r E

23.60 El tubo de un contador Geiger tiene un cilindro metálico largo y hueco de
2 cm de diámetro. A todo lo largo del eje del tubo hay un alambre de 0.127 mm
de diámetro. Cuando el tubo está funcionando, se aplica un voltaje de 850 V
entre los conductores. Halle la intensidad del campo eléctrico en a) la
superficie externa de alambre; b) la superficie interna del cilindro.
b
λ dr
λ
=
ln
2πε 0 r 2πε 0 a
a
b
b
∆V = ∫ Edl = ∫
a
a
2πε 0 ∆V
λ=
b
ln
a
b
E=
2πε 0 ∆V
λ
∆V
=
=
2πε 0 r 2πε r ln b r ln b
0
a
a) a = (0.127 10-3/2) m = 0.0635 10-3m
b = (0.02/2) m = 0.01 m
r=a
E=
850V
(0.0635 10 −3 m) ln
0.01
0.0635 10 −3
= 2.645 106
V
m
a
b) a = (0.127 10-3/2) m = 0.0635 10-3m
b = (0.02/2) m = 0.01 m
r=b
E=
850V
(0.01m) ln
0.01
0.0635 10 −3
= 1.68 10 4
V
m
CAPACITANCIA Y CAPACITORES
Dos conductores cualesquiera separados por un aislador (o un vacío) forman un
CAPACITOR.
Cada conductor inicialmente tiene carga neta 0 y se transfieren electrones
de un conductor al otro (“se carga” el capacitor). Al final los dos conductores
tienen carga igual y opuesta ±Q.
+Q
∆V
-Q
Hay una carga Q “almacenada” en el capacitor,
el conductor con carga +Q está al potencial más
alto y el conductor con carga –Q está al
potencial más bajo. Entre los dos conductores
hay una diferencia de potencial ∆V.
En los diagramas de circuitos los capacitores se
representan con este símbolo
El campo eléctrico en cualquier punto de la región entre los conductores es
proporcional a Q. La diferencia de potencial ∆V también es proporcional a Q.
Se define CAPACITANCIA C del capacitor:
C=
Q [C ]
= 1 Farad = 1 F
∆V [V ]
Cuanto mayor es la capacitancia C, tanto más grande es la magnitud Q de la
carga con una diferencia de potencial determinada ∆V, y, en consecuencia,
es mayor la cantidad de energía almacenada (el potencial es energía
potencial por unidad de carga).
La capacitancia es una medida del alcance de un capacitor para almacenar
energía
Un Farad es una capacitancia muy grande, las
unidades más convenientes son el µF (10-6 F), el
nF (10-9 F) y el pF (10-12 F)
CAPACITOR DE PLACA PARALELAS EN UN VACÍO
A
+Q
∆V
-Q
Consideremos un capacitor con dos placas
conductoras paralelas de área A separadas por
una distancia d (espacio vacío).
d
Las dos placas tienen densidad superficial de
carga:
Q
σ=
A
El campo eléctrico entre las placas es:
σ
Q
E= =
ε0 ε0 A
El campo es uniforme, la diferencia de potencial ∆V entre las placas es:
∆V = Ed =
Qd
ε0 A
La capacitancia entonces es:
C=
Q Qε 0 A
A
=
= ε0
∆V
Qd
d
EJEMPLO 24.2 Las placas de cierto capacitor de placas paralelas en un vacío
están separadas 5 mm y tienen 2 m2 de área. Se aplica una diferencia de
potencial de 10000 V (10 kV) entre las placas. Calcule a) la capacitancia; b) la
carga de cada placa; c) la magnitud del campo eléctrico en el espacio entre las
placas.
a)
b)
c)
2
2
A
m
C = ε 0 = (8.854 10 −12 F / m)
= 3.54 10 −9 F = 3.54nF
d
0.005m
Q = C ⋅ ∆V = (3.54 10 −9 F )(10 4 V ) = 3.54 10 −5 C
Q
3.54 10 −5 C
σ
6
E=
=
=
=
2
10
/C
−12
2
ε 0 ε 0 A (8.85 10 F / m)(2m )
CAPACITOR ESFÉRICO
+Q
ra
rb
Dos corazas conductoras esféricas y concéntricas
están separadas por un vacío. La coraza interior tiene
una carga +Q y un radio exterior ra, y la coraza
exterior una carga –Q y un radio rb.
-Q
Por la ley de Gauss el campo eléctrico entre las esferas es:
+Q
E=
4πε 0 r 2
1
La diferencia de potencial ∆V entre las dos esferas es:
rb
rb
r
dr  1  b
Q
Q
Q rb − ra
∆V = ∫ E (r ) ⋅ dr =
=
−
=
−
=
2
∫
 r 
4
πε
r
4πε 0 ra 4πε 0 rb 4πε 0 ra rb
ra
0
ra
ra
Q
La capacitancia entonces es:
Q Q(4πε 0 )ra rb
ra rb
C=
=
= 4πε 0
∆V
Q(rb − ra )
rb − ra
CAPACITOR CILÍNDRICO
L
-λ
Un conductor cilíndrico largo tiene una radio
ra y una densidad de carga lineal λ. Está
rodeado por una coraza conductora cilíndrica
coaxial con radio rb y densidad lineal de carga
–λ.
+λ
ra
rb
Por la ley de Gauss el campo eléctrico entre los conductores es:
E=
λ
2πε 0 r
La diferencia de potencial ∆V entre los conductores es:
rb
rb
rb
dr
λ
λ
r
ln
ln
r
∆V = ∫ E (r ) ⋅ dr =
=
[
]
=
r
∫
2
2πε 0 ra
r
πε
0 r
r
b
a
a
La capacitancia entonces es:
C 2πε 0
=
L ln rb
ra
a
Q
λL λL(2πε 0 ) 2πε 0 L
C=
=
=
=
r
rb
∆V ∆V
b
ln
λ ln
ra
ra
Capacitancia por unidad de longitud
CAPACITORES EN SERIE
a
+Q ++++
-Q -----
Vab
c
++++
+Q
-Q -----
C1
Vac
C2
Vcb
b
En una conexión en serie la magnitud de
carga de todas las placas es la misma
Vac =
Q
C1
Vcb =
 1
1 

Vab = Vac + Vcb = Q + 
 C1 C2 
a
+Q ++++
-Q -----
b
Q
C2
Ceq
Vab 1
1
1
=
+
=
Q C1 C2 Ceq
1
1
1
= +
+ ...
Ceq C1 C2
CAPACITORES EN PARALELO
a
Vab
++++Q1
C1 -----
++ Q2
C2 ---
b
En una conexión en paralelo la diferencia
de potencial de todos lo capacitores
individuales es la misma. Las cargas Q1 y
Q2 no son necesariamente iguales.
Q1 = C1Vab
a
Ceq
b
++++ Q=Q1+Q2
-----
Q2 = C2Vab
Q = Q1 + Q2 = (C1 + C2 )Vab
Q
= Ceq = C1 + C2
Vab
Ceq = C1 + C2 + ..
En el circuito en figura cada capacitor tiene C=4 µF y Vab=28 V. Calcule Ceq.
C1
C2
Serie C1 y C2
a
C3
b
C4
d
1
1
1
C1 ⋅ C 2
4⋅4
=
+
⇒ C12 =
=
= 2 µF
C1 + C 2 4 + 4
C12 C1 C 2
Paralelo C12 y C3
C123 = C12 + C 3 = (2 + 4) µF = 6 µF
Serie C123 y C4:
1
1
1
6⋅4
=
+
⇒ Ceq =
= 2.4 µF
Ceq C123 C 4
6+4
ALMACENAMIENTO DE ENERGÍA EN CAPACITORES
La energía potencial almacenada en un capacitor cargado es igual a la cantidad
de trabajo que se necesitó para cargarlo. Cuando se descarga el capacitor, esta
energía almacenada se recupera en forma de trabajo realizado por fuerzas
eléctricas.
Sean q y v la carga y la diferencia de potencial en una etapa intermedia de un
proceso de carga de un capacitor con capacitancia C. Por la definición de
capacitancia, v=q/C. En esta etapa, el trabajo dW que se requiere para
transferir un elemento de carga adicional es:
dW = vdq =
qdq
C
El trabajo W que se necesita para cargar el capacitor hasta un valor final Q es:
W
Q
1
Q2
W = ∫ dW = ∫ qdq =
C0
2C
0
W
Q
1
Q2
W = ∫ dW = ∫ qdq =
C0
2C
0
Si se define como cero la energía potencial de
un capacitor sin carga, W es igual a la energía
potencial U del capacitor cargado. La carga
final es Q=CV.
Q2 1
1
U=
= CV 2 = QV
2C 2
2
Energía potencial almacenada
en un capacitor
DIELÉCTRICOS
Casi todos los capacitores tienen un material lo conductor, o “dieléctrico”
entre sus placas conductoras (el aire se puede considerar como vacío).
La capacitancia C de un capacitor es mayor cuando hay un material dieléctrico
entre las placas que cuando hay un vacío.
A
+Q
+Q
∆V
∆V’
A
d
d
-Q
-Q
Q
A
C0 =
= ε0
d
∆V
K = constante dieléctrica
Q
A
= kC0 = kε 0
C=
d
∆V '
∆V
∆V ' =
k
K
Vacío
1
Aire
1.00059
Plexiglás
3.4
Vidrio
5-10
Agua
80.4
Q
A
= kC0 = kε 0
∆V '
d
∆V
∆V ' =
k
C=
La constante dieléctrica es un número puro,
siempre mayor o igual a 1.
El producto kε0 se conoce
PERMITIVIDAD del dieléctrico ε
A
A
C = kε 0 = ε
d
d
como
23.36 Dos láminas metálicas paralelas grandes con cargas opuestas de igual
magnitud están separadas por una distancia de 38 mm. El campo eléctrico
entre ellas es uniforme y su magnitud es de 480 N/C. a) ¿Cuál es la diferencia
de potencial entre las láminas? b) ¿Cuál lámina está a un potencial más alto: la
que tiene carga positiva o la que tiene carga negativa? c) ¿Cuál es la densidad
de carga superficial σ de la lámina positiva? d) Si el área de las placas es de
10-3 m2, ¿cuál es la capacidad del capacitor?
++++++++++++++++
∆V
E
-------------------
d=38 mm