)
k=m
representa la producto desarrollada
am · am+1 · am+2 · · · an
En la notación de producto, k se llama índice,
Inducción Matemática: Sucesiones y Sumatorias– p.9/15
Notación del Producto
La notación:
n
Y
ak
(4)
k=m
representa la producto desarrollada
am · am+1 · am+2 · · · an
En la notación de producto, k se llama índice, m se llama
el índice inferior del producto,
Inducción Matemática: Sucesiones y Sumatorias– p.9/15
Notación del Producto
La notación:
n
Y
ak
(4)
k=m
representa la producto desarrollada
am · am+1 · am+2 · · · an
En la notación de producto, k se llama índice, m se llama
el índice inferior del producto, n se llama el índice superior
del producto.
Inducción Matemática: Sucesiones y Sumatorias– p.9/15
Ejemplo
Determine en orden la evaluación de cada fórmula:
Q3
1. n=1 n2
P0
2. n=0 2n (3 + n)
P5
3. n=1 n (1 + n)
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Ejemplo
Indique en orden la versión compacta de cada
desarrollo:
a) 1 − r + r2 − r3 + r4
b) 13 + 23 + 33 + . . . + k 3
c) 12 + 22 + 32 + . . . + k 2
dentro de la lista:
P4
1. i=0 (−1)i ri
Pk
2. n=1 n3
Pn
3. i=3 i
Pn 2
4. i=1 i
Pk
5. n=1 n2
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Ejemplo
Indique en orden la versión desarrollada de cada
forma compacta:
Q4
a) n=1 (n3 − 1)
Q4
b) n=2 (n2 − 1)
Q4
c) n=1 (1 − t4 )
dentro de la lista:
1. (22 − 1) · (32 − 1) · (42 − 1)
2. 1 + 2 + 3 + . . . + n
3. (1 − t) · (1 − t2 ) · (1 − t3 ) · (1 − t4 )
4. (1 − t2 ) · (1 − t3 ) · (1 − t4 )
5. (13 − 1) · (23 − 1) · (33 − 1) · (43 − 1)
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Propiedades de las Sumatorias
Si am , am+1 ,. . . y bm , bm+1 , bm+2 ,. . . son sucesiones de
números reales y c es un número real cualquiera entonces
para enteros n ≥ m se cumple:
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Propiedades de las Sumatorias
Si am , am+1 ,. . . y bm , bm+1 , bm+2 ,. . . son sucesiones de
números reales y c es un número real cualquiera entonces
para enteros n ≥ m se cumple:
n
X
k=m
ak +
n
X
k=m
bk =
n
X
(ak + bk )
(7)
k=m
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Propiedades de las Sumatorias
Si am , am+1 ,. . . y bm , bm+1 , bm+2 ,. . . son sucesiones de
números reales y c es un número real cualquiera entonces
para enteros n ≥ m se cumple:
n
X
ak +
n
X
bk =
k=m
k=m
c
n
X
k=m
ak =
n
X
(ak + bk )
(7)
k=m
n
X
c ak
(7)
k=m
Inducción Matemática: Sucesiones y Sumatorias– p.13/15
Propiedades de las Sumatorias
Si am , am+1 ,. . . y bm , bm+1 , bm+2 ,. . . son sucesiones de
números reales y c es un número real cualquiera entonces
para enteros n ≥ m se cumple:
n
X
ak +
n
X
bk =
c
n
X
ak =
n
Y
k=m
ak
! Ã
·
n
Y
k=m
(7)
n
X
c ak
(7)
k=m
k=m
Ã
(ak + bk )
k=m
k=m
k=m
n
X
bk
!
=
n
Y
(ak · bk )
(7)
k=m
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Ejemplo de corrimiento de índice
Ejemplo
Indique a cuáles sumatorias es equivalente la
siquiente:
12
X
(2 + 5 n)
n=1
dentro de la lista:
P22
1. j=11 (−48 + 5 j)
P7
2. i=−4 (27 + 5 i)
P17
3. n=6 (−23 + 5 n)
P2
4. k=−9 (52 + 5 k)
P23
5. m=12 (−53 + 5 m)
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Ejemplo
Determine en orden los valores de A, B y C para
que
A
X
(C + B k)
k=0
se igual a la suma :
−2
12
X
j=3
(3 − 5 j) +
6
X
(4 + j)
j=−3
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